Разложение многочлена на множители. Часть 3. Теорема Безу и схема Горнера

На чтение 19 мин. Просмотров 11 Опубликовано

imageСайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.2013-03-0404Мар 2013 Разложение  многочлена на множители.  Теорема Безу и схема ГорнераКак обычно, обратимся за помощью к теории.Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена    на  двучлен равен .Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:Если число является корнем многочлена , то многочлен   делится без остатка на двучлен .Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где – корень многочлена. В результате мы  получаем многочлен,    степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.Остановимся подробнее на этих моментах.1. Как найти корень многочлена.Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.Здесь нам помогут такие факты:Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.Если сумма коэффициентов многочлена  при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а – четное число.Например, в многочлене  сумма коэффициентов при четных степенях :   , и сумма коэффициентов при нечетных степенях :   . Легко проверить, что является корнем многочлена.Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент – коэффициент при – равен единице) справедлива формула Виета: , где – корни многочлена .Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.Из этой формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.Рассмотрим, например, многочлен Делители свободного члена: ; ; ; Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.Сумма коэффициентов при четных степенях  :   Сумма коэффициентов при нечетных степенях : , следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.Проверим, является ли число 2 корнем  многочлена: , следовательно, число 2  является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .2. Как разделить многочлен на двучлен.Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.Разделим многочлен  на двучлен столбиком: Есть и другой способ деления многочлена на двучлен – схема Горнера. Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера. Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 – так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена   мы можем найти по схеме Горнера: Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.Используя схему Горнера, мы “убиваем двух зайцев”: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .Пример. Решить уравнение: 1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.Делители числа 24: 2. Проверим, является ли число 1  корнем многочлена.Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена. Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.Б) Заполняем первую строку таблицы. В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы: Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена . Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже  числа -24.Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена : Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.В последнем столбце мы получили -40 – число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен  с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.Идем дальше.В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке: Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен  без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена  на двучлен в таблице изображены зеленым цветом. В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета: Итак, корни исходного уравнения :{ }Ответ: { }И.В. Фельдман, репетитор по математике. Поделись знанием: Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск Сюда перенаправляется запрос «Приведённый многочлен». На эту тему нужна отдельная статья(англ.). Запрос «Полином» перенаправляется сюда; о гидроакустической станции см. Полином (гидроакустическая станция).

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествахевклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения

  • Многочлен вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}cdots x_n^{i_n} называется одночленом или мономом мультииндекса I=(i_1,dots,,i_n).
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,dots,,0) называется свободным членом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}cdots x_n^{i_n} называется целое число |I|=i_1+i_2+dots+i_n.
  • Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты c_I ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением -infty.
  • Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
  • Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом.
  • Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативногокольцаR (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцомR без делителей нуля) которое обозначается R[x_1,x_2,dots,x_n].

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцомR. Произвольный многочлен p(x)in R[x_1,x_2,dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:Ato A.

Чаще всего рассматривают случай A=R.

В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f_p:R^nto R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)equiv x и p_2(x)equiv x^2 из Z_2[x] определяют тождественно равные функции Z_2toZ_2.

Виды многочленов

  • Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым, если его старший коэффициент равен единице.
  • Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
    • Например x^2+xy+y^2 — однородный многочлен двух переменных, а x^2+y+1 не является однородным.
  • Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

  • Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
  • Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
  • Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
    • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Делимость

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение мнгогочленов pq делится на неприводимый многочлен lambda, то p или q делится на lambda. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x^4-2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n>2 существуют многочлены от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения

  • Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
  • Квазимногочлен
  • Тригонометрический многочлен

См. также

(831) 247 47 55 eduVdom.com

Геометрия ( Справочник )Стереометрия ( Справочник )Математика ( Справочник )Русский язык ( Справочник )Физика ( Справочник )

Математика:

Основы:    Координатная прямая, сравнение чисел    Рациональные числа

Числа и выражения:    Выражения, преобразования выражений    Степень с натуральным показателем, ее свойства    Одночлены, многочлены    Рациональные дроби и их свойства    Квадратные корни    Степень с целым показателем и ее свойства    Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства    Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Уравнения и неравенства:    Уравнения с одной переменной    Системы линейных уравнений    Квадратные уравнения    Неравенства с одной переменной и их системы

Функции и графики:    Функции, их свойства    Линейная функция (прямая пропорциональность)    Гипербола (обратная пропорциональность)    Квадратичная функция (парабола)    Степенная функция    График сложной функции

Прогрессии:    Арифметическая прогрессия    Геометрическая прогрессия

Текстовые задачи:    Решение текстовых задач

Теория вероятностей:    Теория вероятностей

Метод рационализацииНахождение множества значений функции

Действие с дробями простыми и десятичнымиФормулы сокращённого умноженияИррациональные уравнения

Контакты

 eduVdom.com+7 910 874 73 73+7 904 064 04 04Больше контактов...Оставить отзыв...

Определение: Многочленом от одной переменной — это многочлен вида где — числовые коэффициенты.

Определение: Если то этот многочлен называется многочленом -ой степени относительно переменной .

Член называется старшим членом многочлена a — его свободным членом.

— многочлен третьей степени.

Тождественно равные многочлены от одной переменной

Определение: Два многочлена называются тождественно равными, если они принимают равные значения при всех значениях переменной.

Свойства тождественного равенства многочленов от одной переменной

  1. Если многочлен тождественно равен нулю (то есть приобретает нулевых значений при всех значениях ), то все его коэффициенты равны нулю.
  2. Если два многочлена тождественно равны (то есть приобретают одинаковые значения при всех значениях ), то они совпадают (то есть их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Деление многочлена на многочлен

Определение: Если для двух многочленов можно найти такой многочлен , , то говорят, что делится на .

Пример

Поскольку, , то многочлен делится на многочлен

Деление многочлена на многочлен з остачею

Определение: Многочлен делится на многочлен з остачею, если можно найти пару многочленов , что , причем степень остатка меньше степени .

Если остаток , то многочлен делится на многочлен без остатка)

Пример

,

Деление многочлена на многочлен “уголком”

Правило деления многочленов от одной переменной

  1. Разместить члены многочленов с нисходящими степенями переменной.
  2. Разделить старший член делимого на старший член делителя.
  3. Полученный результат умножить на делитель и это произведение вычесть из делимого.
  4. С полученной разницей выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат вновь умножают на делитель и так далее. Этот процесс продолжают дать, пока не получат остатка в ноль (если один многочлен делится на другой) или пока у остатка не получат многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Теорема Непре

Остаток от деления многочлена на двочлен равна

Следствие: Если — корень многочлена (то есть ), то этот многочлен делится без остатка на .

Пример

Остаток от деления многочлена на двочлен равна , то есть делится на без остатка.

Поделив на “уголком” или по схеме Горнера, получаем:

многочлен в словаре кроссвордиста

многочлен

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

многочлен

многочленна, м. (мат.). Алгебраическое выражение представляющее сумму или разность нескольких одночленов.

Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

многочлен

-а, м. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов.

прил. многочленный, -ая, -ое.

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

многочлен

м. Алгебраическое выражение, представляющее собою сумму нескольких одночленов.

Энциклопедический словарь, 1998 г.

многочлен

МНОГОЧЛЕН (полином) алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Axkyl… wm где x, y,…, w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l,…, m (показатели степеней – целые неотрицат. числа) – постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде аохn + а1хn-1 +… + аn-1х + аn.

Большая Советская Энциклопедия

Многочлен

полином, выражение вида

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

где х, у, …, w ≈ переменные, а А, В, …, D (коэффициенты М.) и k, l, …, t (показатели степеней ≈ целые неотрицательные числа) ≈ постоянные. Отдельные слагаемые вида Ахkyl┘..wmназываются членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене ≈ степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена М. называются подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

А’хkyl┘..wm, B’xkyl┘..wm, ┘.., D’xkyl┘..wm

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два М. называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. М. от одного переменного х можно всегда записать в виде

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + … + an-1x+ an,

где a0, a1,…, an ≈ коэффициенты.

Сумму показателей степеней какого-либо члена М. называют степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у ≈ z + 1 есть многочлен первой степени (линейный М.), 5×2 ≈ 2×2 ≈ 3х2 не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. М., все члены которого одинаковой степени, называется однородным М., или формой ; формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x2 + y2 + z2 ≈ ху ≈ yz ≈ xz есть тройничная квадратичная форма).

Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над М. действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом, совокупность всех М. с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. Кольцо алгебраическое) ≈ кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0.

Если для двух многочленов Р(х) и Q(x) можно найти такой многочлен R(x), что Р = QR, то говорят, что Р делится на Q; Q называется делителем, a R ≈ частным. Если Р не делится на Q, то можно найти такие многочлены Р(х) и S(x), что Р = QR + S, причём степень S(x) меньше степени Q(x).

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q, т. е. такой делитель Р и Q, который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Евклида алгоритм ). М., который можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае ≈ неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R, a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R. Каждый М. степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x4 + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя

в поле действительных чисел и на четыре множителя ═в поле комплексных чисел. Вообще каждый М. от одного переменного х разлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел ≈ на множители первой степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать; например, многочлен x3 + yz2 + z3 неприводим в любом числовом поле.

Если переменным х, у, …, w придать определённые числовые значения (например, действительные или комплексные), то М. также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций , где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций .

К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить М. (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на каком-либо ограниченном, замкнутом множестве точек, например на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами математического анализа, даёт возможность приближённо выражать М. любую связь между величинами, изучаемую в каком-либо вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения исследуются в специальных разделах математики (см. Приближение и интерполирование функций , Наименьших квадратов метод ).

В элементарной алгебре многочленом иногда называются такие алгебраические выражения, в которых последним действием является сложение или вычитание, например

Лит. : Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965.

А. И. Маркушевич.

Википедия

Многочлен

Многочле́н (или полино́м от – много + – имя) от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

∑cxx⋯x, где

  • I = (i, i, …, i) — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
  • c — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c + cx + … + cx, где

  • c — фиксированные коэффициенты ,
  • x — переменная .

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция .

Примеры употребления слова многочлен в литературе.

Мчался царь во весь опор свирепых своих коэффициентов, блуждал по лесу символов шестииндексных, возвращался по собственному следу, атаковал монстра до седьмого пота и восьмой равнодействующей, а чудовище распалось на сто многочленов, потеряв один икс и два ипсилона, забралось в знаменатель, вылупилось из кокона, взмахнуло корнями и как ударит математизированную царскую особу по боку, так что содрогнулось все царево уравнение, словно ударом наотмашь пораженное.

Дополнить алгоритм вычисления значения многочлена в заданной точке по схеме Горнера вычислением значения его производной в той же точке.

Источник: библиотека Максима Мошкова

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий

© 2023