Радиус описанной окружности около произвольного треугольника. Все формулы радиуса описанной окружности

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже….

Содержание

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра. Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла биссектрису, после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя углами?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

  1. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, у острого – внутри самого треугольника, а для тупоугольного – за ее пределами.
  2. Диаметр любой описанной окр-сти равен половине отношения стороны и синуса угла, который принадлежит ей, в виде формулы можно представить следующим образом:
  3. Зная радиус описанной окружности и значения углов, можно найти значение площади, не прибегая к использованию длин сторон, по следующей формуле:

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

  • площадь,
  • градусная мера каждого угла,
  • длины сторон и периметр.

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, высоты, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке. Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым натуральным числом, скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника:

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.

  • Голубцова Нина Владимировна, Учитель математики

Разделы:Математика

Урок проводится в рамках семинара по теме «формирование обобщенных приемов умственной деятельности при обучении математики». Успешность обучения школьников обусловлена сформированностью таких качеств мышления, как гибкость, глубина, целенаправленность, обобщенность, критичность. Решение математических задач разными способами представляет большие возможности для формирования интеллектуальных качеств личности, развивает исследовательские способности учащихся. Реализация урока одной задачи возможна при условии завершения такого этапа обучения, когда учениками усвоены необходимые понятия и состоялось практическое знакомство с частными случаями решения задач. Приоритетным в постановке целей является анализ способов решения одной задачи, формирование у школьников навыков исследовательской деятельности, активное вовлечение учащихся в образовательный процесс.

На уроке представлена задача нахождения радиуса описанной окружности различными способами. При решении задачи требуется свойства и отношения реализуемые на заданной конфигурации. Ребята учатся планомерному, комплексному анализу чертежа. У них развивается геометрическое видение, оттачивается интуиция. При работе с базовой конфигурацией учащиеся повторяют теоретические вопросы курса геометрии: подобие треугольников, решение прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, теорему о пересекающихся хордах, пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, координатный метод и т.д.

Цели урока:

  • Образовательная: организовать творческую деятельность учащихся по формированию приемов и методов решения геометрических задач.
  • Развивающие: развивать творческую, исследовательскую деятельность учащихся посредством поиска различных способов решения одной задачи; способствовать развитию коммуникативных и интеллектуальных качеств личности (самостоятельности мышления, способности к переключению, обобщению и т.д.); формировать устойчивый учебно-познавательный интерес.
  • Воспитательные: формировать способность к нравственному общению, к сотрудничеству; способствовать формированию волевой сферы личности.

Тип урока Урок по обобщению и систематизации знаний и способов деятельности (урок одной задачи).

Методы обучения Частично-поисковый, исследовательский.

Форма познавательной деятельности Индивидуальная, коллективная, работа в парах.

Структура урока:

Этапы Название этапа
1 Организационный момент
2 Актуализация опорных знаний и их коррекция
3 Применение знаний, обобщение и систематизация при решении задач
4 Самоконтроль и коррекция знаний
5 Применение знаний для поиска специальных приемов решения задач
6 Подведение итогов
7 Информация о домашнем задании
8 Рефлексия

Оборудование: Фломастеры, печатная основа для работы с задачей, распечатка текста, демонстрационный материал.

Оформление: На доске написаны слова: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления».

Ход урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня урок пройдет под девизом «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления». Геометрия – это прежде всего искусство решать задачи. Оно основывается на хорошем знании теории и владении определенным набором приемов и методов решения геометрических задач. В геометрии существуют задачи опорные, которые иллюстрируют общие приемы и методы решения многих других задач. Мне хочется, чтобы сегодня вы все свои знания и умения направили на поиск различных способов решения одной такой опорной задачи. Итак, у нас сегодня урок-бенефис одной задачи.

II. Актуализация опорных знаний.

Вспомним основные теоретические факты, необходимые для решения задачи с помощью теста – Приложение 3.

Учитель: Проверьте себя. Если на все вопросы вы ответили правильно, то вы получили фамилию русского математика – Василия Петровича Ермакова, фраза которого является девизом нашего урока. В.П. Ермаков жил в 19-20 веке, был доктором чистой математики, профессором, членом корреспондентом РАН, преподавал в киевском университете.

III. Этап применения, обобщения и систематизации знаний при решении задач.

Задача. Найдите радиус R описанной окружности около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

Анализ задачи. Объектом задачи является конфигурация – окружность, описанная около равнобедренного треугольника.

Выявляем данные элементы, искомый элемент, соотношения между ними. Ребята работают на листах с печатной основой.

Построение рисунка комментируется учениками, построение у доски выполняет учитель, дети – на печатной основе.

Дано: Окружность описана около ∆ABC. ∆ABC – равнобедренный. см, см. Найти R.

Соотношение между элементами конфигурации ,,

,

Найти:

BD =

OD =

Поиск способов решения. В результате наблюдения и обсуждения могут быть выявлены следующие способы решения. С помощью:

  • формулы

Задачи решаются на листах с печатной основой, на каждом из рисунков цветом выделяется базовый треугольник. Три человека решают у доски на закрытом поле.

Варианты оформления решения учениками на листах с печатной основой – Приложение 2.

IV. Этап самоконтроля и коррекции знаний.

Проверка решения задачи указанными способами, исправление ошибок.

V. Применение знаний для поиска специальных приемов решения задач.

Учитель: При решении задачи данными способами мы пользовались «скелетным» изображением рисунка к задаче. Теперь построим описанную окружность и проведем диаметр BK. Какие зависимости между элементами данной конфигурации вы обнаружили? В ходе обсуждения ребята пришли к выводу, что можно применить для решения задачи теорему о пересекающихся хордах и теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Варианты возможных решений задачи

 

Задачи решаются самостоятельно, с последующей проверкой по готовому решению.

Учитель: Еще один метод решения задачи – метод координат, который является универсальным методом геометрии. Главное при решении задачи этим методом удачный выбор системы координат. Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи. Как выберем систему координат в данной задаче? Каким фактом воспользуемся для составления уравнения к задаче? (Вершины треугольника равноудалены от центра окружности). Задачу решает один человек у доски, остальные на печатной основе.

        

VI. Итог урока.

Обобщение способов решения задачи с помощью кластера, размещенного на доске.

Обсуждение вопросов. Какой способ решения наиболее рациональный? Зачем рассматривать все эти способы, если можно было воспользоваться только формулой? Можно ли рассматривать эту задачу частным случаем более общей задачи? Отметить самостоятельность, творческий поиск, доброжелательное отношение друг к другу.

VII. Информация о домашнем задании.

По данным задачи найти радиус вписанной окружности. Решить задачу минимум двумя способами. Творческое задание – найти еще несколько способов ее решения. Повторить: Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Как построить радиус вписанной в треугольник окружности? Каким свойством обладает центр вписанной в треугольник окружности?

VIII. Рефлексия.

Продолжите предложение. Сегодня на уроке я узнал … я повторил … я закрепил. Поднимите руки те, кому было на уроке трудно, но интересно. Кому было понятно, но остались вопросы. Кому на уроке было все понятно. Оцените свою деятельность на уроке по десятибалльной шкале. Поставьте точку на шкале.

Приложение 1.

1.07.2011

Ответы (2) Знаешь ответ? Не уверен в ответе? Найди верный ответ на вопрос ✅ «Как вычислить длину стороны треугольника если известен радиус окружности описанной около треугольника градусная мера угла противолежащего …» по предмету 📙 Геометрия, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов. Новые вопросы по геометрии Периметр равнобедренного треугольника KMN равен 50 см. Найдите стороны треугольника, если боковая сторона на 13 см меньше, чем основание KN Ответы (1) А треугольнике PQS высота, проведенная из вершины Q, делит сторону PS на отрезки 5 и 14. Найдите площадь треугольника, если угол P = 48, a угол Q=87. Ответы (1) В прямой угол вписана окружность радиуса R, касающаяся сторон угла в точках A и B. Через некоторую точку на меньшей дуге AB окружности проведена касательная, отсекающая от данного угла треугольник. Найдите его периметр. Ответы (1) Точка m — середина отрезка AB, MB=4,3 дм. Найдите длину отрезка AB в миллиметрах Ответы (1) В магазине было 181 кг овощ в конце дня осталось 98 кг сколько кг овощей продали в тот день. решить уравнением Ответы (2) Уход за волосами

Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.

Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула

Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.

Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.

Ответ: R = 126/16√5

Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника

Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.

Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.

Ответ: R = 5/√3.

Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.

Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

В данном выражение 5 – длина гипотенузы.

Ответ: R = 2.5.

Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.

Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.

Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.

Ответ: R = 49/√132

Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности

Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.

Диаметром окружности называют отрезок прямой, которая соединяет две наиболее удаленные друг от друга точки окружности, проходя через центр окружности. Название диаметр, произошло с греческого языка и в дословном переводе обозначало – поперечный. Диаметр обозначают букой D латинского алфавита или значком O.

Диметр окружности

Для того, что бы знать, как найти диаметр окружности, нужно обратиться к формулам. Основных формул, по которым можно вычислить диаметр окружности две. Первая — D = 2R. Здесь диаметр равен удвоенному радиусу, где радиус – промежуток от центра до любой из точек окружности (R). Рассмотрим пример, если в задании известен радиус и он равен 10 см, то можно легко найти диаметр. Для этого значения радиуса подставим в формулу D = 2 * 10 = 20 см

Вторая формула дает возможность найти диаметр по длине окружности и выглядит она так D = L/П, где L- величина длины окружности, а П – это число Пи, которое примерно равно 3,14. Эту формулу очень удобно применять в практике. Если вам нужно знать диаметр люка, крышки на бак, какого-то котлована, стоит, лишь замерить их длину окружности и поделить ее на 3,14. Например, длина окружности равна 600 см, отсюда D = 600/3,14 = 191,08 см.

Диаметр описанной окружности

Диаметр описанной окружности также можно найти, если он описан или вписан в треугольник. Для этого сначала нужно найти радиус для вписанной окружности по формуле: R = S/p, где S обозначает площадь треугольника, а р – его полупериметр, p приравнивается к (a + b + c)/2. После того, как известен радиус, нужно воспользоваться первой формулой. Либо же сразу подставить все значения в формулу D = 2S/p.

Если вы не знаете, как найти диаметр описанной окружности, воспользуйтесь формулой, для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника. R = (a * b * c)/4 * S, S в формуле обозначает величину площади треугольника. Потом, точно также подставьте значение радиуса в формулу D = 2R.

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

a, b. с — стороны треугольника,

α — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника ,

p — полупериметр.

Тогда для нахождения радиуса (R ) описанной окружности используют формулы:

image

Перемещение во времени: реально ли это? image Из блога артема драгунова Аура человека после смерти Эдгар Кейси о Планетарной реинкарнации Рождение сверхновой.  Сверхновая звезда. Такие разные сверхновые Из блога артема драгунова

Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, около любого шестиугольника можно описать окружность. Точка O –центр правильного многоугольника, также является центром описанной вокруг него окружности. Центр правильного многоугольника равноудален от его вершин. Отрезок, соединяющий центр с вершинами называется радиусом правильного многоугольника и также является радиусом описанной около него окружности.

Формула радиуса описанной окружности около шестиугольника Существует классическая формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного многоугольника

image

Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен image По тригонометрической таблице sin(30°)=image Тогда формула радиуса описанной окружности около шестиугольника имеет следующий вид Радиус описанной окружности около шестиугольника равен его стороне

Пример расчета радиуса окружности описанной около шестиугольникаНайдите радиус окружности описанной около правильного шестиугольника, если радиус вписанной окружности в него равенimage

Радиус описанной окружности около шестиугольника имеет вид R = a Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, получаем: image Выразим сторону шестиугольника: image Выразим радиус описанной окружности через радиус вписанной: image

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий