Содержание
Свойства векторов
Среди основных свойств векторов следующие:
Equipolentes векторы
Это те свободные векторы, которые имеют одинаковый модуль, направление (или они параллельны) и чувствуют, что скользящий вектор или фиксированный вектор.
Эквивалентные векторы
Это происходит, когда два вектора имеют одинаковый адрес (или параллельные), одинаковый смысл, и, несмотря на наличие разных модулей и точек приложения, они вызывают одинаковые эффекты.
Равенство векторов
Они имеют один и тот же модуль, направление и смысл, хотя их отправные точки различны, что позволяет параллельному вектору двигаться самостоятельно, не затрагивая его..
Векторный блок
Это тот, в котором модуль равен единице (1). Это получается путем деления вектора на его модуль и используется для определения направления и смысла вектора, либо в плоскости, либо в пространстве, используя базовые или унифицированные нормализованные векторы, которые:
устои
Векторная алгебра возникла из изучения кватернионов (расширение действительных чисел) 1, i, j и k, а также декартовой геометрии, предложенной Гиббсом и Хевисайдом, которые поняли, что векторы будут служить инструментом для представляют различные физические явления.
Векторная алгебра изучается через три основы:
геометрически
Векторы представлены линиями, которые имеют ориентацию, а такие операции, как сложение, вычитание и умножение на действительные числа, определяются с помощью геометрических методов..
аналитически
Описание векторов и их операций выполняется с помощью чисел, называемых компонентами. Этот тип описания является результатом геометрического представления, потому что используется система координат.
Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого телааксиоматически
Описание векторов производится независимо от системы координат или любого типа геометрического представления..
Изучение фигур в пространстве осуществляется через их представление в системе отсчета, которая может быть в одном или нескольких измерениях. Среди основных систем:
— Одномерная система, представляющая собой линию, в которой одна точка (O) представляет начало координат, а другая точка (P) определяет масштаб (длину) и ее направление:
— Прямоугольная система координат (двумерная), которая состоит из двух перпендикулярных линий, называемых осью x и осью y, которые проходят через точку (O) начала координат; таким образом, плоскость делится на четыре области, называемые квадрантами. В этом случае точка (P) на плоскости задается расстояниями, которые существуют между осями и P.
— Полярная система координат (двумерная). В этом случае система состоит из точки O (начала координат), которая называется полюсом, и луча с началом координат O, называемого полярной осью. В этом случае точка P плоскости, относительно полюса и полярной оси, задается углом (Ɵ), который образован расстоянием между началом координат и точкой P.
— Прямоугольная трехмерная система, образованная тремя перпендикулярными линиями (x, y, z), которые имеют точку начала O в пространстве. Формируются три координатные плоскости: xy, xz и yz; пространство будет разделено на восемь областей, называемых октантами. Ссылка на точку P пространства задается расстояниями, которые существуют между плоскостями и P.
Компоненты вектора
Компоненты вектора — это те значения проекций вектора на оси системы отсчета; В зависимости от разложения вектора, которое может быть в двух или трех осях, будут получены два или три компонента, соответственно.
Компоненты вектора являются действительными числами, которые могут быть положительными, отрицательными или даже нулевыми (0).
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.Таким образом, если у нас есть вектор origin, исходящий из прямоугольной системы координат в плоскости xy (двумерная), проекция на ось x равна Āx, а проекция на ось y — Āy. Таким образом, вектор будет выражаться как сумма составляющих его векторов..
Первый пример
У нас есть вектор starts, который начинается с начала координат и задается координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (Āх;и) = (4; 5) см.
Если вектор Ā действует в начале трехмерной треугольной системы координат (в пространстве) x, y, z, в другую точку (P), проекции на его оси будут Āx, Āy и Āz; таким образом, вектор будет выражаться как сумма трех компонентных векторов.
Второй пример
У нас есть вектор starts, который начинается с начала координат и задается координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (Aх;и; Z) = (4; 6; -3) см.
Векторы, которые имеют свои прямоугольные координаты, могут быть выражены через их базовые векторы. Для этого только каждая координата должна быть умножена на соответствующий ей единичный вектор таким образом, чтобы для плоскости и пространства они были следующими:
Для плоскости: Ā = Aхя + АиJ.
Для пространства: Ā = Aхя + АиJ + AZК.
Физическая интерпретация
Вектор, как структура, имеющая одновременно величину (модуль) и направление, рассматривается в физике как математическая модель скорости, силы, и связанных с ними величин, кинематических или динамических. Математической моделью многих физических полей (например, электромагнитного поля или поля скорости жидкости) являются векторные поля.
Абстрактные многомерные и бесконечномерные (в духе ) векторные пространства используются в лагранжевом и гамильтоновом формализме применительно к механическим и другим динамическим системам, а также в квантовой механике (см. Вектор состояния).
Чем отличается сюжет от фабулы??магнитуды
Величина — это физическая величина, которую можно подсчитать или измерить с помощью числового значения, как в случае некоторых физических явлений; тем не менее, часто необходимо иметь возможность описать эти явления с другими факторами, которые не являются числовыми. Вот почему величины делятся на два типа:
Скалярная величина
Это те величины, которые определены и представлены численно; то есть модулем вместе с единицей измерения. Например:
а) время: 5 секунд.
б) масса: 10 кг.
в) объем: 40 мл.
г) температура: 40ºC.
Векторная величина
Это те величины, которые определены и представлены модулем вместе с единицей, а также смыслом и направлением. Например:
а) Скорость: (5ȋ — 3ĵ) м / с.
б) ускорение: 13 м / с2; S 45º E.
Как обозначается плечо силы, формула плеча силы и единичные измерения?в) Сила: 280 Н, 120º.
г) Вес: -40 ĵ кг-ф.
Векторные величины представлены графически векторами.
Обозначения
Вектор, представленный набором n{displaystyle n} элементов (компонент) a1,a2,…,an{displaystyle a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}} обозначают следующими способами:
- ⟨a1,a2,…,an⟩, (a1,a2,…,an),{a1,a2,…,an}{displaystyle langle a_{1},a_{2},ldots ,a_{n},rangle , left(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n},right),{a_{1},a_{2},ldots ,a_{n},}}.
Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:
- a¯, a→,a,A, a.{displaystyle {bar {a}}, {vec {a}},mathbf {a} ,{mathfrak {A}}, {mathfrak {a}}.}
Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:
- a→+b→{displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}}.
Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:
- kb→{displaystyle k{vec {b}}},
причём число при этом обычно пишут слева.
Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов. Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»
Общее определение
- (a+b)x=ax+bx{displaystyle (a+b)mathbf {x} =amathbf {x} +bmathbf {x} },
- a(x+y)=ax+ay{displaystyle a(mathbf {x} +mathbf {y} )=amathbf {x} +amathbf {y} },
- (a∗b)x=a(bx){displaystyle (a*b)mathbf {x} =a(bmathbf {x} )},
- 1x=x{displaystyle 1mathbf {x} =mathbf {x} },
тогда V{displaystyle {mathfrak {V}}} называется векторным пространством над полем F{displaystyle {mathfrak {F}}} (или линейным пространством), элементы V{displaystyle V} называются векторами, элементы F{displaystyle F} — скалярами, а указанная операция F×V→V{displaystyle Ftimes Vto V} — умножением вектора на скаляр.
Многие результаты линейной алгебры обобщены до унитарных модулей над некоммутативными телами и даже произвольных модулей над кольцами, таким образом, в наиболее общем случае, в некоторых контекстах, вектором может быть назван как любой элемент модуля над кольцом.
В линейной алгебре
В линейной алгебре вектором называется элемент линейного пространства, что соответствует общему определению, приведённому ниже. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой. Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении систем линейных алгебраических уравнений, а также при работе с линейными операторами (пример линейного оператора — оператор поворота). Часто это определение расширяют, определяя норму или скалярное произведение (возможно, и то и другое вместе), после чего оперируют уже с нормированными и евклидовыми пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора. Многие математические объекты (например, матрицы, тензоры и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.
История
Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа
Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
При сложении векторов и получаем:
Тему векторов начинают изучать еще в школе, и потом с ними не раз приходится иметь дело в разных разделах математики и физики в высших учебных заведениях. Существуют курсы аналитической геометрии, линейной алгебры, векторного анализа и другие, в которых векторам уделяют должное внимание. В разных курсах понятие вектора вводится по разному и на своем уровне строгости. Здесь мы ответим на вопрос что такое вектор? так, как будто вы впервые знакомимся с этим понятием.
Наиболее вероятно, что вектор у вас ассоциируется со стрелкой. В школе нам говорят, что…
Вектор – это направленный отрезок. У него есть начало и конец. Он указывает какое-то направление и у него есть длина.
Вот пример вектора, который вы часто видите в учебниках:
Здесь есть точки AAA и BBB, стрелка, соединяющая эти точки, причем так, что она направлена от точки AAA к точке BBB. Вот эта стрелочка и есть вектор. Точка AAA – это начало вектора, а точка BBB – конец вектора. Удобно этот вектор как-то назвать. Сделать это можно исходя из тех двух точек, которые его задают. Наш вектор обозначают как AB→overrightarrow{AB}AB. В такой записи сначала идет начальная, а потом конечная точка вектора. Сверху рисуют стрелочку для того чтобы отметить, что мы имеем дело именно с вектором. Вектор имеет длину, под которой вы можете понимать длину нарисованой нами стрелки (вот если бы мы прямо взяли и измерили ее линейкой с каким-то масштабом). Чем длиннее стрелка, тем больше длина вектора.
Длину вектора также часто называют его модулем и обозначают ∣AB→∣|overrightarrow{AB}|∣AB∣.
А иногда для простоты обозначения пишут просто ABABAB (без стрелки). Эти два обозначения полностью равноправны, так что:
∣AB→∣=AB|overrightarrow{AB}|=AB∣AB∣=AB
Может возникнуть вопрос, а что если точки AAA и BBB совпадают? Будет ли у нас тогда какой-то вектор? Да, будет, и он носит специальное название. Это нулевой вектор. И если точки AAA и BBB у нас совпали, то мы уже не можем нарисовать между ними стрелочку, а значит не можем указать ее направление. Значит нулевой вектор не имеет направления. Оно просто не определено для такого вектора. А что можно сказать о длине нулевого вектора? Правильно, она равна нулю.
Обозначается нулевой вектор как ⃗vec{0}, его длина ∣⃗∣=|vec{0}|=0∣∣=.
Векторы можно также обозначать просто маленькими буквами латинского алфавита без указания их начальной и конечной точек. Вы можете представить себе много векторов в виде стрелочек разных направлений и с разными длинами. Стрелочки эти рисуются и на прямой, и на плоскости, и в трехмерном пространстве. Вот несколько примеров векторов на плоскости:
Векторы можно складывать друг с другом, вычитать, умножать на числа. Можно даже умножать между собой, для этого есть несколько способов. Но в данной статье мы не будем их рассматривать, так как она является первой из раздела о векторах и носит обзорный характер.
-
Автор
Лидия Казанцева
-
Дата публикации
30.12.2020
-
Просмотры
7636
Каникулы со смыслом в Skysmart для детей 4-17 лет
Смотреть летние курсы →
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.
Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.
Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.
Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.
Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.
Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.
В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.
И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:
- он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
- он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
- длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
- тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.
Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.
Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:
Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].
Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.
Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.
Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:
- Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
- Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
- Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).
Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.
Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор
, где
→i, →j, →k — координатные векторы.
Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:
Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:
Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.
Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:
На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:
- Антикоммутативность
- Свойство дистрибутивности
или
- Сочетательное свойство
или
, где λ произвольное действительное число.
Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению
и
Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому
что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.
Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.
Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).
Пример 1
а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.
б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.
Как решаем:
а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:
Ответ:
Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.
б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
Ответ:
Пример 2
Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.
Как решаем:
По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:
Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.
Ответ:
Пример 3
Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.
Как решаем:
Сначала найдём векторы:
Затем векторное произведение:
Вычислим его длину:
Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:
Ответ:
По определению длина векторного произведения векторов равна
А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.
Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.
В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.
Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].
Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до векторов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Приходите на бесплатный вводный урок и попробуйте сами!
ли со статьей или есть что добавить?