Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о логарифмической функции и логарифмах и некоторые методы решения логарифмических уравнений.

Примеры подробного решения >>

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.Правила ввода функций >>Почему решение на английском языке? >>

С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —>Функции, исследование функций

Неотъемлемым атрибутом любой функции является ее область определения. В этой статье собраны начальные самые необходимые сведения про область определения функции. Из нее Вы узнаете, что это такое, как она обозначается, и каковы области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т.д.).

Без этих знаний нам не обойтись в дальнейшем, когда мы столкнемся с задачей найти область определения функции достаточно сложного вида. Но об этом чуть позже, сначала надо разобраться с очерченным кругом вопросов.

Сразу отметим, что в этой статье мы будем говорить про область определения функции одной переменной.

Навигация по странице.

Определение, обозначение

В школе первая встреча с областью определения обычно происходит на уроках алгебры в 7 классе, когда в обиход вводится термин «функция» [1, с. 53; 2, с. 155]. На этом этапе областью определения функции называют все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент).

К определению функции возвращаются вновь и вновь, сначала в 9 классе [3, с. 3; 4, с. 86], а дальше и в старших классах [5, с. 55; 6, с. 21], где его дают более строго. Например, в учебнике КолмогороваВ А.В Н. оно дается в следующей формулировке:

Определение.

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от x.

Из приведенного определения можно выделить интересующее нас в рамках рассматриваемой темы определение области определения функции:

Определение.

Область определения функции – это множество всех значений аргумента, на котором задается функция.

Теперь пару слов скажем про принятые обозначения.

Было принято функции обозначать малыми латинскими буквами, например, f, g, h и т.п. При этом стали использовать записи вида y=f(x), которые означают, что имеет место функциональная зависимость. Другими словами, этим записям придали следующий смысл: функция f есть правило, по которому каждому значению независимой переменной x из области определения функции f ставится в соответствие значение зависимой переменной y. В качестве примера приведем функцию, заданную формулой y=x2. Здесь f(x)=x2, то есть, f — функция возведения в квадрат. Она каждому значению независимой переменной из области определения ставит в соответствие значение зависимой переменной y=x2. К примеру, числу 3 эта функция поставит в соответствие число 9 (так как 32=9).

Для обозначения области определения функции f в свою очередь стали использовать краткую запись вида D(f). Здесь заметим, что для некоторых функций приняты свои обозначения, таковыми, например, являются тригонометрические функции. Поэтому, к примеру, можно встретить запись D(sin), которая обозначает область определения функции синус. Конечно, ее можно переписать и как D(f), где f – функция синус.

Если областью определения функции f является множество X, то принята запись D(f)=X. Например, область определения арксинуса (функция арксинуса обозначается как arcsin) есть числовой промежуток[в€’1, 1], это можно записать как D(arcsin)=[в€’1, 1].

К началу страницы

Области определения основных элементарных функций

Из определения функции понятно, что область определения функции является неотъемлемой частью самой функции, она задается вместе с самой функцией. То есть, когда вводится какая-либо функция, то область ее определения указывается изначально. Так на уроках алгебры последовательно изучаются функция за функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y=x2 и так далее, и области их определения указываются как свойства.

Перечислим области определения основных элементарных функций.

Постоянной

Постоянная функция, как известно, задается формулой y=C (то есть, f(x)=C), где C – некоторое действительное число. Она ставит в соответствие каждому действительному значению аргумента значение функции, равное С. Таким образом, область определения постоянной функции представляет собой множество всех действительных чисел R.

Например, область определения постоянной функции y=в€’3 (здесь f(x)=в€’3) есть множество всех действительных чисел (D(f)=(в€’в€ћ, +в€ћ) или D(f)=R). Еще пример: областью определения функции image, как и любой другой постоянной функции, также является множество R.

К началу страницы

Корня

Первой функцией, которая задается с использованием знака радикала, выступает функция извлечения квадратного корня image. Чуть позже подоспевает и обобщение – функция корень степени n, она задается с помощью формулы , где n – натуральное число, большее единицы. Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

  • Если n – четное число, то есть, n=2В·m, где mв€€N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел: .
  • Если же показатель корня является нечетным числом, большим единицы, то есть, n=2В·m+1, то областью определения корня является множество всех действительных чисел, то есть, .

Итак, область определения каждой из функций , … есть числовое множество [0, +в€ћ), а областью определения функций , … является множество (в€’в€ћ, +в€ћ).

К началу страницы

Степенной функции

Степенная функция задается формулой y=xa, то есть, f(x)=xa, где x – переменная в основании степени, a – некоторое число в показателе степени. Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени. Перечислим все возможные случаи.

  • Если a – положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел, что то же самое (в€’в€ћ, +в€ћ).
  • Для нецелых действительных положительных показателей степени D(f)=[0, +в€ћ).
  • Если a – отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (в€’в€ћ, 0)в€Є(0, +в€ћ).
  • Для всех остальных действительных отрицательных a областью определения степенной функции является числовой промежуток (0, +в€ћ).

При a=0 степенная функция y=xa определена для всех действительных значений x, кроме x=0. Это связано с тем, что мы не определяли . А любое отличное от нуля число в нулевой степени, как известно, равно единице. То есть, при a=0 имеем функцию на области определения (в€’в€ћ, 0)в€Є(0, +в€ћ).

Приведем несколько примеров для конкретики.

  • Областью определения функций y=x5, y=x12 является множество R, так как показатели степени целые положительные.
  • Степенные функции , определены на интервале [0, +в€ћ), так как их показатели положительные, но не целые.
  • Область определения функции y=xв€’2, как и функции y=xв€’5 — это множество (в€’в€ћ, 0)в€Є(0, +в€ћ), так как показатели степени целые отрицательные.
  • Наконец, областью определения степенных функций , является открытый числовой луч (0, +в€ћ), так как их показатели не целые и отрицательные.

К началу страницы

Показательной функции

Показательная функция задается формулой y=ax, где переменная x находится в показателе степени, а в основании стоит число a, которое больше нуля и не равно единице. Она определяется на множестве всех действительных чисел. Это значит, что область определения показательной функции – это множество R.

Для примера приведем показательные функции , y=ex, , y=13x, область определения каждой из них есть (в€’в€ћ, +в€ћ).

К началу страницы

Логарифма

Логарифмическая функция с основанием a, где число a>0 и aв‰ 1, — это функция, заданная формулой y=logax на множестве положительных действительных чисел. Логарифм по основанию a обозначается как loga, с основанием e – как ln, а с основанием 10 – как lg. Область определения логарифмической функции (или как еще говорят область определения логарифма) – это множество всех положительных действительных чисел, то есть, D(loga)=(0, +в€ћ), в частности, D(ln)=(0, +в€ћ) и D(lg)=(0, +в€ћ).

Приведем примеры. Рассмотрим логарифмические функции , y=log7x, y=lnx, область определения этих функций есть множество (0, +в€ћ).

К началу страницы

Тригонометрических функций

Давайте вспомним, как задаются тригонометрические функции, откуда будут видны их области определения.

Функция, которая задается формулой y=sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Таким образом, область определения синуса – это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin)=R.

Аналогично, функция, заданная формулой y=cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус – множество всех действительных чисел: D(cos)=R.

Функции, заданные формулами y=tgx и y=ctgx, называются тангенсом и котангенсом соответственно и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел .

Таким образом, если x – аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и соответственно.

К началу страницы

Обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция, которая задается формулой y=arcsinx и рассматривается на отрезке [в€’1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin. Из этого определения понятно, что область определения арксинуса – это множество [в€’1, 1], то есть, D(arcsin)=[в€’1, 1].

Аналогично, функция, которая задается формулой y=arccosx и рассматривается на отрезке [в€’1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos. Таким образом, область определения функции арккосинус есть отрезок [в€’1, 1], то есть, D(arccos)=[в€’1, 1].

Функции, которые задаются формулами вида y=arctgx и y=arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом соответственно, обозначаются arctg и arcctg. Область определения арктангенса и область определения арккотангенса есть все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg)=R и D(arcctg)=R.

К началу страницы

Таблица областей определения функций

Для удобства запоминания и использования результатов, изложенных выше, соберем их в таблицу. Не помешает сделать ее копию, и выделить ей место наряду с таблицей квадратов, таблицей простых чисел и т.п. Она может оказаться очень полезной при работе с функциями, особенно на первом этапе, пока ее содержимое не уляжется в памяти. Итак, таблица областей определения функций:

В заключение хочется сказать, что изучение функций в школе не ограничивается основными элементарными, в примерах и задачах встречаются функции, представляющие собой их всевозможные комбинации. И часто области определения таких функций не указываются, но подразумевается, что область определения функции в этом случае состоит из всех значений аргумента, при котором записанная формула имеет смысл. Вот здесь и встает вопрос, к ответу на который мы плавно переходим и который звучит так: «Как найти область определения функции»?

Список литературы.

  1. Алгебра: учеб. для 7В кл. общеобразоват. учреждений / [Ю.В Н.В Макарычев, Н.В Г.В Миндюк, К.В И.В Нешков, С.В Б.В Суворова]; под ред. С.В А.В Теляковского. — 17-еВ изд. — М. : Просвещение,В 2008. — 240В с. : ил. — ISBNВ 978-5-09-019315-3.
  2. МордковичВ А.В Г. Алгебра. 7В класс. В 2В ч. Ч.В 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.В Г.В Мордкович. — 17-еВ изд., доп. — М.: Мнемозина,В 2013. — 175В с.: ил. ISBNВ 978-5-346-02432-3.
  3. Алгебра: 9В класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.В Н.В Макарычев, Н.В Г.В Миндюк, К.В И.В Нешков, С.В Б.В Суворова]; под ред. С.В А.В Теляковского. — 16-еВ изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271В с. : ил. — ISBNВ 978-5-09-021134-5.
  4. МордковичВ А.В Г. Алгебра. 9В класс. В 2В ч. Ч.В 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.В Г.В Мордкович, П.В В.В Семенов. — 13-еВ изд., стер. — М.: Мнемозина,В 2011. — 222В с.: ил. ISBNВ 978-5-346-01752-3.
  5. МордковичВ А.В Г. Алгебра и начала анализа. 10В класс. В 2В ч. Ч.В 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.В Г.В Мордкович, П.В В.В Семенов. — 4-еВ изд., доп. — М.: Мнемозина,В 2007. — 424В с.: ил. ISBNВ 978-5-346-00792-0.
  6. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11В кл. общеобразоват. учреждений / А.В Н.В Колмогоров, А.В М.В Абрамов, Ю.В П.В Дудницын и др.; Под ред. А.В Н.В Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384В с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

К началу страницы

Если , то .

Логарифм — крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.

Свойства логарифмов

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что   означает, что:

.

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

;

;

.

Приведем основные алгебраические выражения:

;

;

;

.

[warning]Внимание!  может существовать только при x>0, x≠1, y>0.[/warning]

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

  • lg x — десятичный;
  • ln x — натуральный.

Используя тождество   можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

х у
1
е 1
е2≈7,34 2
  0,5
e-1≈0.36 -1

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве:  . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

.

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

;

;

;

;

.

Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:

;

;

;

;

;

.

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

[warning]Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма  .[/warning]

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале  .

Предел натурального log

Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0.</p>

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует.</p>

[warning]Внимание! При стремлении к нулю аргументу, функция y = ln x стремится к   (минус бесконечности).[/warning]

Предел натуральногоlog можно записать таким образом:

Это интересно! Азы геометрии: правильная пирамида — это

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

.

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

,

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

.

Воспользуемся свойством  (только вместо «с» у нас выражение):

Отсюда получаем универсальную формулу:

.

В частности, если z=e, то тогда:

.

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Это интересно! Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то  , получаем:

.

Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то  , получаем:

.

Тогда:

.

.

Еще раз применим определение логарифма:

.

Таким образом:

.

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение .

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

.

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

.

Первый корень уравнения:

.

Второй корень уравнения:

.

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

.

Используя определение логарифма: если  , то , получаем оба корня:

.

Вспомним, что область определения: . Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.

[warning]Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю — такой корень вам не подходит, исключите его.[/warning]

Интересные сведения

Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.

Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно:  , при этом s-ое простое число приблизительно будет равно  .

В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:

.

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится  битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

Тема урока: Область определения и графики функций, содержащихлогарифмы.Цели урока:— совершенствование умения находить область определения функ ции;— повышение навыков преобразования выражений, содержащих ло гарифмы;— выработка навыков построения графиков функций, содержащих логарифмы, используя область определения функции;— применение полученных знаний в нестандартных ситуациях;— закрепление исследовательских навыков учащихся.Оборудование урока: Мультимедийный проектор; интерактивная доска; маркерная доска с заданиями; песочные часы; игровой материал «Ситуация на экзамене»; интерактивная презентационная программа для распознавания графиков функций; раздаточный материал для выходного контроля.Ход урока:1. Вступительное слово учителя.2. Устная самостоятельная работа (входной контроль).3. Повторение пройденного материала.4. Создание проблемной ситуации.5. Постановка цели и задач урока.6. Построение графиков функций.7. Самостоятельная работа (выходная контрольная работа).8. Подведение итогов урока.9. Домашнее задание.1. Вступительное слово учителя.Мы изучили логарифмическую функцию, ее график и свойства. Сегодня мы остановимся на построении графиков более сложных функций, содержащих логарифмы.На ЕГЭ часто предлагают задания на распознавание графиков функций. Сейчас мы выполним такое задание.2. Устная самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой. На интерактивной доске изображены графики пяти функций.Задание. Определите на каком из заданных рисунков изображены графики следующих функций: В  Рисунок 1 Рисунок 3 Рисунок 2 Рисунок 4 Рисунок 5a) y = lnx; б) y = log0,5(x + 2); в) y = log 0,5 x + 2; г) y = lg |x|;д) y = | log2 x|Ответы запишите на листочках (на столах лежат надписанные листочки). Закончили? Обменяйтесь листочками. Проверим.Ответы:а)рисунок 4; б)рисунок 2;в) рисунок 1; г) рисунок 5; д) рисунок 3.Самооценка по самостоятельной работе: Оценка «5»- за 5 верных ответов; «4»- за 4 верных ответа;«3»- за 3 верных ответа.3. Повторение пройденного материала. Игра «Счастливый случай».Кто хочет поставить свою оценку «5» за самостоятельную работу в журнал или повысить оценку на 1 балл? Пожалуйста, поиграем.За 1 минуту ответить на возможное количество вопросов. В случае незнания ответа на заданный вопрос Вы говорите «Дальше» (время отмеряется при помощи песочных часов).1. Дать определение логарифма числа.2. Записать основное логарифмическое тождество.3. Для каких a и b справедливо это тождество?4. Область определения логарифмической функции.5. Область значений логарифмической функции.6. Чему равен логарифм единицы по любому основанию?7. Чему равен логарифм числа по тому же основанию?4. Проблемная ситуация (Сценка на выпускном экзамене).Учитель: Скоро вам всем предстоит сдавать выпускные и вступительные экзамены. Давайте мы заглянем в аудиторию, в которой идет экзамен.Преподаватель: Итак, слушаю Ваш ответ на третий вопрос билета.Ученица: Построить график функции y = 5lg x. Применив основное логарифмическое тождество, имеем y = x. Графиком данной функции является прямая – биссектриса I и III координатных углов. (Ученица показывает на график, построенный на доске).Преподаватель: График построен неверно. Даю Вам возможность подумать и исправить ошибку.Учитель: Ребята, где допущена ошибка? Про что забыла ученица?Ученики: Про область определения функции!Учитель: Чтобы уберечь вас от таких ошибок на выпускных и вступительных экзаменах, я и решила провести с вами сегодня урок на тему «Область определения и графики функций, содержащих логарифмы». Записали в тетрадях число и тему.5. Постановка задачи.Итак ребята, сегодня перед нами стоит задача:1. Найти область определения функции.2. Упростить данную функцию, если это возможно.3. Построить график полученной функции, совпадающей с исходной, на найденной области определения.Устные упражнения.1. y = 3. y= 122. y= 0,9 4. y= |x|Функции упрощаются на доске, графики функций показываются на интерактивной доске.6. Построение графиков функций.1. y= x 2. y=3x +log x 1 3. y=(x4)4. y=10lg cos x 5. y= Учащиеся находят область определения функции, упрощают функцию и строят графики функций. На интерактивной доске показываются графики функций, некоторые с ошибками, учащиеся исправляют ошибки на интерактивной доске.7. Самостоятельная работа учащихся (выходная контрольная работа в двух вариантах).Задание варианта 1. Совпадают ли графики функций y=и y = x2? Ответ обосновать.Задание варианта 2. Совпадают ли графики функций y=0,1и y = |x|? Ответ обосновать.8. Подведение итогов урока.Учащиеся обмениваются выходными контрольными работами, учитель объясняет правильное решение задач, графики функций показываются на интерактивной доске. По результатам входной и выходной контрольных работ учащимся проставляются оценки.9. Домашнее задание.Построить графики функций:1) y=132) y= (0,5)x + logx+4(2-x) log2-x(x+4)3) y=4) y= (x2 )5) Конкурс на самую удачную функцию.Составить каждому по одной функции, содержащую логарифм, найти ее область определения, упростить и построить график.

Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Поиск

Вики

Архив

image

Как найти область определения функции? Ученикам средних классов приходится часто сталкиваться с данной задачей.

Родителям следует помочь своим детям разобраться в данном вопросе.

Математические понятия

image

Задание функции.

Напомним основополагающие термины алгебры. Функцией в математике называют зависимость одной переменной от другой. Можно сказать, что это строгий математический закон, который связывает два числа определенным образом.

В математике при анализе формул числовые переменные подменяют буквенными символами. Наиболее часто используют икс («х») и игрек («у»). Переменную х называют аргументом, а переменную у — зависимой переменной или функцией от х.

Существуют различные способы задания зависимостей переменных.

Перечислим их:

  1. Аналитический тип.
  2. Табличный вид.
  3. Графическое отображение.

Аналитический способ представляют формулой. Рассмотрим примеры: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 является типичной для линейной функции. Подставляя в заданную формулу числовое значение аргумента, получаем значение y.

imageТабличный способ представляет собой таблицу, состоящую из двух столбцов. Первая колонка выделяется для значений икса, а в следующей графе записывают данные игрека.

Графический способ считается наиболее наглядным. Графиком называют отображение множества всех точек на плоскости.

Для построения графика применяют декартовую систему координат. Система состоит из двух перпендикулярных прямых. На осях откладывают одинаковые единичные отрезки. Отсчет производят от центральной точки пересечения прямых линий.

Независимую переменную указывают на горизонтальной линии. Ее называют осью абсцисс. Вертикальная прямая (ось ординат) отображает числовое значение зависимой переменной. Точки отмечают на пересечении перпендикуляров к данным осям. Соединяя точки между собой, получаем сплошную линию. Она являться основой графика.

Виды зависимостей переменных

image

Определение.

В общем виде зависимость представляется как уравнение: y=f(x). Из формулы следует, что для каждого значения числа х существует определенное число у. Величину игрека, которая соответствует числу икс, называют значением функции.

Все возможные значения, которые приобретает независимая переменная, образуют область определения функции. Соответственно, все множество чисел зависимой переменной определяет область значений функции. Областью определения являются все значения аргумента, при котором f(x) имеет смысл.

Начальная задача при исследовании математических законов состоит в нахождении области определения. Следует верно определять этот термин. В противном случае все дальнейшие расчеты будут бесполезны. Ведь объем значений формируется на основе элементов первого множества.

Область определения функции находится в прямой зависимости от ограничений. Ограничения обусловливаются невозможностью выполнения некоторых операций. Также существуют границы применения числовых значений.

При отсутствии ограничений область определения представляет собой все числовое пространство. Знак бесконечности имеет символ горизонтальной восьмерки. Все множество чисел записывается так: (-∞; ∞).

В определенных случаях массив данных состоит из нескольких подмножеств. Рамки числовых промежутков или пробелов зависят от вида закона изменения параметров.

imageУкажем список факторов, которые влияют на ограничения:

  • обратная пропорциональность;
  • арифметический корень;
  • возведение в степень;
  • логарифмическая зависимость;
  • тригонометрические формы.

Если таких элементов несколько, то поиск ограничений разбивают для каждого из них. Наибольшую проблему представляет выявление критических точек и промежутков. Решением задачи станет объединение всех числовых подмножеств.

Множество и подмножество чисел

image

О множествах.

Область определения выражают как D(f), а знак объединения представлен символом ∪. Все числовые промежутки заключают в скобки. Если граница участка не входит во множество, то ставят полукруглую скобку. В ином случае, когда число включается в подмножество, используют скобки квадратной формы.

Обратная пропорциональность выражена формулой у=к/х. График функции представляет собой кривую линию, состоящую из двух веток. Ее принято называть гиперболой.

Так как функция выражена дробью, нахождение области определения сводится к анализу знаменателя. Общеизвестно, что в математике деление на нуль запрещено. Решение задачи сводится к уравниванию знаменателя к нулю и нахождению корней.

imageПриведем пример:

Задается: у=1/(х+4). Найти область определения.

Решение:

Ответ: областью определения функции являются все действительные числа, кроме -4.

Значение числа под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. В этом случае определения функции с корнем сводится к решению неравенства. Подкоренное выражение должно быть больше нуля.

Область определения корня связана с четностью показателя корня. Если показатель делится на 2, то выражение имеет смысл только при его положительном значении. Нечетное число показателя указывает на допустимость любого значения подкоренного выражения: как положительного, так и отрицательного.

Неравенство решают так же, как уравнение. Существует только одно различие. После перемножения обеих частей неравенства на отрицательное число следует поменять знак на противоположный.

Если квадратный корень находится в знаменателе, то следует наложить дополнительное условие. Значение числа не должно равняться нулю. Неравенство переходит в разряд строгих неравенств.

Логарифмические и тригонометрические функции

image

Пример.

Логарифмическая форма имеет смысл при положительных числах. Таким образом, область определения логарифмической функции аналогична функции квадратного корня, за исключением нуля.

Рассмотрим пример логарифмической зависимости: y=lоg(2x-6). Найти область определения.

Решение:

  • 2x-6>0
  • 2x>6
  • х>6/2

Ответ: (3; +∞).

Областью определения y=sin x и y=cos x является множество всех действительных чисел. Для тангенса и котангенса существуют ограничения. Они связаны с делением на косинус либо синус угла.

Тангенс угла определяют отношением синуса к косинусу. Укажем величины углов, при которых значение тангенса не существует. Функция у=tg x имеет смысл при всех значениях аргумента, кроме x=π/2+πn, n∈Z.

Областью определения функции y=ctg x является все множество действительных чисел, исключая x=πn, n∈Z. При равенстве аргумента числу π или кратному π синус угла равен нулю. В этих точках (асимптотах) котангенс не может существовать.

Первые задания на выявление области определения начинаются на уроках в 7 классе. При первом ознакомлении с этим разделом алгебры ученик должен четко усвоить тему.

Следует учесть, что данный термин будет сопровождать школьника, а затем и студента на протяжении всего периода обучения.

Поделитесь с друзьями: Добавьте эту статью в избранное, чтобы не потерять!RSS или E-mail: —>

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий