Содержание
- Свойства равнобедренного треугольника
- Признаки равнобедренного треугольника
- Формулы равнобедренного треугольника
- Типы треугольников
- Треугольник равносторонний
- Признаки и свойства
- Вписанные и описанные окружности
- Вычисление высоты, периметра и площади
- Построение
- Свойства[править | править код]
- Высота
- Биссектриса
- Медиана
-
Автор
Анастасия Белова
-
Рубрика
7 класс
-
Дата публикации
09.12.2020
-
Просмотры
60533
Каникулы со смыслом в Skysmart для детей 4-17 лет
Смотреть летние курсы →
Определение равнобедренного треугольника звучит проще простого:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, используйте формулу: b = 2a cos
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.
Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.
А вот и доказательство:
- Δ ABC
- Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
- Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
- Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
- Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
- AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
- Δ ABH = Δ BCH
- Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC
Вуаля, сразу три теоремы доказаны.
Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).
Доказательство:
Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.
Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.
Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник снова равнобедренный!
- Если два угла треугольника равны, такой треугольник является равнобедренным.
Свойства углов равнобедренного треугольника
|
Формулы сторон равнобедренного треугольника
b — основание равнобедренного треугольника
a — равные стороны равнобедренного треугольника
α — углы при основании
β — угол, образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника
Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
b — основание равнобедренного треугольника
a — равные стороны равнобедренного треугольника
α — углы при основании
β — угол, образованный равными сторонами
L — высота, биссектриса и медиана
Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)
Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.
Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.
Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘
Бесплатный вводный урок Шаг 1 из 2. Данные ученика
Содержание:
- Свойства равнобедренного треугольника.
- Признаки равнобедренного треугольника.
- Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
АС — основание
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
- Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
- Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
- Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Доказательство теоремы:
- Дан Δ ABC.
- Из точки В проведем высоту BD.
- Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
- Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
- В Δ ABD и ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
- АВ = ВС — боковые стороны равны.
- Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
- Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
- Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD
Вывод:
- Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
- Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
- Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство теоремы:
Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.
Доказательство от противного.
- Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
- Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
- Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.
Признаки равнобедренного треугольника
- Если в треугольнике два угла равны.
- Сумма углов треугольника 180°.
- Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
- Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
- Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
- b — сторона (основание)
- а — равные стороны
- a — углы при основании
- b — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания — b):
- b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
- b = 2a cos alpha
Формулы длины равных сторон — (а):
- a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
- a=frac { b } { 2 cosalpha }
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
- L — высота=биссектриса=медиана
- b — сторона (основание)
- а — равные стороны
- a — углы при основании
- b — угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
- L = a sina
- L = frac { b } { 2 } *tgalpha
- L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
- L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }
Площадь равнобедренного треугольника
- b — сторона (основание)
- а — равные стороны
- h — высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):
S=frac { 1 } { 2 } *bh
Смотри также:
В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников. Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр. Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?
Типы треугольников
Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура – самая простая. Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии. Правильный треугольник – равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.
У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и тупоугольного треугольников, как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.
Существует и особый вид треугольника, называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, что такой треугольник активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.
И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные – невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.
Треугольник равносторонний
Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур. Это относится и к треугольникам. Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.
Признаки и свойства
Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.
- все его углы равны, их величина составляет 60 градусов;
- биссектрисы, высоты и медианы, проведенные из каждой вершины, совпадают;
- правильный треугольник имеет 3 оси симметрии, он не изменяется при повороте на 120 градусов.
- центр вписанной окружности также является центром описанной окружности и точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров.
Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник – равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.
Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания. Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.
Вписанные и описанные окружности
Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?
Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной – ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих
теорем приводятся в школьном курсе геометрии.
r = a/√ ̅3;
R = a/2√ ̅3;
где r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности, a – длина стороны треугольника.
Вычисление высоты, периметра и площади
Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.
Так, периметр, то есть длина всех сторон, вычисляется следующими способами:
P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a – сторона правильного треугольника, R – радиус описанной окружности, r – вписанной.
Высота:
h = (√ ̅3/2)*a, где a – длина стороны.
Наконец, формула площади равностороннего треугольника выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.
S = (√ ̅3/4)*a2, где a – длина стороны.
Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:
S = 3√ ̅3r2 = (3√ ̅3/4)*R2, где r и R – соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.
Построение
Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор
инструментов: циркуль и линейку без делений.
Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.
- Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
- Далее нужно провести прямую через эту точку.
- Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
- Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
- Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.
Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства[править | править код]
Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиусописанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- r=36a{displaystyle r={frac {sqrt {3}}{6}}a} Треугольник
This page is based on a Wikipedia article written by contributors (read/edit).Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply. Images, videos and audio are available under their respective licenses. –>
Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:
Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:
В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.
Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник ABC, или BCA, или CBA. Вместо слова треугольник часто используется знак . Так, запись ABC будет читаться: треугольник ABC
.
У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.
Высота
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.
Отрезок BN — это высота ABC. Отрезок EL высота DEF, опущенная на продолжение стороны DF.
Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.
Каждый треугольник имеет три высоты.
Биссектриса
Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.
Отрезок BN — это биссектриса ABC.
Каждый треугольник имеет три биссектрисы.
Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.
Отрезок BN — это медиана ABC.
Каждый треугольник имеет три медианы.
ли со статьей или есть что добавить?