Все формулы ускорения. Виды ускорения

Что такое ускорение? Виды ускорения. Формулы. Пример решения задачи

От DA

11.12.2018 14:31 4972 5

Раздел физики, ответственный за изучение особенностей движения в пространстве тел, называется кинематикой. В данной статье рассмотрим, какие физические величины в кинематике используются для описания перемещений объектов, а также раскроем, что такое ускорение.

Физические величины в кинематике

Когда тело движется в пространстве, то нам важно знать, какое расстояние оно проходит за указанный промежуток времени и вдоль какой траектории движется.

Для описания пройденных расстояний в физике используют понятие пути – L. В случае движения по окружности вместо пути пользуются понятием угла поворота – θ. Величину L в СИ измеряют в метрах (м), а величину θ – в радианах (рад.).

Помимо пути важно знать также скорость движения тел. Под ней понимают быстроту прохождения расстояний. Математическое выражение для линейной скорости принимает вид:

v¯ = d L / d t

Для описания движения по окружности применяют угловую скорость ω, которая рассчитывается так:

ω¯ = d θ / d t

Третьей важной величиной кинематики является ускорение.

Что такое ускорение? Это величина в физике, которая показывает, как быстро меняется скорость во времени. Математически это можно записать так:

a¯ = d v¯ / d t

Если подставить в эту формулу ускорения выражение для скорости, получим:

a¯ = d2 L / d t2

Ускорение – это первая производная скорости по времени или вторая производная по времени пройденного пути.

Тангенциальное и нормальное ускорение

Выше было дано определение, что такое ускорение. Оно называется полным. В общем случае направление полного ускорения не совпадает с направлением вектора скорости. Последний является касательной к траектории движения в любой ее точке.

Поскольку скорость – это величина векторная, то ее изменение предполагает возможность менять модуль и направление. В первом случае говорят о наличии у тела тангенциального ускорения, во втором – нормального.

Формула тангенциального ускорения at не отличается от таковой для ускорения полного a. Формула имеет вид:

at = d v / d t

То есть тангенциальное, или касательное, как его еще называют, ускорение является производной от модуля скорости по времени. Вектор at¯ совпадает с вектором v¯ при ускоренном движении и противоположен ему при замедленном движении.

Нормальное ускорение – это физическая величина, которая приводит к искривлению прямолинейной траектории перемещения тел. Направлено оно вдоль радиуса кривизны траектории, то есть нормально по отношению к ней. Формула для его определения имеет вид:

ac = v2 / r

Нормальное ускорение ac зависит от модуля скорости v и радиуса кривизны траектории r. Очевидно, что в случае движения по прямой радиус r можно считать равным бесконечности. Последнее означает, что нормальное ускорение равно нулю для прямолинейного движения.

Для движения по окружности вектор ac¯ направлен к ее центру вдоль радиуса. По этой причине величину ac также называют центростремительным ускорением.

Полное ускорение

Вектор полного ускорения – это всегда сумма тангенциальной и нормальной компонент. Поскольку они перпендикулярны друг другу, то для вычисления модуля полного ускорения можно воспользоваться теоремой Пифагора. Искомая формула ускорения полного примет вид:

a = √(at2 + ac2)

Чтобы определить, куда направлен вектор a¯, достаточно вычислить угол между ним и какой-либо компонентой. Например, угол φ между векторами a¯ и at¯ равен:

φ = arctg(ac / at)

Напомним, что центростремительное ускорение отлично от нуля только тогда, когда кривизна траектории движения отлична от бесконечности. В случае же прямолинейного движения полное ускорение по величине и направлению равно тангенциальной компоненте.

Угловое ускорение

Рассматривая, что такое ускорение, следует остановиться на соответствующей угловой характеристике.

Выше было введено понятие угловой скорости, которая измеряется в радианах в секунду (рад/с). Если найти производную этой скорости по времени, то мы получим величину углового ускорения:

α¯ = ω¯ / d t

Несложно показать, что угловая величина связана с тангенциальной компонентой полного ускорения следующим соотношением:

at = α × r

При постоянном угловом ускорении касательная компонента at будет больше для точек, которые находятся дальше от оси вращения.

К нормальной компоненте угловое ускорение не имеет никакого отношения.

Решение задачи на определение ускорения

Предположим, что, двигаясь с ускорением постоянным вдоль прямой линии, тело прошло расстояние 100 метров. Известно, что начальная скорость тела была равна 1 м/с. Отмеченное расстояние тело преодолело за 5,5 секунды. С каким ускорением происходило движение?

Согласно условию задачи, речь идет о равноускоренном движении вдоль прямой траектории. Пройденный путь в этом случае может быть вычислен по формуле:

L = v0 × t + a × t2 / 2

Выражаем из равенства величину a, имеем:

a = 2 × (L – v0 × t) / t2

Все величины в правой части равенства известны из условия. Подставляем их и записываем ответ: a = 6,25 м/с2. То есть в течение каждой из 5,5 секунд скорость тела возрастает на 6,25 м/с. Найденное значение полного ускорения совпадает с тангенциальной компонентой.

Содержание:

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение – это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение – частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g→, которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону. 

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y – равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

v=v+at.

Здесь v – начальная скорость тела, a=const – ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v(t) имеет вид прямой линии.

​​​​​​​

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a=v-vt=BCAC

Чем больше угол β, тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v=-2 мс; a=,5 мс2.

Для второго графика: v=3 мс; a=-13 мс2.

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t. Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆t. Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆t. Тогда, перемещение ∆s за время ∆t будет равно ∆s=v∆t.

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆t. Перемещение s за время t равно площади трапеции ODEF.

s=OD+EF2OF=v+v2t=2v+(v-v)2t.

Мы знаем, что v-v=at, поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s=vt+at22

Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

y=y+vt+at22.

Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения – нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s=v2-v22a.

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v=v2+2as.

При v= s=v22a и v=2as

Величины v, v, a, y, s, входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги Решение задач от 1 дня / от 150 р.Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.Реферат от 1 дня / от 700 р.

Красный свет светофора сменился желтым, затем зеленым. С напряженным ревом срываются с места машины, затем звук двигателей на мгновение стихает — это водители отпустили педаль подачи топлива и переключают передачи, снова разгон, снова момент затишья и опять разгон. Только метров через 100 после перекрестка поток машин как бы успокаивается и плавно катит до следующего светофора. Лишь один старый автомобиль «Москвич» прошел перекресток ровно и бесшумно. На рисунке видно, как он обогнал все автомобили и вырвался далеко вперед. Этот автомобиль подъехал к перекрестку как раз в тот момент, когда зажегся зеленый сигнал светофора, водителю не пришлось тормозить и останавливать машину, не пришлось после этого снова брать разгон. Как же получается, что один автомобиль (да еще маломощный «Москвич» старого выпуска) легко, без напряжения движется со скоростью около 50 км/час, в то время как другие с явным напряжением постепенно набирают скорость и достигают скорости 50 км/час далеко после перекрестка, когда «Москвич» уже приближается к следующему светофору? Очевидно, что для равномерного движения требуется значительно меньше усилий и расхода мощности, чем при разгоне или, как говорят, при ускоренном движении.

Рис. Сравнительно слабый автомобиль может обогнать более мощные, если он подходит к перекрестку в момент включения зеленого света и не затрачивает усилий на трогание с места и разгон.

Но прежде чем изучать разгон автомобиля, нужно вспомнить некоторые понятия.

Ускорение автомобиля

Если автомобиль проходит в каждую секунду одинаковое число метров, движение называется равномерным или установившимся. Если пройденный автомобилем путь в каждую секунду (скорость) изменяется, движение называется:

• при увеличении скорости — ускоренным
• при уменьшении скорости — замедленным

Приращение скорости в единицу времени называют ускорением, уменьшение скорости в единицу времени — отрицательным ускорением, или замедлением.

Ускорение измеряют приростом или убыванием скорости (в метрах в секунду) за 1 сек. Если за секунду скорость увеличивается на 3 м/сек, ускорение равно 3 м/сек в секунду или 3 м/сек/сек или 3 м/сек2.

Ускорение обозначают буквой j.

Ускорение, равное 9,81 м/сек2 (или округленно, 10 м/сек2), соответствует ускорению, которое, как известно из опыта, имеет свободно падающее тело (без учета сопротивления воздуха), и называется ускорением силы тяжести. Его обозначают буквой g.

Разгон автомобиля

Разгон автомобиля обычно изображают графически. На горизонтальной оси графика откладывают путь, а на вертикальной — скорость и наносят точки, соответствующие каждому пройденному отрезку пути. Вместо скорости на вертикальной шкале можно откладывать время разгона, как это показано на графике разгона отечественных автомобилей.

Рис. График пути разгона.

График разгона представляет собой кривую с постепенно убывающим углом наклона. Уступы кривой соответствуют моментам переключения передач, когда ускорение на какой-то момент падает, однако их часто не показывают.

Инерция

Автомобиль не может с места развить сразу большую скорость, потому что ему приходится преодолевать не только силы сопротивления движению, но и инерцию.

Инерция — это свойство тела сохранять состояние покоя или состояние равномерного движения. Из механики известно, что неподвижное тело может быть приведено в движение (или скорость движущегося тела изменена) только под действием внешней силы. Преодолевая действие инерции, внешняя сила изменяет скорость тела, иначе говоря, придает ему ускорение. Величина ускорения пропорциональна величине силы. Чем больше масса тела, тем большей должна быть сила для придания этому телу нужного ускорения. Масса — это величина, пропорциональная количеству вещества в теле; масса т равна весу тела G, деленному на ускорение силы тяжести g (9,81 м/сек2):

m = G / 9,81, кг/(м/сек2)

Масса автомобиля сопротивляется разгону с силой Pj, эту силу называют силой инерции. Чтобы разгон мог произойти, на ведущих колесах нужно создать дополнительно силу тяги, равную силе инерции. Значит, сила, необходимая для преодоления инерции тела и для придания телу определенного ускорения j, оказывается пропорциональной массе тела и ускорению. Эта сила равна:

Pj = mj = Gj / 9,81, кг

Для ускоренного движения автомобиля требуется дополнительная затрата мощности:

Nj = Pj*Va / 75 = Gj*Va / 270*9,81 = Gj*Va / 2650, л.с.

Для точности расчетов в уравнения (31) и (32) следует включить множитель б («дельта») — коэффициент вращающихся масс, учитывающий влияние вращающихся масс автомобиля (особенно маховика двигателя и колес) на разгон. Тогда:

Pj = Gi*б, кг

и:

Nj = Gj*Va*б / 2650, л.с.

Рис. Графики времени разгона отечественных автомобилей.

Влияние вращающихся масс заключается в том, что, кроме преодоления инерции массы автомобиля, необходимо «раскрутить» маховик, колеса и другие вращающиеся части машины, затратив на это часть мощности двигателя. Величину коэффициента б можно считать приблизительно равной:

б = 1,03 + 0,05*ik^2

где ik — передаточное число в коробке передач.

Теперь, взяв для примера автомобиль с полным весом 2000 кг, нетрудно сравнить силы, необходимые для поддержания движения этого автомобиля по асфальту со скоростью 50 км/час (пока без учета сопротивления воздуха) и для трогания его с места с ускорением около 2,5 м/сек2, обычным для современных легковых автомобилей.

Согласно уравнению:

Pf = 2000*0,015 = 30, кг

Для преодоления сопротивления инерции на высшей передаче (ik = 1) потребуется сила:

Pj = 2000*2,5*1,1 / 9,81 = 560, кг

Такой силы на высшей передаче автомобиль не может развить, нужно включить первую передачу (с передаточным числом ik = 3).

Тогда получим:

Pj = 2000*2,5*1,5 / 9,81 = 760, кг

что для современных легковых автомобилей вполне возможно.

Итак, сила, необходимая для трогания с места, оказывается в 25 раз больше силы, необходимой для поддержания движения с постоянной скоростью 50 км/час.

Чтобы обеспечить быстрый разгон автомобиля, требуется устанавливать двигатель большой мощности. При движении с постоянной скоростью (кроме максимальной) двигатель работает не в полную мощность.

Из сказанного выше понятно, почему при трогании с места нужно включать низшую передачу. Попутно отметим, что на грузовых автомобилях обычно следует начинать разгон на второй передаче. Дело в том, что на первой передаче (ik примерно равно 7.) очень велико влияние вращающихся масс и тяговой силы не хватит, чтобы сообщить автомобилю большое ускорение; разгон получится очень медленным.

На сухой дороге при коэффициенте сцепления ф, равном около 0,7, трогание с места на низшей передаче не вызывает никаких затруднений, так как сила сцепления все еще превышает тяговую силу. Но на скользкой дороге может часто оказаться, что тяговая сила на низшей передаче больше силы сцепления (особенно при ненагруженном автомобиле), и колеса начинают буксовать. Из этого положения есть два выхода:

1. уменьшить силу тяги троганием с места при малой подаче топлива или на второй передаче (для грузовых автомобилей — на третьей);
2. увеличить коэффициент сцепления, т. е. подсыпать под ведущие колеса песок, подложить ветки, доски, тряпки, надеть на колеса цепи и т. д.

При разгоне особенно сказывается разгрузка передних колес и дополнительная нагрузка задних. Можно наблюдать, как в момент трогания с места автомобиль заметно, а иногда и очень резко «приседает» на задние колеса. Это перераспределение нагрузки происходит и при равномерном движении автомобиля. Оно объясняется противодействием вращающему моменту. Зубья ведущей шестерни главной передачи давят на зубья ведомой (коронной) и как бы прижимают заднюю ось к земле; при этом возникает реакция, отталкивающая ведущую шестерню вверх; происходит небольшое поворачивание всего заднего моста в направлении, обратном направлению вращения колес. Закрепленные на картере моста рессоры своими концами приподнимают переднюю часть рамы или кузова и опускают заднюю. Между прочим отметим, что именно вследствие разгрузки передних колес их легче повернуть во время движения автомобиля с включенной передачей, чем во время движения накатом, а тем более чем на стоянке. Это знает каждый водитель. Однако вернемся к дополнительно нагруженным задним колесам.

Дополнительная, прибавочная нагрузка на задние колеса Zd от передаваемого момента тем больше, чем больше момент Мк, подведенный к колесу и чем короче колесная база автомобиля L (в м):

Zd = Мк/L, кг

Естественно, что эта нагрузка особенно велика при движении на низших передачах, так как подводимый к колесам момент увеличен. Так, на автомобиле ГАЗ-51 дополнительная нагрузка на первой передаче равна:

Zd = 316/3,3 = 96, кг

Во время трогания с места и разгона на автомобиль действует сила инерции Pj, приложенная в центре тяжести автомобиля и направленная назад, т. е. в сторону, обратную ускорению. Так как сила Pj приложена на высоте hg от плоскости дороги, она будет стремиться как бы опрокинуть автомобиль вокруг задних колес. При этом нагрузка на задние колеса увеличится, а на передние — уменьшится на величину:

Zd = Pj*hg/L, кг

Рис. При передаче усилий от двигателя нагрузка на задние колеса увеличивается, а на передние — уменьшается.

Таким образом, при трогании с места на задние колеса и шины приходится нагрузка от веса автомобиля, от передаваемого увеличенного вращающего момента и от силы инерции. Эта нагрузка действует на подшипники заднего моста и главным образом на шины задних колес. Чтобы сберечь их, нужно троганье с места осуществлять как можно более плавно. Следует напомнить, что на подъеме задние колеса еще более нагружены. На крутом подъеме при трогании с места, да еще при высоком расположении центра тяжести автомобиля, может создаться такая разгрузка передних колес и перегрузка задних, которая приведет к повреждению шин и даже к опрокидыванию автомобиля назад.

Рис. Кроме нагрузки от тягового усилия, при разгоне на задние колеса действует дополнительная сила от инерции массы автомобиля.

Автомобиль двигается с ускорением, и скорость движения его увеличивается, пока тяговая сила больше силы сопротивления движению. С увеличением скорости сопротивление движению возрастает; когда установится равенство тяговой силы и сопротивления, автомобиль приобретает равномерное движение, скорость которого зависит от величины нажима на педаль подачи топлива. Если водитель до отказа нажимает на педаль подачи топлива, эта скорость равномерного движения является одновременно и наибольшей скоростью автомобиля.

Работа по преодолению сил сопротивления качению и воздуха не создает запаса энергии — энергия расходуется на борьбу с этими силами. Работа по преодолению сил инерции при разгоне автомобиля переходит в энергию движения. Эту энергию называют кинетической энергией. Создающийся при этом запас энергии можно использовать, если после некоторого разгона отсоединить ведущие колеса от двигателя, установить рычаг переключения коробки передач в нейтральное положение, т. е. дать возможность автомобилю двигаться по инерции, накатом. Движение накатом происходит до тех пор, пока запас энергии не израсходуется на преодоление сил сопротивления движению. Уместно напомнить, что на одном и том же отрезке пути расход энергии на разгон гораздо больше расхода на преодоление сил сопротивления движению. Поэтому за счет накопленной энергии путь наката может быть в несколько раз больше пути разгона. Так, путь наката со скорости 50 км/час равен для автомобиля «Победа» около 450 м, для автомобиля ГАЗ-51 — около 720 м, в то время как путь разгона до этой скорости равен соответственно 150—200 м и 250—300 м Если водитель не стремится ехать на автомобиле с очень большой скоростью, он может значительную часть пути вести автомобиль «накатом» и экономить таким образом энергию и, тем самым, топливо.

Теоремы о скоростях и ускорениях точек в сложном движении изложены во всех учебниках по теоретической механике.

Абсолютная скорость точки определяется как геометрическая сумма переносной и относительной скоростей:

Каждое слагаемое в этой формуле определяется независимо друг от друга, исходя из соответствующего закона движения. В примере на рисунке 3.2 относительная скорость V_r определяется с учетом закона движения точки по оси Oy.

Переносная скорость определится как скорость точки M при вращении вместе с квадратом вокруг оси его вращения. Величина абсолютной скорости может быть определена с помощью теоремы косинусов:

Для определения вектора абсолютной скорости можно равенство (3.1) спроецировать на выбранные оси координат, найти проекции абсолютной скорости, её величину и направляющие косинусы, то есть определить углы, которые вектор скорости составляет с выбранными осями.

Ускорение точки определяется как сума трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова (поворотного):

Первые два слагаемые этой формулы определяются из соответствующих законов переносного и относительного движений. В случае неравномерных криволинейных движений эта формула имеет вид

Кориолисово ускорение определяется по формуле:

Величина этого ускорения

a_K = 2ω_e V_r sinα, (3.5)

где α — угол между векторами переносной угловой и линейной относительной скоростями.

Направление кориолисова ускорения определяется двумя правилами:

1. Правило векторного произведения

Согласно этому правилу вектор кориолисова ускорения перпендикулярен векторам ω_e и V_r (или плоскости, проходящей через эти вектора, проведенные из одной точки). Направлен вектор a_K так, что если смотреть ему навстречу, то кратчайший поворот вектора ω_e до совмещения с вектором V_r происходит против хода часовой стрелки (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3

2. Правило Жуковского

Для определения направления кориолисова ускорения нужно спроецировать вектор относительной скорости в плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости и полученную проекцию повернуть на в сторону переносного вращения (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4

Из формулы (3.5) видно, что кориолисово ускорение равно нулю, если

• равна нулю относительная скорость;
• переносное движение — поступательное (ω_e=0);
• угол между ω_e и V_r равен ^o или 180^o (вектор V_r параллелен оси переносного вращения).

Абсолютное ускорение точки определяется по аналогии с определением её скорости. Формула (3.3) проецируется на выбранные оси координат, и находятся проекции абсолютного ускорения на эти оси: a_x, a_y, a_z. Величина ускорения определяется по формуле:

Направление вектора абсолютного ускорения определяется с помощью направляющих косинусов, то есть определяются углы, которые вектор ускорения составляет с осями координат:

>> Статика

п.1. Равноускоренное движение

Если тело начинает двигаться из состояния покоя, оно набирает скорость не мгновенно, а в течение некоторого времени. Аналогично происходит при торможении: тело останавливается не сразу, а теряя скорость постепенно.

Движение, во время которого скорость тела за любые равные промежутки времени увеличивается на одну и ту же величину, называют равноускоренным.

Примеры равноускоренного движения:

• скатывание велосипеда с горки, скатывание санок с горки;
• старт и торможение автомобиля, автобуса, трамвая, поезда;
• падение на землю камня, ракеты, метеорита.

Это интересноВремя разгона от 0 до 100 км/ч – одна из основных характеристик современных автомобилей.

Марка автомобиля	Время разгона, с
Nissan GTR Nismo		2,9
BMW M5 F90		2,8
Porsche 918 Spyder		2,6

п.2. Ускорение

Ускорение – это векторная величина, которая равна отношению изменения скорости тела к интервалу времени, за которое это изменение произошло: $$ overrightarrow{a}=frac{overrightarrow{v}-overrightarrow{v_0}} {t} $$ где (overrightarrow{v_0}) – начальная скорость тела, (overrightarrow{v}) – скорость тела в момент времени (t).

В системе СИ (см. §2 данного справочника) скорость измеряется в метрах в секунду, а время – в секундах. Поэтому:

Единицей ускорения в системе СИ является метр на секунду в квадрате (1 м/с²) – ускорение равноускоренного прямолинейного движения, при котором тело за 1 с увеличивает скорость на 1 м/с.

При описании прямолинейного движения мы переходим от векторов к проекциям на ось ОХ (см. §8 данного справочника).

Назовем проекцией вектора ускорения (overrightarrow{a}) на параллельную ему ось координат OX величину (a_x=pm|overrightarrow{a}|=pm a).Знак проекции определяется следующим правилом:

• если направление вектора (overrightarrow{a}) совпадает с направлением оси OX, то (a_x=agt 0)
• если направление вектора (overrightarrow{a}) противоположно направлению оси OX, то (a_x=-alt 0)

При равноускоренном прямолинейном движении проекция ускорения равна: $$ a_x=frac{v_x-v_{0x}}{t} $$ где (v_{0x}) – проекция начальной скорости, (v_x) – проекция скорости в момент времени (t).

п.3. Уравнение скорости и график скорости при равноускоренном прямолинейном движении

Для проекции скорости на ось ОХ в произвольный момент времени можем записать: $$ v_x(t)=v_{0x}+a_x t $$ Сравним полученное уравнение с уравнением прямой (y(x)=kx+b ) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).В уравнении скорости роль углового коэффициента (k) играет проекция ускорения (a_x), а роль свободного члена (b) – начальная скорость (v_{0x}).

В осях (t) и (v) график (v_x(t)=v_{0x}+a_x t) является прямой. Эта прямая:

• возрастает, если (a_xgt 0)
• убывает, если (a_xlt 0)
• постоянна (параллельна оси (t)), если (a_x=0)

Пример построения графика скорости 1-й участок пути. Пусть автомобиль начал движение из состояния покоя с ускорением 4 м/с². Направим ось ОХ в направлении ускорения и получим уравнение скорости: $$ v_{0x}=0, a_x=4frac{text{м}}{c^2}, v_x(t)=0+4t=4t $$ Через 5 с скорость автомобиля станет равной (v_x(5)=4cdot 5=20) м/с.2-й участок пути. Пусть автомобиль, набрав эту скорость, проехал с ней без ускорения в течение 10 с. На этом участке уравнение скорости: $$ a_{x}=0, v_x(t)=20frac{text{м}}{c}, 5 cleq tlt 15 c $$ Скорость не меняется, автомобиль движется прямолинейно равномерно.3-й участок пути. Наконец, на последнем участке пути, автомобиль тормозил с ускорением 5 м/с² до полной остановки. Тогда уравнение скорости на этом участке: $$ v_{0x}=20frac{text{м}}{c}, a_x=5frac{text{м}}{c^2}, v_x(t)=20-5t $$ Проекция ускорения при торможении отрицательна. Скорость станет равна 0 через 4 с после начала торможения, автомобиль остановится.Опишем полностью движение на всех участках: $$ v_x(t)= begin{cases} 4t, 0leq tlt 5\ 20, 5leq tlt 15\ 20-5t, 15leq tleq 19 end{cases} $$ И построим график:Участок AB соответствует разгону автомобиля от 0 до 20 м/с, участок BC – равномерному движению со скоростью 20 м/с, участок CD – торможению от 20 м/с до 0.

п.4. Определение пути и перемещения по графику скорости

В §10 данного справочника мы рассматривали неравномерное прямолинейное движение, которое можно разбить на отдельные равномерные участки. Для такого движения путь равен сумме модулей площадей участков, определенных по графику скорости. А перемещение также равно сумме площадей, но уже с учетом знака.Этот подход можно расширить на любое прямолинейное движение.

Пусть график скорости при прямолинейном движении разбит на (n) участков, площади которых легко определить (треугольники, прямоугольники, трапеции). Тогда:Весь пройденный путь равен сумме модулей площадей всех участков: $$ s=|s_1|+|s_2|+…+|s_n| $$ Величина перемещения по оси ОХ равна сумме площадей всех участков с учетом знака: $$ triangle x=s_1+s_2+…s_n $$ Конечная координата равна: (x_к=x_0+triangle x)

Пример определения пути и перемещения по графику скоростиДля построенного выше графика скорости автомобиля получаем следующие участки:1) ΔABE, его площадь равна $$ s_1=frac12 AEcdot BE=frac12cdot 5cdot 20=50 (м) $$ 2) прямоугольник EBCF, его площадь равна $$ s_2=EFcdot BE=10 cdot 20=200 (м) $$ 3) ΔCFD, его площадь равна $$ s_2=frac12 FDcdot GF=frac12cdot 4cdot20=40 (м) $$ Весь пройденный путь: $$ s=s_1+s_2+s_3=50+200+40=290 (м) $$ Скорость автомобиля все время оставалась положительной (направление движения не менялось), поэтому величина перемещения равна пройденному пути: $$ triangle x=s=290 (м) $$

п.5. Задачи

Задача 1. За 1 мин автобус увеличил скорость с 28,8 км/ч до 72 км/ч. Найдите его ускорение, постройте график зависимости скорости от времени. Дано:(t=1 мин=60 с)(v_0=28,8 км/ч=8 м/с)(v=72 км/ч=20 м/с)__________________(a-?) Как перевести км/ч в м/с – см. §7 данного справочника.Направим ось ОХ по направлению движения автобуса. Автобус направления движения не меняет, и проекции ускорения и скорости все время положительны и по величине равны значениям величин: $$ a_x=a, v_x=v $$ Поэтому ускорение равно: $$ a=frac{v-v_0}{t} $$ Получаем: $$ a=frac{20-8}{60}=0,2 left(frac{м}{c^2}right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: begin{gather*} v(t)=v_0+at\ v(t)=8+0,2t end{gather*} График:Ответ: 0,2 м/с²

Задача 2. Поезд двигался прямолинейно равномерно со скоростью 18 км/ч, а в процессе торможения – равноускоренно и остановился через 10 с. Найдите модуль ускорения. Постройте график зависимости скорости от ускорения, найдите пройденный поездом путь за все время торможения. Дано:(v_0=18 км/ч=5 м/с)(v=0)(t=10 с)__________________(a, s-?)Направим ось ОХ по направлению скорости (v_0). Тогда проекция ускорения: $$ a_x=frac{v-v_0}{t}, a_x=frac{0-5}{10}=-0,5 (м/с^2) $$ Проекция при торможении отрицательна. Величина (модуль) ускорения: $$ a=|a_x|=0,5 м/c^2 $$ Зависимость скорости от времени: begin{gather*} v(t)=v_0+a_x t\ v(t)=5-0,5t end{gather*} График:Пройденный путь равен площади треугольника ΔABC: $$ s=frac12 ACcdot BC=frac12cdot 5cdot 10=25 (м) $$ Ответ: 0,5 м/с²; 25 м

Задача 3*. С каким ускорением двигался автомобиль, если его скорость выросла с 36 км/ч до 72 км/ч на пути длиной 600 м? Постройте график зависимости скорости от времени, найдите время движения и путь с помощью графика, проверьте полученное значение пути. Дано:(v_0=36 км/ч=10 м/с)(v=72 км/ч=20 м/с)(s=600 м)__________________(a-?, t-?)Ускорение равно: (a=frac{v-v_0}{t}). Откуда время равно: (t=frac{v-v_0}{a})Средняя скорость на всем пути: (v_{cp}=frac{v_0+v}{2})Весь путь: $$ s=v_{cp}t=frac{v_0+v}{2}cdotfrac{v-v_0}{a}=frac{v^2-v_0^2}{2a} $$ Значит, ускорение равно: $$ a=frac{v^2-v_0^2}{2s} $$ Подставляем: $$ a=frac{20^2-10^2}{2cdot 600}=0,25 left(frac{м}{c^2}right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: begin{gather*} v(t)=v_0+at\ v(t)=10+0,25t end{gather*} График:Скорость достигает значения (v=20 м/с) в момент времени (t=40 с).Значит, время движения 40 с.Путь по графику скорости равен площади четырехугольника ABCD. begin{gather*} S_{ABCD}=S_{ABE}+S_{AECD}=frac12 AEcdot EB+AEcdot AD=frac12cdot 40cdot 10+40cdot 10=200+400=600 (м)\ s=600 м end{gather*} Найденное значение пути совпадает с условием задачи. Все параметры движения найдены верно.Ответ: 0,25 м/с²; 40 c

Помогай другим Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю См. подробности