Степени чисел. Определение степени числа. Пример степени числа. Возведение числа. Степень числа

Возвести число в целую степень (вторую, третью, четвертую и т.д.) — значит повторить это число собственным сомножителем два, три, четыре и т.д. раз. Основание степени — это число, которое повторяется сомножителем. Показатель степени — это число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель. Результат называется степенью.

Запись:

[ 3^4 = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 = 81 ]

Здесь 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Произвести возведение в степень, найти степень

Возведение в степень

стр. 17

А вот как написать степень на клавиатуре в Блокноте или в Word? Ведь на клавиатуре нет маленьких чисел для обозначения степеней.

Содержание (кликабельно): 1. Два кода для написания степени в квадрате или в кубе 2. «Надстрочный знак» в Word позволяет напечатать любую степень числа

3. Пункт «Надстрочный» для превращения любого символа в степень 4. Таблица символов для ввода степени

Два кода, чтобы написать степень в квадрате и в кубе

image

Рис. 1. Вторая и третья степень появились в Блокноте с помощью комбинаций клавиш.

Проблема в том, что клавиатура не оснащена такой клавишей, которая позволила бы вот так просто поставить степень. Но для этого существуют специальные комбинации клавиш:

«Alt+0178» – с ее помощью можно написать вторую степень (²);

«Alt+0179» – используя эту комбинацию, можно написать третью степень (³).

Однако не все так просто, есть нюансы.

Как написать степень на клавиатуре с помощью кодов

1) Перед тем как воспользоваться вышеперечисленными комбинациями, следует убедиться, что выставлен английский язык.

2) Затем нужно активировать цифровую панель путем нажатия на «Num Lock». Такую панель называют еще малой цифровой клавиатурой.

На полноразмерной клавиатуре из 104 клавиш малая клавиатура находится справа на отдельной панели. Там достаточно один раз нажать на клавишу «Num Lock».

На ноутбуке в силу его компактных размеров малая цифровая клавиатура находится обычно на основной клавиатуре. Чтобы ее активировать, чаще всего надо, удерживая вспомогательную клавишу «Fn», нажать на «Num Lock».

Подробнее: Что такое малая цифровая клавиатура и где она расположена

3) Поставить курсор в то место текста, куда требуется вставить степень.

4) Удерживая клавишу «Alt», поочередно набрать цифры на малой клавиатуре, например, 0, 1, 7, 8. Отпустив «Alt», на экране сразу увидим степень 2 («в квадрате»).

Также удерживая «Alt», можно последовательно нажать на малой цифровой клавиатуре цифры 0, 1, 7, 9. Отпустив «Alt», получим 3 степень («в кубе»).

Частая ошибка при вводе степени числа. Зажав «Alt», можно по идее набирать цифры 0, 1, 7, 8 или 0, 1, 7, 9 с помощью тех цифровых клавиш, что находятся на основной клавиатуре в ее верхнем ряду. Но степень 2 или 3 в результате комбинации таких клавиш, увы, НЕ появится. Необходимо код 0178 набирать только с помощью клавиш малой цифровой клавиатуры. Хотя, казалось бы, чем могут отличаться цифры на обычной клавиатуре и на малой цифровой клавиатуре? Тем не менее – они отличаются, и еще как.

5) Затем можно выключить цифровую панель, нажав на «Num Lock». На ноутбуке, как правило, надо зажать «Fn», потом нажать «Num Lock» и панель будет выключена.

Этот способ для ввода степени числа работает в большинстве стандартных текстовых редакторах, например, в Word и в Блокноте.

«Надстрочный знак» в Word, чтобы напечатать любую степень числа

В Word есть встроенная кнопка, при помощи которой можно написать степень числа на клавиатуре. Она называется «Надстрочный знак» («X²») и располагается во вкладке «Главная».

image

Рис. 2 (Клик для увеличения). «Надстрочный знак» («X²») во вкладке «Главная» позволяет написать степень числа.

  1. Сначала следует напечатать число, которому необходимо придать вид степени.
  2. Затем выделить его.
  3. И в заключение нажать на «X²» (рис. 2).

Кроме цифр, можно также превращать в степень и буквы. Так можно сделать текст маленького размера и поместить его наверху строки текста.

Такое выделение текста, возможно, кому-то понадобится в разных ситуациях. Так что кнопка Ворда для написания степени числа является универсальной. Она превращает в «степень» любую последовательность символов.

Пункт «Надстрочный» превращает любой символ в степень

Этот вариант работает во всех версиях Word, в том числе в устаревших.

Рис. 3. Выделен символ «К». Клик по нему с помощью правой кнопки мыши открывает меню с опцией «Шрифт».

Процесс написания степени числа осуществляется следующим образом:

1) Необходимо выделить число или букву, которому требуется придать вид степени.

2) Затем кликнуть по выделенному числу ПКМ (правой кнопкой мыши).

3) Далее следует перейти в «Шрифт» и отметить пункт «Надстрочный».

4) Нажать «OK», чтобы подтвердить действия.

Рис. 4 (Кликните для увеличения). Меню «Шрифт» с опцией «надстрочный».

После выполнения этих несложных действий выделенная цифра или буква примет вид степени числа. Выделять также можно не только отдельную букву или символ, но и любую длинную последовательность символов. Тогда вся выделенная последовательность приобретет вид «надстрочный».

Таблица символов для ввода степени

Рис. 5. Таблица символов. Выделены степени 2 и 3.

В операционной системе Windows есть Таблица символов. Она позволяет найти и вставить в свой текст какой-либо символ, которого нет на клавиатуре.

1) В строке поиска набираем: таблица символов. Будет найдена таблица, надо ее открыть.

2) Открываем шрифт «Times New Roman» (рис. 5), либо «Arial» или по своему выбору. В указанных шрифтах есть 2 и 3 степень. Кликаем по ней и нажимаем кнопку «Выбрать». Степень появится в поле «Для копирования».

3) Далее жмем кнопку «Копировать». Таким образом, выбранная степень будет скопирована в буфер обмена, то есть в оперативную память компьютера.

4) Ставим курсор в то место, где требуется вставить степень. Нажимаем на кнопку «Вставить», которая находится в Ворде в левом верхнем углу.

Демонстрация степени числа или написание надстрочных символов позволяет украшать текст, делать его более привычным и понятным для восприятия.

Дополнительно:

1. Как поставить значок градуса в Ворде или с помощью Таблицы символов в любой программе Windows

2. Обтекание картинки в Ворде: как ее вставить в текст, изменить размер и расположить рядом с текстом

3. Сложная сортировка в Ворде по трем параметрам

4. Как открыть два окна в Ворд одновременно

5. Как создать файл Ворд на компьютере с Windows 10

Распечатать статью

Получайте актуальные статьи по компьютерной грамотности прямо на ваш почтовый ящик. Уже более 3.000 подписчиков

.

Важно: необходимо подтвердить свою подписку! В своей почте откройте письмо для активации и кликните по указанной там ссылке. Если письма нет, проверьте папку Спам.

25 мая 2020

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Содержание

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m),
  • an : am = (a)(n-m),
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них,
  • затем возведение в степень,
  • потом выполнять действия умножения, деления,
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1…и т. д.

A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
  • А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа,

  • 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3,

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Степень с рациональным показателем

Для начала дадим определение степени числа с натуральным показателем. Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для действительного числаa, которое будем называть основанием степени, и натурального числаn, которое будем называть показателем степени.

” alt=””>

Из данного определения понятно, что с помощью степени с натуральным показателем можно кратко записывать произведения нескольких одинаковых множителей. Например, 8·8·8·8 можно записать как степень 84.

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи an таков: «a в степени n». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n-ой степени» и «n-ая степень числа a». Для примера возьмем степень 812, это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 72 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 53 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями. Начнем со степени 57, здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: десятичная дробь4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32)9.

В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2)3 и −23.

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n. При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки.

Например, 4^9 – это другая запись степени 49. А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^»: 14^(21), (−2,1)^(155).

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к понятию корня из числа.

Также стоит изучить свойства степени с натуральным показателем, которые вытекают из данного определения степени и свойств умножения.

От целых показателей степени числа a напрашивается переход к рациональным показателем. Ниже мы определим степень с рациональным показателем, причем будем это делать так, чтобы сохранялись все свойства степени с целым показателем. Это необходимо, так как целые числа являются частью рациональных чисел.

” alt=””>

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n, где m – целое число, а n — натуральное.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили корень n-ой степени, то логично принять при условии, что при данных m, n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод: если при данных m, n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n-ой степени из a в степени m.

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m, n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m, n и a существуют два основных подхода.

  1. Проще всего наложить ограничение на a, приняв a≥0 для положительных m и a

Математика – точная наука, и математический язык приветствует употребление более кратких записей.

imageВместо записи 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, математик использует запись 5 · 6, потому что у нас шесть одинаковых слагаемых.

А запись 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 математик заменит записью 56, потому что шесть одинаковых множителей.  Конечно, при необходимости можно использовать обратные записи.

Мы знаем, что 76 есть произведение шести множителей, каждый из которых равен 7:

76 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7.

Число 7 – основание степени, число 6 – показатель степени, выражение 76 – степень.

Дадим определение степени для любого основания и любого натурального показателя.

Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Для степени числа а с показателем n принято обозначение: аn.

По определению  аn = а · а · а · а… а. (n раз)

В определение не включён случай, когда показатель n = 1, так как не имеет смысла говорить о произведении, состоящем из одного множителя. Степень с показателем 1 определяется особо.

Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: а1 = а.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие выполняется первым при вычислении значения выражения.

Рассмотрим примеры вычислений значений выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдём значение степеней  (-4)(-4)3.

(-4)4 = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 256

(-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = -64

Обратим внимание, при возведении в степень отрицательного числа, положительное число получается, если число возводится в чётную степень, если же отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число.

imageПример 2. Вычислим (3/4)3.

(3/4)3 = 3/4 · 3/4 · 3/4 = 27/64.

Пример 3. Найдем значение выражения  6 · 33.

Чтобы найти значение этого выражения, достаточно сначала найти значение степени 33, а затем выполнить умножение:

1) 33 = 3 · 3 · 3 = 27

2) 6 · 27 = 162.

Значение степени можно найти с помощью вычислительной техники, а можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 4. Рассмотрим ещё один пример. Найдём значение выражения 0,5 · 482.

0,5 · 482 = 0,5 · 2304 = 1152

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Что? Откуда? Почему? – 5 Ручка. Как решать уравнения с модулем

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий