Соответственные углы — определение

22Авг 2013 Елена Репина2013-08-222014-01-31ОпределениеПодобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.imageПризнаки подобия треугольников I признак подобия треугольниковЕсли два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.image II признак подобия треугольников III признак подобия треугольниковЕсли три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Свойства подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников 1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.2. Треугольники   и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – 3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Здесь вы найдете  подборку задач по теме «Подобные треугольники».
—> Автор: | комментариев 50Печать страницыПохожие статьи на сайте…

    5-9 класс Хороший вопрос Жалоба Ответить Allinsschneider 16 окт. 2016 г., 2:40:38 (4 года назад) Хороший ответ ЖалобаОтветить Ответить

    Другие вопросы из категории

    Угол А равнобедренной трапеции ABCD. с основания AD и BC равен 38 градусам. Из точки D проведена прямая, которая пересекает сторону BC в точке К и Cd=DK.

    Найдите угол CDK

    5-9 класс ответов 1 в примом треугольники AВС (С =90 градусов) провидена высота СD так что длина отрезка ВD на 4 см больше отрезка CD,AD=9см найди стороны треугольника

    AВC

    5-9 класс ответов 1 Найти угол АСО, если его сторона СА касается окружности, о — центр окружности, а дуга АD окружности,заключенная внутри этого угла, равна 100 градусов. 5-9 класс ответов 1 2)сумма трех углов параллелограмма равна 254градуса.Найдите углы параллелограмма 5-9 класс ответов 1 диагональ трапеции 10 см и 15 м высота равна 12 м определить прапеции площадь 5-9 класс ответов 7

    Читайте также

    1) Сформулируйте признак параллельности двух прямых о соответственных углах. 5-9 класс ответов 1 укажите верные утверждения: 1) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой,то соответственные углы равны. 2) Если две

    параллельные прямые пересечены третьей прямой,то сумма внутренних односторонних углов равна 90.

    3) Если при пересечение двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые перпендикулярны.

    5-9 класс ответов 1 укажите номера верных утверждений: 1) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой,то соответственные углы равны. 2) Если две

    параллельные прямые пересечены третьей прямой,то сумма внутренних односторонних углов равна 90.

    3) Если при пересечение двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые перпендикулярны.

    4) Если при пересечение двух прямых третьей внутренние односторонние углы равны, то прямые перпендикулярны.

    5) Если при пересечение двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые перпендикулярны.

    5-9 класс ответов 1 1) укажите 2 угла,каждый из которых образует с углом КLM пару односторонних углов: 2)укажите 2 угла каждый из которых образует с углом KLM пару накрест

    лежащих углов 3)укажите 2 угла каждый из которых образуес с углом KLM пару соответственных углов

    http://content.foto.mail.ru/inbox/irishka1999/_answers/i-43.jpg

    5-9 класс ответов 2 Найдите градусные меры всех восьми углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, если известно: а) сумма соответственных углов

    равна 120 градусов; б) сумма внутренних накрест лежащих углов равна 250 градусов.

    5-9 класс ответов 1 Вы находитесь на странице вопроса «Соответственные углы — определение«, категории «геометрия«. Данный вопрос относится к разделу «5-9» классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории «геометрия«. Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.☰

    Обычно рассматривают углы либо с соответственными параллельными сторонами, либо с соответственно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим сначала первый случай.

    Пусть даны два угла ABC и DEF. Их стороны соответственно параллельны: AB || DE и BC || EF. Такие два угла будут либо равны, либо их сумма будет равняться 180°. На рисунке ниже в первом случае ∠ABC = ∠DEF, а во втором ∠ABC + ∠DEF = 180°.

    Доказательство, что это действительно так, сводится к следующему.

    Рассмотрим, углы с соответственно параллельными сторонами, расположенные как на первом рисунке. При этом продлим прямые AB и EF до пересечения. Обозначим точку пересечения буквой G. Кроме того для наглядности последующего доказательства на рисунке продлена сторона BC.

    Так как прямые BC и EF параллельны, то если прямая AB пересекает одну из них, то она обязательно пересечет и другую. То есть прямая AB является секущей для двух параллельных прямых. Как известно, в таком случае накрест лежащие углы при секущей равны, односторонние составляют в сумме 180°, соответственные равны.

    То есть, какую бы пару углов мы не взяли при вершинах B и G (один угол от одной, другой от второй), мы всегда получим либо равные углы, либо дающие в сумме 180°.

    Однако прямые AB и DE тоже параллельны. Для них уже прямая EF — это секущая. Значит, любые пары углов из вершин G и E будут в сумме составлять либо 180°, либо равняться друг другу. Отсюда следует, что и пары углов из вершин B и E будут подчиняться данному правилу.

    Например, рассмотрим углы ∠ABC и ∠DEF. Угол ABC равен углу BGE, так как эти углы соответственные при параллельных прямых BC и EF. В свою очередь угол BGE равен углу DEF, так как эти углы соответственны при параллельных AB и DE. Таким образом доказано, ∠ABC и ∠DEF.

    Теперь рассмотрим углы ∠ABC и ∠DEG. Угол ABC равен углу BGE. Но ∠BGE и ∠DEG — это односторонние углы при параллельных прямых (AB || DE), пересеченных секущей (EF). Как известно, такие углы в сумме составляют 180°. Если мы посмотрим на второй случай на первом рисунке, то поймем, что он соответствует паре углов ABC и DEG на втором рисунке.

    Таким образом, два разных угла, у которых стороны соответственно параллельны, либо равны друг другу, либо составляют в сумме 180°. Теорема доказана.

    Следует отметить особый случай — когда углы развернутые. В таком случае они будут очевидно равны друг другу.

    Теперь рассмотрим углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Этот случай выглядит сложнее, так как взаимное расположение углов разнообразнее. На рисунке ниже три примера того, как могут располагаться углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Однако в любом случае одна сторона первого угла (или ее продолжение) перпендикулярна одной стороне второго угла, а вторая сторона первого угла перпендикулярна второй стороне второго угла.

    Рассмотрим один из случаев. При этом проведем в одном угле биссектрису и через произвольную ее точку проведем перпендикуляры к сторонам ее угла.

    Здесь даны углы ABC и DEF с соответственно перпендикулярными сторонами: AB ⊥ DE и BC ⊥ EF. На биссектрисе угла ABC взята точка G, через которую проведены перпендикуляры к этому же углу: GH ⊥ AB и GI ⊥ BC.

    Рассмотрим треугольники BGH и BGI. Они прямоугольные, так как в них углы H и I прямые. В них углы при вершине B равны, так как BG — биссектриса угла ABC. Также у рассматриваемых треугольников сторона BG общая и является гипотенузой для каждого из них. Как известно, прямоугольные треугольники равны друг другу, если равны их гипотенузы и один из острых углов. Таким образом, ∆BGH = ∆BGI.

    Так как ∆BGH = ∆BGI, то ∠BGH = ∠BGI. Поэтому угол HGI можно представить не как сумму этих двух углов, а как один из них умноженный на 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.

    Угол ABC можно представить как сумму двух углов: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Поскольку слагаемые углы равны друг другу (т. к. образуются биссектрисой), то угол ABC можно представить как произведение одного из них и числа 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.

    Углы BGH и GBH — это острые углы прямоугольного треугольника, а значит в сумме составляют 90°. Посмотрим на равенства, которые получаются:

    Сложим два последних:

    ∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

    Вынесем общий множитель за скобку:

    ∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

    Так как сумма углов в скобках равна 90°, то получается, что углы HGI и ABC в сумме составляют 180°:

    ∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°

    Итак, мы доказали, что сумма углов HGI и ABC составляет 180°. А теперь снова посмотрим на рисунок и вернем свой взор на угол, с которым у угла ABC соответственно перпендикулярные стороны. Это угол DEF.

    Прямые GI и EF параллельны друг другу, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой BC. А как известно, прямые, которые перпендикулярны одной и той же прямой, параллельны друг другу. По этой же самой причине DE || GH.

    Как ранее уже было доказано, углы с соответственно параллельными сторонами либо в сумме составляют 180°, либо равны друг другу. Значит, либо ∠DEF = ∠HGI, либо ∠DEF + ∠HGI = 180°.

    Однако ∠ABC + ∠HGI = 180°. Отсюда делается вывод, что и в случае с соответственно перпендикулярными сторонами углы или равны, или составляют в сумме 180°.

    Хотя в данном случае мы ограничились доказательством только суммы. Но если мысленно продлить сторону EF в обратном направлении, то увидим угол, который равен углу ABC, и при этом его стороны также перпендикулярны углу ABC. Доказать равенство таких углов можно, рассматривая углы с соответственно параллельными сторонами: ∠DEF и ∠HGI.

    Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

    Углы по определению

    Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

    Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

    Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

    Доказательство теоремы

    Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

    Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

    Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

    Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

    Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

    Следствие из свойства прямых

    На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

    Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

    Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

    Построение параллелограмма

    Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

    Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

    Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

    По построению AB=BD=AD.Следовательно, AB=CD.Точки C и D равноудалены от A и B.Отрезки AB и CD параллельны.Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

    Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

    Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

    1. Первый признак параллельности.

    Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

    Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).

    Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

    2. Второй признак параллельности.

    Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

    Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

    На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

    Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

    3. Третий признак параллельности.

    Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (рис.).

    Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d. Но ∠3 + ∠2 = 2d, как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

    Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

    Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°), то эти две прямые параллельны.

    Признаки параллельных прямых:

    Аксиома параллельности Евклида

    Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.

    Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,

    Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).

    На основании теоремы («Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.») заключаем, что СD || АВ.

    2-й с п о с о б (черт. 200).

    Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы (Признаки параллельности прямых) заключаем, что ЕF || АВ.

    Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?

    Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.

    В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:

    Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

    На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.

    Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.

    Принятая Евклидом в его «Началах» аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида.

    Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.

    Оцените статью
    Рейтинг автора
    5
    Материал подготовил
    Илья Коршунов
    Наш эксперт
    Написано статей
    134
    А как считаете Вы?
    Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
    ли со статьей или есть что добавить?
    Добавить комментарий