Простые и составные числа. Таблица простых чисел

Выявление принадлежности величины в математике (6 класс) к простому или составному числу — задача непростая, когда под рукой нет специальных таблиц или средств вычислительной техники (компьютеров, планшетов, смартфонов) с предустановленным специализированным программным обеспечением. Однако специалисты предлагают уникальную методику, позволяющую решить поставленную задачу.

image

Общие сведения

Для использования алгоритма идентификации чисел нужны определенные знания. Начинать следует с расшифровки терминов. Любое число состоит из набора математических символов, которые называются цифрами. Последние располагаются в специальной разрядной сетке. Следует отметить, что каждый элемент, находящийся в ней, имеет определенное значение: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятитысячи и т. д.

image

Кроме того, компонент «единицы» всегда будет меньше старшего следующего разряда. Для примера нужно обратить внимание на число 24. Оно состоит из разрядной сетки, которая включает в себя два элемента: единицы — 4 и десятки — 2. Математическая форма записи выглядит таким образом: 2*10+4*1. Однако единица не пишется, поскольку при умножении ее на любое число получается искомое значение.

Специалисты рекомендуют провести тест, показывающий уровень усвоения материала. Для его реализации необходимо написать любое число и разложить его на компоненты разрядной сетки. После того как все операции будут выполняться без ошибок, необходимо переходить к классификации чисел. Они бывают только двух видов:

  1. Простые.
  2. Сложные.

Простые — числовые величины, которые не имеют множителей, кроме единицы и эквивалентных самим себе значений. Например, 7 делится только на 1 и 7. Сложной называется величина, содержащая множители, отличные от 1 и эквивалентного значения. Следует отметить, что синонимом сложного числа является составное, т. е. эти два термина имеют одну суть.

Можно разобрать для примера число 6. Оно является составным, поскольку его компоненты — двойка и тройка. При произведении последних по таблице умножения Пифагора получается шестерка. В учебнике, авторами которого являются Мерзляк А. Г. и Полонский В. Б., в конце находится таблица составных чисел до 1000. Кроме того, в учебном пособии можно также найти табличные величины простых значений в интервале от 1 до 1000.

Однако на контрольных работах учебники не всегда оказываются под рукой. В этом случае будет полезен алгоритм определения принадлежности величин к одному из типов.

Алгоритм идентификации

Методика — совокупность отдельных шагов, направленных на решение поставленной задачи. Специалисты предлагают специальный алгоритм, позволяющий определить, является число простым или составным. Чтобы им воспользоваться, нужно разобрать подробно критерии деления одного численного значения на другое, которые будут «телом» или основной частью алгоритма.

Следует отметить, что признаки делимости можно применять и на уроках информатики при написании простейших программ на языках программирования, которые изучаются в учебном заведении.

Как утверждают специалисты в области информационных технологий, математика и программирование тесно связаны между собой.

При желании ученик, имея базовые математические знания, может изучать языки программирования самостоятельно. Этот навык пригодится при обучении в высших учебных заведениях. Далее необходимо перейти к изучению самих критериев целочисленного деления двух чисел.

Критерии делимости

Признаки делимости — совокупность правил целочисленного деления одного числа на другое с учетом сомножителей, отличных от 1 и самого делимого. Чтобы не путаться в терминах, нужно записать в математической форме операцию деления (q/p=u), а также разобрать каждый из ее элементов.

Деление состоит минимум из трех компонентов: делимого (q), делителя (p) и их частного (u). Первый элемент является результатом произведения второго на третий. Иными словами, это число, которое нужно поделить на некоторую величину.

Делителем называется целочисленная величина, входящая в состав делимого. Результатом операции называется частное. Последнее является также одним из сомножителей. Математики утверждают, что обратной операцией умножения считается деление, т. е. делимое — это произведение, делитель — I множитель, частное — II сомножитель.

Следует отметить, что величина может делиться на другую с остатком и без него. Критерии делимости работают только для целочисленного деления. Это означает, что частным должно быть только целое число. Признаки делятся на девять основных правил-критериев. К ним относятся следующие:

  1. На двойку можно разделить, когда последняя цифра делится на 2, т. е. число является четным.
  2. Чтобы поделить нацело на три, нужно сложить все элементы разрядной сетки, а затем их сумму разделить на 3. Результат должен быть целочисленным.
  3. Для деления на четверку нужно взять два последних компонента разрядной сетки и поделить на 4.
  4. На пять делятся все числа, заканчивающиеся на 0 или 5.
  5. Величина, которая делится на шестерку, должна одновременно удовлетворять первому и второму критериям.
  6. Число (не более 3 цифр) делится на семь, когда можно взять искомую величину без разряда единиц, а затем от нее отнять двойное значение последнего компонента. При этом результат должен нацело делиться на семерку. Если количество символов превышает 7, то необходимо разбивать значение на триады (по 3 элемента), а затем суммировать группы. В результате сумма должна делиться на искомый делитель.
  7. На восьмерку величина делится, когда ее множителями являются четверка и двойка.
  8. Если сумма элементов разрядной сетки делится на девятку, то искомую величину также можно поделить на это значение.
  9. На десятку можно поделить в том случае, когда последний компонент разрядной сетки эквивалентен нулевому значению.

Специалисты выделяют всего девять основных критериев делимости, на которых основаны правила для других чисел. Например, 14. На него делятся только величины, которые можно поделить без остатка на двойку и семерку.

Специалисты рекомендуют при изучении какой-либо темы по математике сразу придумывать сферы ее практического применения. В результате такого подхода стремление к обучению заметно возрастает. Далее необходимо на нескольких задачах разобрать признаки делимости чисел.

Практическое применение

Применение критериев делимости следует рассматривать на практике. Например, нужно выяснить возможность целочисленного деления 32341454 на 7. Решение задания выглядит следующим образом:

  1. Количество разрядов: 8.
  2. Необходимо применить метод разбития на триады: |32| |341| |454|.
  3. Сложить каждый элемент: 5+8+13=26.
  4. Величина «26» не делится на 7.
  5. Вывод: значение 32341454 не делится на семерку нацело.

Можно рассмотреть другой пример деления этого же числа на 3. Реализация выглядит таким образом:

  1. Написать величину: 32341454.
  2. Найти сумму всех элементов разрядной сетки: 26.
  3. Число «26» нацело не делится на тройку.
  4. Величина, равная 3, не является делителем 32341454.

Специалисты рекомендуют еще разобрать несколько примеров самостоятельно. Для этого нужно придумать значения, а затем попытаться найти их целочисленные делители. После этого они рекомендуют переходить к алгоритму идентификации простого и составного чисел, поскольку знания для выполнения этой операции достаточно.

Методика «простое или сложное»

Для определения типа числа необходимо применить специальную методику. Она состоит из таких шагов:

  1. Записать величину.
  2. Проверить ее на наличие целочисленных делителей, не учитывая единицу и эквивалентное значение.
  3. Сделать вывод: простое — отсутствие множителей или составное — наличие одного из делителей.

Телом алгоритма является второй пункт, который представляет сложную структуру. Она состоит из совокупности критериев — признаков делимости одной величины на другую. Практическая реализация алгоритма «простое или составное» (как его называют некоторые математики) имеет следующий вид:

  1. Записать число: 457.
  2. Определение делителя: 2 — нет, 3 — 4+5+7=16/3 (нет), 4 — 57/4 (нет), 5 — 7 (нет), 6 — нет, 7 — 45−7*2=21/7 (нет), 8 — нет и на 9 тоже не делится.
  3. Вывод: 457 — простое число.

Следует отметить, что выполнение алгоритма прекращается после первого найденного множителя. Последний должен быть отличен от единицы и искомого значения.

Пример решения задачи

В математике встречается определенный тип задач, в которых необходимо найти все множители заданного числа. Например, требуется найти все делители величины 78541, исключив 1 и 78541. Решать задачу нужно по такому алгоритму:

  1. Записать число: 78541. Прогнать его по пунктам (каждый соответствует делителю) от 2 до 10.
  2. На двойку не делится, поскольку заканчивается на 1.
  3. 7+8+5+4+1=25/3 (на тройку не делится).
  4. 41/4 (нет).
  5. Пятерка не является делителем, поскольку последний разряд эквивалентен единице.
  6. Отсутствует положительный результат во втором и третьем пунктах.
  7. |78| |541|=15+10=25/7 (нет).
  8. На восьмерку не делится, поскольку отсутствуют делители на 2 и 4.
  9. Сумма цифр не делится на 9, т. е. 25/9 (нет).
  10. Число не заканчивается на ноль.

Следовательно, число 78541 не имеет делителей и является простым. В том случае, когда они будут найдены, результат записывается в такой форме: 78541={делитель1; делитель2; делитель3 и т. д. }.

Таким образом, идентификация простого или составного числа осуществляется при помощи специального алгоритма, который основан на применении правил признаков делимости одной величины на другую.

Рубрики Это интересно

Задачи на простые и составные числа

Если необходимо выяснить, является ли заданное число простым, то используемый при этом подход основан на попытке разложения исследуемого числа на простые множители, нахождение его делителей, отличных по модулю от единицы и самого числа.

Пример №34.

Доказать, что число р = 389 — простое.

Доказательство. Для доказательства нет необходимости, перебирая все простые числа от2 до ближайшего к числу р , проверять, делится ли на каждое из них данное число (если ни на одно из них не делится — значит, простое). Достаточно убедиться в том, что р не делится нацело ни на одно простое число от 2 до (попробуйте объяснить, почему). В данном примере достаточно проверить, что число р = 389 не делится на

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Пример №35.

Является ли простым число

Решение:

Заметим, что данное число есть сумма кубов двух чисел, и разложим его на множители по соответствующей формуле:

Поскольку число удалось разложить на произведение двух натуральных сомножителей, каждый из которых, очевидно, отличен от единицы, то это означает, по определению составного числа, что исходное число было составным.

Пример №36.

Установить, является ли число простым или составным.

Решение:

Очевидно, достаточно ограничиться рассмотрением случая натуральных n (при целых отрицательных п результат будет аналогичен, а при n = 0 число будет составным). Чтобы дать ответ на этот вопрос, попробуем разложить данное число на множители:

Заметим, что каждый из двух сомножителей строго больше единицы (докажите это). Это означает, что исходное число — составное.

Пример №37.

Установить, является простым или составным число

Решение:

Преобразуем данное выражение, выделив в нём полный куб разности

Теперь разложим на множители по формуле суммы кубов:

Очевидно, что при натуральных n оба сомножителя в этом произведении цело-численны и больше единицы. Это означает, что исследуемое число является составным.

Пример №38.

Доказать, что квадрат любого простого числа р > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.

Доказательство. Воспользуемся известным свойством, что любое простое число, большее 3, можно представить в виде . Тогда его квадрат равен , откуда и вытекает требуемое утверждение.

Пример №39.

Пустьр > 5 — простое число. Доказать, что делится нацело на 24.

Доказательство.

Рассмотрим на числовой прямой три последовательных целых числа . Так как р — простое число, то р нечётно и — чётные последовательные числа, следовательно, одно из них делится на2, а другое — на 4, но тогда их произведение делится на 8. Далее, поскольку , то либо , либо делится на 3, а значит, их произведение кратно 3. Итак, число делится одновременно на 8 и на 3 делится на 24.

Пример №40.

Найти все простые числа вида

Решение:

Обозначим

1) Если , то . При натуральных k оба сомножителя натуральны, причём второй сомножитель больше 1, поэтому может быть простым числом, только если т.е. при , тогда .

2) Если , то имеем

При k = 1 имеем

, =0 — не является ни простым, ни составным числом. При k > 2 оба сомножителя целочислснны и больше 1 и, значит, число будет составным. Только при k = 2 получаем простое число

Ответ: таких чисел два: 2 и 5.

Пример №41.

Доказать, что для всех простых чисел число — составное.

Решение:

1-й способ. Разложим исследуемое число на множители:

Так как при простых оба сомножителя больше единицы (убедитесь в этом самостоятельно), то тем самым необходимое утверждение доказано.

2-й способ. Покажем, что если при делении на 5 даёт остаток 1:

1)

2)

3)

4)

Тогда число делится нацело на 5, а значит, является составным. Если же — составное.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Метод анализа остатков в математике
Метод анализа последней цифры числа в математике
Задачи на НОД и НОК в математике
Метод замены переменных в математике

Ниже приведены характеристики чисел с примерами, которые рассматривает сайт aboutnumber.ru

Сумма цифр

Сумма цифр, из которых состоит число.

62316 → 6 + 2 + 3 + 1 = 18

Произведение цифр

Произведение цифр, из которых состоит число.

872 → 8 * 7 * 2 = 112

Количество цифр в числе

Отображение количества цифр в числе (если их больше 4-х). Это удобно, так как не всегда можно на глаз определить порядок числа.

57348920572348 → 14

Все делители числа

Полный список делителей, на которые делится число без остатка.

2612 → 1, 2, 4, 653, 1306, 2612

Наибольший делитель из ряда степеней двойки

Ряд степеней двойки — это ряд вида 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и т.д. Эти числа являются основными числами в бинарной математике (в двоичной записи), так как ими можно охарактеризовать объем информации.

832 → 64

Количество делителей

Суммарное число делителей.

3638143886 → всего 32 делителя

Сумма делителей

Сумма всех делителей числа.

77432243032 → сумма делителей 145185455700

Простое число

Проверка на простое число. Простое число — это число, которое делится без остатка только на единицу и само себя. Таким образом у простого числа может быть всего два делителя.

677 → 1 * 677

Полупростое число

Проверка на полупростое число. Полупростое число — число, которое можно представить в виде произведения двух простых чисел. У полупростого числа два делителя — оба простые числа.

898 → 2 * 449

Обратное число

Два числа называются обратными если их произведение равно единице. Таким образом обратным к заданному числу N всегда будет 1/N.

Факторизация

Факторизация числа — представление числа в виде произведения простых чисел.

220683351 → 3 * 7 * 953 * 11027

Двоичный вид

Двоичное, оно же бинарное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием два.

72412810 → 101100001100101000002

Троичный вид

Троичное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием три.

990418010 → 2001220112221113

Восьмеричный вид

Восьмеричное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием восемь.

9788143604410 → 13312140276148

Шестнадцатеричный вид (HEX)

Шестнадцатеричное представление числа. Часто его пишут английскими буквами «HEX». Это запись числа в системе счисления с основанием шестнадцать.

12444510 → 1E61D16

Перевод из байтов

Конвертация из байтов в килобайты, мегабайты, гигабайты и терабайты.

29141537 (байт) → 27 мегабайтов 810 килобайтов 545 байтов

Цвет

В случаем, если число меньше чем 16777216, то его можно представить в виде цвета. Шестнадцать миллионов цветов, которые можно закодировать стандартной цветовой схемой компьютера.

8293836 → RGB(126, 141, 204) или #7E8DCC

Наибольшая цифра в числе (возможное основание)

Наибольшая цифра, встречающаяся в числе. В скобках указана система счисления, с помощью которой, возможно, записано это число.

347524172 → 7 (8, восьмеричный вид)

Перевод двоичной/троичной/восьмеричной записи в десятичную

Число, записанное с помощью единиц и нолей — имеет бинарный вид, таким образом его можно перевести в десятичную систему счисления.

Число, записанное с помощью единиц, нолей и двоек — имеет троичный вид.

Если с помощью цифр до семи (включая) — восьмеричный вид числа.

111010010010112 → 1492310

120201001200213 → 278227610

745312768 → 1590547010

Число Фибоначчи

Проверка на число Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это последовательно чисел, в которых каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих.

Ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Позиция в ряду Фиббоначчи

Характеризует порядковый номер числа в ряду Фибоначчи.

21 → 8-е число в ряду Фибоначчи

Нумерологическое значение

Нумерологическое значение вычисляется путем последовательного сложения всех цифр числа до тех пор, пока не не получится цифра от 0 до 9. В нумерологии каждой цифре соответствует свой характер.

8372890 → 8 + 3 + 7 + 2 + 8 + 9 + 0 = 37 → 3 + 7 = 10 → 1 + 0 = 1мужество, логика, независимость, самостоятельность, индивидуализм, смелость, решительность, изобретательность

Синус числа

Расчет тригонометрической функции синуса числа в радианах.

Sin(18228730686) = -0.20084127807633853

Косинус числа

Расчет тригонометрической функции косинуса числа в радианах.

Cos(792834113) = 0.6573990013186783

Тангенс числа

Расчет тригонометрической функции тангенса числа в радианах. Чтобы получить котангенс числа, надо единицу поделить на величину тангенса.

Tan(651946045) = 2.5709703278560982

Натуральный логарифм

Это логарифм числа по основанию константы e ≅ 2,718281828459.

Ln(7788338399) = 22.77589337484777

Десятичный логарифм

Это логарифм числа по основания десять.

LOG(1010432) = 6.004507091707365

Квадратный корень

Квадратный корень из введенного числа.

8512326 → 2917.589073190397

Кубический корень

Кубический корень из введенного числа.

5834788 → 180.02867855810877

Квадрат числа

Число, возведенное в квадрат, то есть умноженное само на себя.

31203^2 = 973627209

Перевод из секунд

Конвертация числа секунд в дни, часы, минуты и секунды.

1805506 (секунд) → 2 недели 6 дней 21 час 31 минута 46 секунд

Дата по UNIX-времени

UNIX-время или UNIX-дата — количество секунд, прошедших с полуночи 1 января 1970 года (по UTC). Таким образом введенное число можно преобразовать в дату.

5265079917115 → Sun, 04 Nov 2136 10:11:57 GMT

Римская запись

Римская запись числа, в том случае, если оно меньше чем максимальное для римской записи 3999.

2014 → MMXIV

Индо-арабское написание

Запись числа с помощью индо-арабских цифр. Они используются в арабских странах Азии и в Египте.

24579540882896 → ٢٤٥٧٩٥٤٠٨٨٢٨٩٦

Азбука морзе

Число, закодированное с помощью азбуки морзе, каждый символ которой представляется в виде последовательсти коротких (точка) и длинных (тире) сигналов.

7282077 → —… ..— —.. ..— —— —… —…

MD5

Хэш-сумма числа, рассчитанная по алгоритму MD5.

4706204202547 → db2766a5747fd3f8c8c77a1ddd2e24d0

SHA1

Хэш-сумма числа, рассчитанная по алгоритму SHA-1.

345297 → 3855120d2f9d556544bbd24746d0877b79a023df

Base64

Представление числа в системе Base64, то есть в системе счисления с основанием 64.

78868 → SmF2YVNjcmlwdA==

QR-код числа

Двумерный штрих-код-картинка. В ней зашифровано введенное число.

969393779 →

§ 1. Простые и составные числа

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,

6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 30 = 2 • 15 = 3 • 10,

в то время как другие, например,

3, 7, 13, 37,

не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число

c = a b (2.1.1)

является произведением двух чисел a и b, то мы называем а и b множителями или делителями числа с. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

с = 1 • с = с • 1. (2.1.2)

Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с.

Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (2.1.2), то оно называется простым. Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема 2.1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.

Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р. Тогда р — простое число, так как если бы р — было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.

Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какой-либо его нетривиальный делитель?

Первое, что может прийти в голову, — это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие ?с. Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (2.1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c, так как в противном случае мы получили бы

ab > ?с • ?с,

что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие — ?с.

Пример 1. Если с = 91, то ?с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.

Пример 2. Если с =1973, то находим, что ?с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с, то это число является простым.

Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до ?с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с.

Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000. Наша таблица 1 содержит все простые числа до 1000.

Таблица 1

Простые числа среди первой тысячи чисел

Некоторые энтузиасты-вычислители уже подготовили таблицы простых чисел, превосходящих 10 000 000. Но, по-видимому, не имеет большого смысла идти на значительные затраты и усилия, чтобы опубликовать эти таблицы. Лишь в очень редких случаях математику, даже специалисту в теории чисел, приходится решать вопрос о том, является ли какое-то большое число простым. Кроме того, большие числа, о которых математик хочет узнать, являются они составными или простыми, не берутся им произвольно. Числа, которые он хочет исследовать, обычно появляются в специальных математических задачах, и, таким образом, эти числа имеют очень специфическую форму.

Система задач 2.1.

1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.

2. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973.

3. Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел.

Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Число 1 не является ни простым ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Простые числа играют большую роль в математике – по существу они являются В«кирпичикамиВ», из которых строятся составные числа. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел: любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Например, запись 330=2В·3В·5В·11 есть представление числа 330 в виде произведения простых множителей или разложение его на простые множители.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковыми, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Поэтому представление числа 330 в виде произведения 2В·3В·5В·11 или произведения 3В·5В·11В·2 есть, по существу, одно и то же разложение числа 330 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др., а повторяющиеся простые множители представляют в виде степени. Например, 240=2В·2В·2В·2В·3В·5=24В·3В·5. Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.

Задача 30. Разложить число 180 на простые множители.

Решение. Число 180 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 180. Разделим 180 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 90 – под числом 180. Число 90 делим на простое число 2, получаем 45. Число 45 на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 – простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.

180

90

45

15

5

1

=2В·2В·3В·3В·5

Таким образом, 180=22В·32В·5.

В связи с возможностью представлять любое составное число ввиде произведения простых множителей возникает необходимость определять, является данное число простым или составным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие математики, которым были известны многие свойства простых чисел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ получения простых чисел, не превышающих натурального числа а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел от 1 до 50.

Выпишем все натуральные числа от 1 до 50 и зачеркнем число 1 – оно не является простым. Число 2 – простое, обведем его кружком. После этого зачеркиваем каждое второе число, стоящее после 2, т.е. числа 4, 6, 8,…

Первое незачеркнутое число 3 является простым, обведем его кружком. И вычеркнем каждое третье число, стоящее после 3, т.е. числа 9, 15,… (числа 6, 12 и др. зачеркнуты раньше).

Первое незачеркнутое число 5 является простым, его также обведем кружком. Зачеркнем каждое пятое число после 5 и т.д.

Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2, 3, 5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит а, то а число простое. Поскольку 72 = 49, а 49 < 50, то все оставшиеся числа – простые.

Итак, простыми числами, не превосходящими 50, являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Описанный способ получения простых чисел называется решетом Эратосфена, так как позволяет отсеивать одно за другим составные числа.

С помощью метода, предложенного Эратосфеном, можно отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного числа а. Но он не дает ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел, – ведь могло бы оказаться, что все числа, начиная с некоторого, – составные и множество простых чисел конечно. Решением этой проблемы занимался другой греческий математик – Евклид. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Просмотров 10 012 КомментариевПознавательно:Скажи свое мнение:

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий