Свойства прямоугольной трапеции

Четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны, называется трапецией.

Основы трапеции — две параллельные стороны, а боковые стороны — две другие.

Высотой трапеции называется отрезок, перпендикулярный прямых, содержащих основания трапеции, и с концами на этих основах.

Равносторонняя трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, одна боковая сторона которого перпендикулярна ее основам. В прямоугольной трапеции два угла прямые, один острый и один тупой. Боковая сторона трапеции, перпендикулярной ее основ, меньше боковой стороной и равна высоте трапеции.

Свойства трапеции:

  • Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороны, равна 180 °. В равносторонний трапеции углы при каждом основании равны.
  • В равносторонний трапеции диагонали равны и наклонены к основанию под одинаковыми углами.

Признаки равносторонной трапеции:

  • Если трапеции углы при основании равны, то трапеция равносторонняя.
  • Если трапеции диагонали равны, то трапеция равносторонняя.
  • Если трапеции диагонали образуют с основами равные углы, то трапеция равносторонняя.

Это интересно. Если середины сторон равносторонний трапеции соединить отрезками, то получим ромб.

  • Левченко Татьяна Геннадьевна, учитель математики

Разделы:Математика

Класс:8

Цель:

  1. Ввести понятие трапеции, её элементов, виды трапеций.
  2. Рассмотреть некоторые свойства трапеции.
  3. Применение знаний при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Кроссворд.

Ключевое слово кроссворда – является темой нашего урока.

  1. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется …
  2. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  3. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.
  4. Сумма длин всех сторон многоугольника.
  5. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются…
  6. В конце урока каждый ученик ждет хорошую …
  7. Две несмежные стороны четырехугольника называются …
  8. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых внутренняя, а другая

Ответы:

III. Новый материал.

Трапеция – (от греч. trapezion, букв. столик).

Трапеция  четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельные. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеции.

Равнобедренная – трапеция, у которой равны боковые стороны.

Прямоугольная – трапеция, один из углов которой прямой.

Работа в группах.

Группы с четными номерами – исследуют диагонали равнобедренной трапеции. Группы с нечетными номерами – исследуют углы равнобедренной трапеции.

Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.

Свойства равнобедренной трапеции.

Теорема. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство.

Проведем СЕ АВ.

ABCD – параллелограмм (АВ СЕ, ВС AD).

CD = AB = CE, СDE – равнобедренный, СDЕ = СЕD.

АВ СЕ, тогда СЕD = ВАЕ, СDЕ = СЕD = ВАЕ.

ABC = 180° – СDЕ = 180° – ВАЕ = BCD.

Теорема. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Доказательство.

ABC = DСВ (АВ = С, ВС – общая сторона, АВС = ВСD) тогда АС = ВD.

Сформулируйте утверждения, обратные свойствам, и выясните их справедливость.

Признаки равнобедренной трапеции.

Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.

1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Проведем ЕС АВ.

ABCЕ – параллелограмм, тогда АВ СЕ, А = СЕD, СЕD – равнобедренный (D = СЕD), тогда СЕ = СD.

АВ = СЕ = СD, тогда АВСD – равнобедренная трапеция.

2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Проведем СК ВD.

ВСКD – параллелограмм (т.к. СК ВD, ВС АК).

АСК – равнобедренный, т.к. АС = ВD = СК, САD = СDА.

СК ВD, ВDА = СКD, тогда САD = СКD.

АВD = DСА, т.к. АС=ВD, АD – общая сторона, САD = СКD, тогда АВ = СD, т.е. АВСD – равнобедренная трапеция.

IV. Закрепление.

Решение задач по готовым чертежам.

F = 65°

Найти: В, С, D.

ВС = 10, СD = 15, А = 60°

Найти: АD.

V. Итог урока:

VI. Домашнее задание.

Параграф 44, вопросы: 10-11, №386, №388.

24.04.2011

Опубликовано вкл 20.06.2015 — 15:09 Автор:  Кудзаева Эллина и Баззаева Диана

В работе представлены  свойства трапеции, не рассматриваемые в школьном базовом курсе геометрии

Скачать:

Вложение Размер
interesnye_svoystva_trapetsii.pptx 143.67 КБ
Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили : ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Слайд 2

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства .

Слайд 3

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Слайд 4

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции . Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Слайд 5

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Слайд 6

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д . Е О

Слайд 7

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Слайд 8

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

Слайд 9

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Слайд 10

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r ). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Слайд 11

Доказательство : Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

Слайд 12

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность .

Слайд 13

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Слайд 14

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

Слайд 15

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Слайд 16

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с , d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Девятая загадочная планета Солнечной системы

Рисуем одуванчики гуашью (картина за 3 минуты)

Чем пахнут ремёсла? Джанни Родари

Камилл Фламмарион: «Астрономия — наука о живой Вселенной»

Что есть на свете красота?

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b),

m, n — боковые стороны трапеции,

d1, d2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

Читайте также:  Как научиться подтягиваться на одной руке

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобокой).

AB = CD

Прямоугольная трапеция

Трапеция, у которой оба угла при одной из ее боковых сторон прямые, называется прямоугольной.

∠BAD = ∠ABC = 90°

Разносторонняя трапеция

Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым.

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{circ}:

alpha + beta = 180^{circ}

gamma + delta =180^{circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими, то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC, образованные боковыми сторонами.

Читайте также:  Комплекс из 5-ти лучших упражнений для рук чтобы не висела кожа

Подобие образованных треугольников трапеции

Подобными треугольниками являются AOD и COB, которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

triangle AOD sim triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

k = frac{AD}{BC}

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2}.

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

frac{OX}{OY} = frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Описанная около трапеции окружность

Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность. Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.

Исправляем асимметрию плеч и трапеций

Жим гантели над головой

Установите угол наклона спинки в положение 80-90 градусов. Сядьте на скамью. Возьмите гантели в руки и поднимите их над головой. Локти развернуты в стороны. Предплечья вертикальны. В пояснице прогиб. Стопы жестко упираются в пол.

Техника выполнения:

  • На выдохе мощно выжмите одну гантелю вверх (работайте той стороной, дельтовидная мышца которой нуждается в корректировке).
  • На вдохе опустите гантель и повторите упражнение необходимое количество раз.
  • Вторая рука с гантелью остается в поднятом положении на протяжении всего упражнения.

Выполните: 2-4 подхода по 8-10 повторений.

Подъем руки перед собой

Это упражнение в большей степени вовлекает в работу передние пучки дельтовидных мышц.

Читайте также:  Укрепление мышечного корсета — упражнения Мюллера

Исходное положение:

Возьмите гантелю той рукой, со стороны которой дельтовидная мышца нуждается в корректировке, второй рукой упритесь в спинку скамьи. Рабочая рука опущена вдоль корпуса.

Техника выполнения:

  • На выдохе, поднимите руку перед собой до параллели с полом, слегка согнув ее в локте и немного отведя в сторону.
  • На вдохе опустите руку в исходное положение.
  • Повторите упражнение необходимое количество раз.

Выполните: 2-4 подхода по 10-12 повторений.

Данное упражнение можно выполнять с маленькой штангой с EZ-грифом. Это усложнит задачу и включит в работу предплечья. В этом случае не нужно брать слишком большие веса. Для максимально качественной проработки дельтовидной мышцы используйте гантелю.

Махи рукой с гантелей в наклоне

Данное упражнение отлично развивает задний пучок дельтовидной мышцы.

Исходное положение:

Возьмите гантелю в ту руку, со стороны которой дельтовидная мышца нуждается в корректировке и наклонитесь туловищем вперед. Наклон должен быть значительным, туловище практически параллельно полу. Упритесь второй рукой в спинку скамьи. Рабочая рука опущена и немного согнута в локте.

Техника выполнения:

  • На выдохе отведите руку в сторону, не разгибая ее в локте.
  • На вдохе опустите руку в исходное положение.

Выполните: 2-4 подхода по 12-14 повторений.

Шраги одной рукой с гантелью

Цель данного упражнения проработать верхнюю часть трапециевидной мышцы.

Исходное положение:

Возьмите гантелю той рукой, со стороны которой трапециевидная мышца нуждается в корректировке и встаньте прямо. Второй рукой упритесь в спинку скамьи. Рабочую руку слегка сместите вперед.

Техника выполнения:

  • На выдохе поднимите гантелю, немного сместив руку в сторону. Тяните плечо максимально вверх.
  • Зафиксируйтесь в этом положении на секунду и вернитесь в исходное положение.

Выполните: 2-4 подхода по 8-12 повторений.

Данный комплекс не призван быть основным для тренировки плеч и трапеции. Но выполняя его время от времени, вы сможете победить асимметрию ваших плеч и трапеций.

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 1500 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Читайте также:  Упражнения для боков — формируем соблазнительные изгибы

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 1800. Поэтому КАН = 300 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 300. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: SАКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см2.

Диагональ трапеции

Эта линия просто идет от одного угла трапеции к другому, причем эти углы противоположны. В равнобедренной трапеции довольно приятным фактом является то, что диагонали в ней равны друг другу.

А каким образом можно найти длину диагонали? Есть один очень простой способ. Мы можем сделать это, зная все три величины: боковую сторону и каждое из оснований:

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

Величина Ее обозначение
a большее основание
b меньшее основание прямоугольной трапеции
c, h перпендикулярная к основаниям боковая сторона, высота
d наклонная боковая сторона
α острый угол
β тупой угол
м средняя линия трапеции
д1 меньшая диагональ
д2 большая диагональ

Задача №1

Условие. Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм2. Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с2 + (а – b)2). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

а + b = 30 и а — b = 6.

Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

c = h.

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d *sinα;

c = (a — b) * tg α;

c = √ (d2 — (a — b)2).

Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.

Можно записать формулы для другой боковой стороны. Их тоже три:

d = (a — b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c2 + (а – b)2).

Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

Площадь равнобедренной трапеции

Самой простой формулой является полусумма оснований, умноженная на высоту. Она подходит к любым трапециям.

Для второй формулы нужно знать все стороны трапеции. Это по сути усложненная версия первой, но подойдет она в том случае, если вы не знаете высоту.

Это самые базовые формулы, поэтому очень часто используются в различных задачах.

Задача №2

Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d2 = с2 + (a – b)2 или (a + b)2 = с2 + (a – b)2.

Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия — 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

Читайте также:  Что лучше эллиптический тренажер или беговая дорожка?

В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см2.

Ответ. Искомая площадь 36 см2.

В данной статье мы расскажем Вам о свойствах прямоугольной трапеции, как обычной, так и той, в которую вписана окружность.

Для начала напомним некоторые основные определения.

image

Трапеция – это четырехугольник, имеющий 2 параллельные друг другу стороны, причем 2 другие стороны параллельными не являются.

Прямоугольная трапеция — это такая трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна ее основаниям (изображена на рис.).

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон фигуры (на рис. EF).

Основные свойства прямоугольной трапеции

  1. Средняя линия EF равна половине суммы ее оснований BC и AD.

    image

  2. Средняя линия EF параллельна основаниям трапеции BC и AD.
  3. На одной прямой размещаются:image
    • точка пересечения (H) диагоналей прямоугольной трапеции AC и BD;
    • точка пересечения (E) продолжений боковых сторон трапеции AB и CD;
    • середины (F и G) оснований трапеции BC и AD.

    Данным свойством обладает как прямоугольная, так и равносторонняя трапеция.

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность

image

  1. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, это значит, что сумма ее оснований и сумма ее боковых сторон равны.
  2. Площадь трапеции ABCD можно найти, перемножив длины ее оснований BC и AD.

    SABCD = BC * AD

  3. Четырехугольник, вершинами которого являются центр вписанной окружности (O), одна из вершин трапеции (A или B), а также точки 2 касания (M и E или M и К), является квадратом.

Узнать подробнее о свойствах трапеции с прямым углом, в которую вписана окружность, а также ознакомиться с доказательствами этих свойств, можно на сайте uznateshe.ru.

Скорее всего, Вам будет интересно:

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий