Равносторонний треугольник — ТРЕУГОЛЬНИКИ — МАТЕМАТИКА — Формулы и таблицы

  • Автор

    Анастасия Белова

  • Рубрика

    7 класс

  • Дата публикации

    09.12.2020

  • Просмотры

    60533

Каникулы со смыслом в Skysmart для детей 4-17 лет

Смотреть летние курсы →

Определение равнобедренного треугольника звучит проще простого:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

image

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

image

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, используйте формулу: b = 2a cos

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

  • Δ ABC
  • Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
  • Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
  • Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
  • Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
  • AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
  • Δ ABH = Δ BCH
  • Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Доказательство:

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

 

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник снова равнобедренный!
  5. Если два угла треугольника равны, такой треугольник является равнобедренным.
Свойства углов равнобедренного треугольника
  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • Углы при основании в равнобедренном треугольнике — всегда острые.
  • Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника

 

Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):

 

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

L — высота, биссектриса и медиана

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)

Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.

Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.

Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘

Бесплатный вводный урок Шаг 1 из 2. Данные ученика

Содержание:

  1. Свойства равнобедренного треугольника.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Формулы равнобедренного треугольника:
    • формулы длины стороны;
    • формулы длины равных сторон;
    • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

  • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  • Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  • Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

  • Дан Δ ABC.
  • Из точки В проведем высоту BD.
  • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
  • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
  • В Δ ABD и ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
  • АВ = ВС — боковые стороны равны.
  • Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
  • Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
  • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
  3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

  • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

  • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
  • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
  • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

  1. Если в треугольнике два угла равны.
  2. Сумма углов треугольника 180°.
  3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
  4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
  5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

  • b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
  • b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон(а):

  • a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
  • a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

  • L — высота=биссектриса=медиана
  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

  • L = a sina
  • L = frac { b } { 2 } *tgalpha
  • L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

  • L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников. Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр. Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?

Типы треугольников

Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура — самая простая. Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии. Правильный треугольник — равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.

У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и тупоугольного треугольников, как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.

Существует и особый вид треугольника, называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, что такой треугольник активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.

И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные — невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.

Треугольник равносторонний

Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур. Это относится и к треугольникам. Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.

Признаки и свойства

Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.

  • все его углы равны, их величина составляет 60 градусов;
  • биссектрисы, высоты и медианы, проведенные из каждой вершины, совпадают;
  • правильный треугольник имеет 3 оси симметрии, он не изменяется при повороте на 120 градусов.
  • центр вписанной окружности также является центром описанной окружности и точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров.

Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник — равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.

Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания. Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.

Вписанные и описанные окружности

Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?

Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной — ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих

теорем приводятся в школьном курсе геометрии.

r = a/√ ̅3;

R = a/2√ ̅3;

где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — длина стороны треугольника.

Вычисление высоты, периметра и площади

Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.

Так, периметр, то есть длина всех сторон, вычисляется следующими способами:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — вписанной.

Высота:

h = (√ ̅3/2)*a, где a — длина стороны.

Наконец, формула площади равностороннего треугольника выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.

S = (√ ̅3/4)*a2, где a — длина стороны.

Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:

S = 3√ ̅3r2 = (3√ ̅3/4)*R2, где r и R — соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.

Построение

Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор

инструментов: циркуль и линейку без делений.

Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.

  1. Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
  2. Далее нужно провести прямую через эту точку.
  3. Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
  4. Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
  5. Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.

Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства[править | править код]

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиусописанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

  • Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
r=36a{displaystyle r={frac {sqrt {3}}{6}}a} Треугольник

This page is based on a Wikipedia article written by contributors (read/edit).Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply. Images, videos and audio are available under their respective licenses. —>

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

image

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

image

В треугольнике  ABC  вершины  A,  B  и  C  — это вершины треугольника, звенья  AB,  BC  и  CA  — стороны треугольника. Три угла —  ∠ABC,  ∠BCA  и  ∠CAB  — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой:  ∠A,  ∠B,  ∠C.

Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник  ABC,  или  BCA,  или  CBA.  Вместо слова треугольник часто используется знак  .  Так, запись  ABC  будет читаться:  треугольник  ABC.

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

image

Отрезок  BN  — это высота  ABC. Отрезок  EL  высота  DEF, опущенная на продолжение стороны  DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

image

Отрезок  BN  — это биссектриса  ABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Отрезок  BN  — это медиана  ABC.

Каждый треугольник имеет три медианы.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий