Теорема о соотношении между сторонами треугольника. Неравенство треугольника

Вид материала Документы

Содержание

Несколько слов о неравенствахНеравенство треугольникаBC отложим отрезок CDO внутри него. Обозначим вершины четырехугольника через A

Подобный материал:

  • Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 38.01kb.
  • План урока: Организационный момент. Рассказ сказка о медианах, высотах и биссектрисах., 161.11kb.
  • Понятие юридических фактов, 989.45kb.
  • Понятие юридических фактов, 366.24kb.
  • Социальное неравенство в условия современной России 4 Глава, 325.02kb.
  • Проект «Социальное неравенство и публичная политика» (СНиПП) «Неравенство доходов как, 804.89kb.
  • Лекция 13. Индивидуальный и рыночный спрос 3 От индивидуального спроса к рыночному, 147.34kb.
  • Тема: Измерение углов, 29.65kb.
  • Ема урока. Свойство медианы равнобедренного треугольника, 39.45kb.
  • Урок сказка по математике 6 класс «Умножение одночлена на многочлен», 304kb.

Неравенство треугольника Неравенство треугольника – один из важнейших геометрических фактов. Представляя собой одно из интуитивных свойств расстояния, оно нередко помогает в решении непростых геометрических и текстовых задач. С помощью неравенства треугольника представляется возможным отсеять часть из возможных вариантов расположения каких-либо элементов в громоздких геометрических задачах. Часто именно невыполнение строгого неравенства треугольника (а именно – достижение в нем равенства) дает основание утверждать о принадлежности трех точек одной прямой. Таким образом, неравенство треугольника является одновременно интуитивно понятным, даже очевидным, но весьма часто становится мощным инструментом при решении серьезных математических задач. Несколько слов о неравенствах В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух рассматриваемых объектов или о том, что они просто не одинаковы. Классическое неравенство как объект исследования можно также рассматривать как частный случай отношения порядка. Различают строгие и нестрогие неравенства. Или же, переходя на язык отношений, строгое неравенство можно считать отношением строгого порядка на множестве действительных чисел (то есть отношением, которое обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности). Если же речь идет о нестрогом неравенстве, то можно говорить о нем как об отношении нестрогого порядка на том же множестве (то есть рассматривать вместо антирефлексивности рефлексивность). Напомним, что об отношениях как математическом объекте и их свойствах мы уже упоминали в Лекции 7 (были рассмотрены свойства отношения делимости). Более подробное их изучение нам предстоит в будущем, поскольку они довольно успешно систематизируют и обобщают ряд элементарных математических понятий. Теперь же мы приведем несколько примеров неравенств каждого из названных типов.Строгими неравенствами называют такие неравенства:

  • a< b – означает, что a меньше b;
  • a > b – означает, что a больше b;
  • ab – означает, что a не равно b или же что a и b различны.

К нестрогим неравенствам относят следующие математические отношения:

  • ab – означает, что a меньше либо равно b или, что то же самое, a не больше (не превосходит, не превышает) b;
  • a ≥ b – означает, что a больше либо равно b или, что то же самое, a не меньше b.

Пока что мы не будем утруждать себя более глубоким исследованием неравенств. Сегодня нам вполне хватит уже устоявшихся представлений о неравенствах. Неравенство треугольникаТеорема (неравенство треугольника):Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.Замечание. Иногда используют также и несколько другую формулировку этой теоремы, подключая попутно и случай вырожденного треугольника: Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Заметим, что разница между двумя приведенными формулировками столь незначительна, что нет смысла рассматривать их отдельно. В дальнейшем при решении задач мы будем использовать как первую формулировку теоремы, так и вторую, не оговаривая это отдельно. Неравенство треугольника возникло, судя по всему, тогда же, когда человек научился ходить и хоть как-то мыслить. Известно, что одну из первых его формализаций приводит Евклид в знаменитых «Началах». Там он доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из нее выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Вот такая вот непростая логическая цепочка для доказательства вполне очевидного, казалось бы, неравенства!

/>

Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB< AC + BC. При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления). В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD, равный AC. В равнобедренном треугольнике ACD. В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD, значит, BD > AB, или BC + CD > AB. Но CD = AC, значит, AC + BC > AB.Замечание. Обратите внимание, что, исходя из формулировки теоремы, следует записать сразу три неравенства:AB< AC + BC;AC< AB + BC;BC< AB + AC. Нередко, записав одно неравенство, о двух других почему-то забывают. Помните, что это может привести к довольно неприятным ошибкам. Неравенство треугольника может служить одним из простых критериев принадлежности трех точек одной прямой. Три точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника достигается равенство. Естественно, равенство может достигаться лишь в одном из трех неравенств (см. замечание), поскольку одна из точек будет лежать четко между двумя другими.Упражнение. Докажите, что в треугольнике каждая сторона больше разности двух других сторон. Приведем в качестве примера использования неравенства треугольника несколько сравнительно несложных геометрических задач.Задача 1. Докажите, что в произвольном четырехугольнике ABCD AB + CD< AC + BD.

/>

Решение. Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD (рис. 2). По неравенству треугольника: AO + OB > AB;CO + OD > CD. Рассмотрим сумму AC + BD:AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = = (AO + BO) + (OC + OD) > AB + CD.Задача 2. Докажите, что в треугольнике ABC выполнено неравенство (a, b, c – стороны треугольника ABC).Решение. Воспользуемся следствием из неравенства треугольника (см. упражнение): (предполагаем, что ). Тогда, возведя в квадрат обе части неравенства, получим:. Аналогично:;. Складывая все три неравенства, получим требуемое.Упражнение. Докажите, что медиана AM в произвольном треугольнике ABC по длине меньше, чем .Задача 3. На плоскости дан квадрат ABCD и точка O. Докажите, что расстояние от точки O до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от O до трех других вершин квадрата.Решение. Сложите неравенства треугольника AC + OC > OA и OB + OD > BD. Так как AC = BD, то, сокращая, получаем требуемое.Задача 4. Найдите внутри выпуклого четырехугольника точку, такую, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна.Решение. Так как четырехугольник выпуклый, то его диагонали пересекаются в точке O внутри него. Обозначим вершины четырехугольника через A, B, C и D (по часовой стрелке). Тогда сумма расстояний от O до вершин равна сумме длин диагоналей AC и BD. Но для любой другой точки P имеем, во-первых, что сумма расстояний от P до вершин не меньше AC + BD, а во-вторых, либо PA + PC > AC, либо PB + PD > BD. Значит, эта сумма равна AC + BD только если P совпадает с точкой O. Значит, точка O – искомая. Неравенство треугольника успешно применяется и в довольно запутанных текстовых задачах. Что интересно, в таких задачах многое может зависеть от того, насколько удачно Вы построите геометрическую интерпретацию.Задача 5. В некоторой стране расположены 4 города: A, B, C и D. Два самолета одновременно вылетели из города A. Маршрут первого самолета: ABDCADBCA, а маршрут второго: ABCDABCDABCDA. Какой из самолетов раньше закончит свой маршрут, если их скорости одинаковы? Не бойтесь экспериментировать! Если в задаче не задано конкретное расположение объектов, Вы вправе рисовать в своем решении всё, что не противоречит условию – оно ведь Ваше. В том числе, и города в Задаче 5 Вы можете расставить как угодно. Следует лишь помнить, что в некоторых задачах после разбора «нормального», общего случая, необходимо разобрать и некоторые «патологические», частные случаи. К примеру, в Задаче 5 может понадобиться рассмотрение случая, когда некоторые три города лежат на одной прямой – всё зависит от того, каково Ваше решение для общего случая.Решение задачи 5. Запишем длины маршрутов каждого из самолетов в виде сумм расстояний между городами. Длина маршрута первого самолета будет равна. Второй же самолет пролетит расстояние. Рассмотрим разность между расстоянием, которое пролетел первый самолет, и расстоянием, которое преодолел второй.. Докажем, что независимо от расположения точек A, B, C, D на плоскости (городов A, B, C, D в стране) выражение будет неположительным. Для этого следует рассмотреть два случая. 1. Предположим, что точки A, B, C, D создают на плоскости четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Тогда запишем последовательно неравенства треугольника для треугольников ABC, BCD, CDA и DAB (см. рис. 2):AB + BC > AC;BC + CD > BD;CD + DA > CA;DA + AB > DB. Сложив все четыре неравенства, получим;;. 2. Рассмотрим случай, когда точки A, B, C, D создают на плоскости четырехугольник ACBD с диагоналями AB и CD (нарисуйте себе соответствующий рисунок). Заметим, что неравенства треугольника выполняются для тех же треугольников, что и в первом случае. Оказывается, что решение задачи останется тем же, несмотря на то, что расположение точек на плоскости существенно изменилось. Это можно считать еще одной характерной чертой многих решений задач, использующих неравенство треугольника. Следовательно, первый самолет прилетит раньше, поскольку его маршрут короче маршрута второго. Заметьте, что решение Задачи 5 требует небольшого анализа, что является непременным качеством всех олимпиадных задач. Будьте внимательны – Ваше решение задачи будет правильным лишь тогда, когда Вы рассмотрите все возможные случаи, подходящие под условие. Следует также отметить, что зачастую на рисунке, изображающем условие задачи, не видно треугольника, применение неравенства треугольника для которого дало бы моментальное решение. В таком случае может помочь удачно подобранное геометрическое преобразование. Об этом мы поговорим несколько позже. Знакомство с неравенством треугольника на этом следует объявить законченным. Но новая встреча с ним уже не за горами. в Споры о науке2 года назад

Сначала небольшая кулстори, пацаны!

Тусовался я как-то в одной группе в ВК, где, знаете, прорывные технологии, передовая, но не признанная косным сообществом наука, Эйнштейн — жидомасон, ученые все нам врут, а сами ничего не понимают ну и так далее. Думаю, вы понели. Ну, группа не очень фимозная, поэтому меня там еще не забанили, хотя я там постоянно топлю за всякие квантовые механики, теории относительности и общую алгебру. И зашла речь о пространство теории относительности и вообще о гравитации. Ну, местный контингент, конечно, начал говорить, что, дескать, кривые пространства — это бред сумасшедшего, вот же, посмотрите, кругом все прямое. А я решил, что неплохо бы показать этим товарищам, что кривизну не так-то легко заметить, а с чего начать? А надо как-то определить кривизну, чтобы получить какие-то объективные критерии.

И я подумал, а вот интересно, какой нужен минимальный набор аксиом на произвольном множестве, чтобы на этом множестве можно было определить кривизну, ну такую, чтобы была похожа на кривизну в ОТО? Желательно, не используя координат и понятия размерности, ну чтобы меньше можно было к чему докопаться, и чтобы было больше похоже на афинное, а не векторное пространство.

Первым делом, кроме самого множества, я решил, что перво-наперво надо ввести понятие «дистанции» между элементами. Это почти та же самая всем известная метрика на метрическом пространстве с одним исключением — я не использовал неравенство треугольника, вместо него просто постулировал неотрицательность дистанции. Вообще, когда я над этим над всем думал, я как-то и забыл про то, что есть метрические пространства, точнее про то, какие у них аксиомы. Ну я там еще аксиоматически навводил всякие ограничение на дистанцию, чтобы непрерывность получалась, к примеру, чтобы линии можно было определить. И вроде все получалось, пока я не вспомнил про метрические пространства и не полез смотреть у них аксиомы. А там — неравенство треугольника. А я в своих рассуждениях его не использовал, и вроде бы все было не плохо.

И теперь вот у меня ко всем к вам вопрос — а зачем нужно неравенство треугольника в определении метрического пространства? Какую роль оно играет? Это довольно сложное условие, нельзя ли его заменить на что-то более простое, чтобы оно выводилось как теорема?

Вот, для примера, возьмем евклидово пространство, но вместо обычной, стандартной метрики возьмем на нем квадрат от стандартной метрики. Это не будет метрика в смысле нормального определения метрики, так как в треугольнике со сторонами 3, 3, 5, например, неравенство треугольника нарушается. Но чем такая «типа метрика» хуже стандартной метрики, если существует даже дискретная метрика, где расстояние между всеми несовпадающими точками равно 1 и это ок?

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

Евклидова геометрия

Неравенство

AC⩽AB+BC,{displaystyle ACleqslant AB+BC,}

выполняется в любом треугольнике△ABC{displaystyle triangle ABC}. Причём равенствоAC=AB+BC{displaystyle AC=AB+BC} достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B{displaystyle B} лежит строго между A{displaystyle A} и C{displaystyle C}.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть (X,‖⋅‖){displaystyle (X,|cdot |)} — нормированное векторное пространство, где X{displaystyle X} — произвольное множество, а ‖⋅‖{displaystyle |cdot |} — определённая на X{displaystyle X}норма. Тогда по определению последней справедливо:

‖x+y‖⩽‖x‖+‖y‖,∀x,y∈X.{displaystyle |x+y|leqslant |x|+|y|,quad forall x,yin X.}

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство

Пусть (X,ρ){displaystyle (X,rho )} — метрическое пространство, где X{displaystyle X} — произвольное множество, а ρ{displaystyle rho } — определённая на X{displaystyle X}метрика. Тогда по определению последней

ρ(x,y)⩽ρ(x,z)+ρ(z,y),x,y,z∈X.{displaystyle rho (x,y)leqslant rho (x,z)+rho (z,y),quad x,y,zin X.}

Вариации и обобщения

  • d(x,z)⩽max(d(x,y),d(y,z)){displaystyle d(x,z)leqslant max(d(x,y),d(y,z))}Сильное неравенство треугольника

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

  • |‖x‖−‖y‖|⩽‖x−y‖,x,y∈X;{displaystyle {bigl |}|x|-|y|{bigr |}leqslant |x-y|,quad x,yin X;}
  • |ρ(x,y)−ρ(x,z)|⩽ρ(y,z),x,y,z∈X.{displaystyle |rho (x,y)-rho (x,z)|leqslant rho (y,z),quad x,y,zin X.}

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Произвольное число точек

Обозначим ρ(xi,xj){displaystyle rho (x_{i},x_{j})}расстояние между точками xi{displaystyle x_{i}} и xj{displaystyle x_{j}}. Тогда имеет место следующее неравенство: ρ(x1,xm)⩽ρ(x1,x2)+ρ(x2,x3)+…+ρ(xm−1,xm){displaystyle rho (x_{1},x_{m})leqslant rho (x_{1},x_{2})+rho (x_{2},x_{3})+…+rho (x_{m-1},x_{m})}. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: ρ(x1,xm)⩽ρ(x1,x2)+ρ(x2,xm)⩽ρ(x1,x2)+ρ(x2,x3)+ρ(x3,xm)⩽…{displaystyle rho (x_{1},x_{m})leqslant rho (x_{1},x_{2})+rho (x_{2},x_{m})leqslant rho (x_{1},x_{2})+rho (x_{2},x_{3})+rho (x_{3},x_{m})leqslant …}[1]

См. также

—>
Докажите неравенство треугольника. —>Рейтинг—>: /1
| —>Просмотров—>:641 | —>Добавил—>:Люсси (25.11.2018) (Изменено: 25.11.2018)

Всего ответов: 1

Обсуждение вопроса:

Всего ответов: 1

Тамми 25.11.2018 оставил(а) комментарий: Теорема неравенство треугольника. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Это значит, что каждое из этих расстояний меньше или равно суммы двух других. Доказательство. Пусть A,B,C – три данные точки. Если две точки из трёх или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например B. В этом случае AB + BC = AC. Отсюда видно, что каждое из трёх расстояний не больше суммы двух других. Допустим теперь, что точки не лежат на одной прямой. Докажем, что AB < AC + BC. Опустим перпендикуляр CD на прямую AB. По доказанному AB≤AD+BD. И так как AD < AC и BD < BC, то AB

—>

Поделись знанием: Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

Евклидова геометрия

image

Пусть дан треугольникDelta ABC. Тогда |AC| leqslant |AB|+|BC|, причём равенство|AC| = |AB|+|BC| достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть (X,|cdot|) — нормированное векторное пространство, где X — произвольное множество, а |cdot| — определённая на Xнорма. Тогда по определению последней справедливо:

|x+y| leqslant |x| + |y|,quad forall x,yin X.

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство

Пусть (X,rho) — метрическое пространство, где X — произвольное множество, а rho — определённая на Xметрика. Тогда по определению последней

rho(x,y) leqslant rho(x,z) + rho(z,y),quad x,y,zin X.

Вариации и обобщения

  • d(x,z) leqslant max( d(x,y), d(y,z) )Сильное неравенство треугольника

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

  • bigl| |x| — |y| bigr| leqslant |x-y|,quad x,yin X;
  • | rho(x,y) — rho(x,z) | leqslant rho(y,z), quad x,y,zin X.

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

См. также: Сферическая геометрия

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Напишите отзыв о статье «Неравенство треугольника»

Отрывок, характеризующий Неравенство треугольника

– Скажите ему, что после. Сейчас выйдет, надо ехать. – После, после, завтра. Поздно… Ростов повернулся и хотел выйти, но человек в помочах остановил его. – От кого? Вы кто? – От майора Денисова, – отвечал Ростов. – Вы кто? офицер? – Поручик, граф Ростов. – Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир. Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти. Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его. – Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос. Это был кавалерийский генерал, в эту кампанию заслуживший особенную милость государя, бывший начальник дивизии, в которой служил Ростов. Ростов испуганно начал оправдываться, но увидав добродушно шутливое лицо генерала, отойдя к стороне, взволнованным голосом передал ему всё дело, прося заступиться за известного генералу Денисова. Генерал выслушав Ростова серьезно покачал головой. – Жалко, жалко молодца; давай письмо. Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d’honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе. Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю. Категории:

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий