Презентация на тему «Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника»

Содержание

Виды по величине углов

Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:

  • остроугольный, у которого все углы острые;
  • прямоугольный, имеющий один прямой угол, при этом стороны, его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
  • тупоугольный, когда один угол тупой;
  • равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья – основанием треугольника;
  • равносторонний, имеющий все три равные стороны.

image

Доказательство

Пусть ABC’ — произвольный треугольник. Проведем через вершинуB прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямойBC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Следствия

Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Задача 2.

В треугольнике ABC угол A равен image

Решение: + показать

Теорема — чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?

Теорема гласит — если взять любой треугольник вне зависимости от его вида, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Доказывается это следующим образом:

  • для примера берут треугольник АВС, через расположенную на вершине точку В проводят прямую линию и обозначают ее, как «а», прямая «а» при этом строго параллельна стороне АС;
  • между прямой «а» и сторонами АВ и ВС обозначают углы, маркируя их цифрами 1 и 2;
  • угол 1 признают равным углу А, а угол 2 — равным углу С, поскольку эти углы считаются накрест лежащими;
  • таким образом, сумма между углами 1, 2 и 3 (который обозначается на месте угла В) признается равной развернутому углу с вершиной В — и составляет 180 градусов.

Если сумма углов, обозначенных цифрами, составляет 180 градусов, то и сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило верно для любого треугольника.

Свойства

Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:

  • напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
  • напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
  • у любого треугольника есть два острых угла;
  • внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
  • сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
  • внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.

В неевклидовых геометриях

Сферический треугольник

  • На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.
Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.
  • В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.

Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.

Через вершину М проведем прямую параллельно прямой КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.

Что следует из геометрической теоремы

Принято выделять несколько следствий из приведенной теоремы.

  • Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то один из его углов будет по умолчанию равен 90 градусам, а сумма острых углов также составит 90 градусов.
  • Если речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, в сумме составляющие 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
  • Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно, каждый из них будет равен 60 градусам, а в сумме они составят 180 градусов.
  • Внешний угол любого треугольника будет равняться сумме между двумя внутренними углами, не прилегающими к нему.

Можно вывести следующее правило — в любом из треугольников есть как минимум два острых угла. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, а если их только два, то третий угол будет тупым либо прямым.

Также нужно знать, что предусмотрены специальные названия для сторон прямоугольных треугольников. «Длинная» сторона, которая расположена напротив прямого угла, называется гипотенузой, а оставшиеся «короткие» стороны носят название катетов. В последующих темах геометрии эти названия упоминаются очень часто.

Треугольник. Свойство внешнего угла треугольника.

Результат сложения двух внутренних углов треугольника будет равняться внешнему углу, не смежному с ними.Треугольник. Свойство внешнего угла треугольника.

Калькуляторы по геометрии

Помощь в решении задач по геометрии, учебник онлайн (все калькуляторы по геометрии).Калькуляторы по геометрии

Свойство внешних углов

Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов – при каждой вершине по два.

Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Задача 10.

В треугольнике  угол  равен  120 Найдите сторону ав.

Решение: + показать

Прямоугольный треугольник

Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.

Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.

Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° – 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.

В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:

  • углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
  • гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
  • сумма катетов больше гипотенузы;
  • катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.

Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.

Источники

  • https://FB.ru/article/150393/summa-uglov-treugolnika-teorema-o-summe-uglov-treugolnika
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/132967
  • https://egemaximum.ru/ravnobedrennyj-treugolnik-vychislenie-uglov-i-dlin/
  • http://infoogle.ru/summa_uglov_treugolnika_chemu_ona_ravna.html
  • https://wikipedia.tel/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%B2_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0
  • https://www.calc.ru/Summa-Vnutrennikh-Uglov-Treugolnika.html

Биссектриса внешнего углатреугольника пересекает продолжение противоположной стороны в точке, отстоящей от концов этой стороны на расстояниях, пропорциональных прилежащим сторонам треугольника. Вот наш треугольник ABC, вот его внешний угол при вершине A, вот биссектриса этого внешнего угла — она делит угол пополам, и равные половинки отмечены зубчиками. Биссектриса пересекает продолжение стороны BC, противоположной вершине A. И точка пересечения удалена от концов BC на расстояния DB и DC. И нам надо доказать, что эти расстояния пропорциональны сторонам AB и AC, то есть DB/DC=AB/AC. Чтобы это доказать, мы из вершины B проведём параллельную биссектрисе прямую до пересечения со стороной AC (в точке E). Получились новые фигуры — присмотримся к ним. ЭТИ углы равны как накрест лежащиепри двух параллельных и секущей. А ЭТИ углы равны как соответственныепри двух параллельных и секущей. Выходит, что не только ЭТИ два, но все ЭТИ четыре угла равны — поэтому все они помечены зубчиками. Получилось, что в треугольнике ABE два угла равны — значит, он равнобедренный, и стороны AB и AE у него равны. Теперь получилось, что стороны угла пересечены параллельными прямыми (как в теореме Фалеса) — и значит, они рассечены на пропорциональные части, то есть AE относится к AC также как DB к DC. Но AE равно AB, и значит AB/AC=DB/DC. ЧТД. ← Предыдущий урок Оглавление Следующий урок →

1 из 14 Смотреть похожие

Рецензии

Добавить свою рецензию

Аннотация к презентации

Презентация на тему «Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника» по математике. Каталог презентаций в формате powerpoint. Можно бесплатно скачать материал к себе на компьютер или смотреть его онлайн.

  • Формат pptx (powerpoint)
  • Количество слайдов 14
  • Слова
  • Конспект Отсутствует

Содержание

  • Слайд 1

    Тема урока:

    Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника.

  • Слайд 2

    I. Cумма углов треугольника

    1. На доске доказать теорему о сумме углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 1800 2. Решить задачу № 749 (чёт 1в., нечёт 2в.) 3. Решить устно:

  • Слайд 3

    Вычислите все неизвестные углы треугольника:

  • Слайд 4
  • Слайд 5
  • Слайд 6
  • Слайд 7

    II. Изучение нового материла

    Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким- нибудь углом этого треугольника На рис. ∠4- внешний

  • Слайд 8

    Докажем теорему:

    Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

  • Слайд 9

    Условие теоремы:

    Дано: треугольник, ∠4 – внешний угол. Доказать: ∠ 4=∠ 1+∠ 2

  • Слайд 10

    Доказательство:

    ∠4 – внешний угол, смежный с ∠3 данного треугольника. Так как ∠ 4+∠ 3=1800 , а по теореме о сумме углов треугольника (∠ 1+∠ 2)+ ∠ 3=1800 , то ∠ 4=∠ 1+∠ 2, что и требовалось доказать.

  • Слайд 11

    Устно решить задачу:

    Найдите внутренние и внешний угол CДF треугольника KCД.

  • Слайд 12

    Решение задач

    Решить задачу . Дано: ∠СВЕ –внешний угол ΔАВС; ∠СВЕ = 2∠А. Доказать: ΔАВС – равнобедренный.

  • Слайд 13

    Решение

    Проведем биссектрисы BF и ВД смежных углов СВЕ и ABC, тогда ВF||ВД(см. задачу № 83). BF ||АС, так как ∠l = ∠2= ∠ 3, а углы 1 и 3 соответственные при пересечении прямых BF и АС секущей АВ. ВД⊥АС, так как BД⊥BF, a BF||AC. В ΔABC биссектриса ВД является высотой, следовательно, ΔABC – равнобедренный (см. задачу № 133).

  • Слайд 14

    IV.Самостоятельная работа

    Вариант I 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 96°.Найдите два других угла треугольника. 2.     В треугольнике СДЕ с углом ∠E = 32° проведена биссектриса CF, ∠ СЕД =72°. Найдите ∠Д. Вариант II 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°.Найдите два других угла треугольника. 2. В треугольнике СДЕ проведена биссектриса CF, ∠Д = 68°,∠E =32°. Найдите ∠СFД. Вариант III 1.  В равнобедренном треугольнике MNP с основанием МР иуглом ∠N = 64° проведена высота МН. Найдите ∠РМН. 2.  В треугольнике СДЕ проведены биссектрисы СК и ДР, пересекающиеся в точке F, причем ∠ДРК = 78°. Найдите ∠СЕД.

Поделись знанием: Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск

В евклидовом доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника, принадлежащем Евклиду, (а также и результата о том, то сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180°) сначала проводится прямая, параллельна стороне AB, проходящая через вершину C, а затем, используя свойство соответственных углов при двух параллельных прямых и одной секущей и о внутренних накрест лежащих углах при двух параллельных прямых, требуемое утверждение получают как иллюстрацию (см. рис.).[2].

Применение

Теорема о внешнем угле треугольника используется тогда, когда пытаются вычислить меры неизвестных углов в геометрии, в задачах с многоугольниками, где используются треугольники.

Примечание

  1. Exterior angle theorem (англ. яз.). Теорема о внешнем угле треугольника // en.wikipedia.org/wiki/Exterior_angle_theorem.
  2. Heath 1956, Vol. 1, p. 316

Напишите отзыв о статье «Теорема о внешнем угле треугольника»

Отрывок, характеризующий Теорема о внешнем угле треугольника

– Отчего же так? – спросил Пьер. – Да вот хоть бы насчет дров или кормов, доложу вам. Ведь мы от Свенцян отступали, не смей хворостины тронуть, или сенца там, или что. Ведь мы уходим, ему достается, не так ли, ваше сиятельство? – обратился он к своему князю, – а ты не смей. В нашем полку под суд двух офицеров отдали за этакие дела. Ну, как светлейший поступил, так насчет этого просто стало. Свет увидали… – Так отчего же он запрещал? Тимохин сконфуженно оглядывался, не понимая, как и что отвечать на такой вопрос. Пьер с тем же вопросом обратился к князю Андрею. – А чтобы не разорять край, который мы оставляли неприятелю, – злобно насмешливо сказал князь Андрей. – Это очень основательно; нельзя позволять грабить край и приучаться войскам к мародерству. Ну и в Смоленске он тоже правильно рассудил, что французы могут обойти нас и что у них больше сил. Но он не мог понять того, – вдруг как бы вырвавшимся тонким голосом закричал князь Андрей, – но он не мог понять, что мы в первый раз дрались там за русскую землю, что в войсках был такой дух, какого никогда я не видал, что мы два дня сряду отбивали французов и что этот успех удесятерял наши силы. Он велел отступать, и все усилия и потери пропали даром. Он не думал об измене, он старался все сделать как можно лучше, он все обдумал; но от этого то он и не годится. Он не годится теперь именно потому, что он все обдумывает очень основательно и аккуратно, как и следует всякому немцу. Как бы тебе сказать… Ну, у отца твоего немец лакей, и он прекрасный лакей и удовлетворит всем его нуждам лучше тебя, и пускай он служит; но ежели отец при смерти болен, ты прогонишь лакея и своими непривычными, неловкими руками станешь ходить за отцом и лучше успокоишь его, чем искусный, но чужой человек. Так и сделали с Барклаем. Пока Россия была здорова, ей мог служить чужой, и был прекрасный министр, но как только она в опасности; нужен свой, родной человек. А у вас в клубе выдумали, что он изменник! Тем, что его оклеветали изменником, сделают только то, что потом, устыдившись своего ложного нарекания, из изменников сделают вдруг героем или гением, что еще будет несправедливее. Он честный и очень аккуратный немец… – Однако, говорят, он искусный полководец, – сказал Пьер. – Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей. – Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника. Категории: Учитель Тема: «Внешний угол треугольника»Тип урока: Ознакомление с новым материаломЦели:1)В  Познакомить учащихся с понятием внешнего угла2)В  Доказать теорему о внешнем угле треугольника3)В  Развить способность применять доказанную теорему в решении задач.Оборудование: линейка, карандаш, учебник Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений , .Ход урокаІ. Устный опрос1)В  Сформулировать теорему о сумме углов треугольника.2)В  Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50 ° и 30°.В 3)В  Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 35°.В 4)В  Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами 80°.В 5)В  B В  Какие углы изображены на рисунке? В 6)В  Какие углы называются смежными?7)В  Каким свойством обладают смежные углы?8)В  Найдите углы смежные с углами в 30°, 45°, 60°, 90°9)В  Назовите смежные углыВ 10)В  Являются ли смежными AOB и DOC? О В  В 11)В  Найдите пары смежных углов на рисунке. В 12)В  C какими углами не смежные DAB, EAC?B В ІІ. Изучение нового материала A В  В — Постройте угол смежный с углом С.- Угол, который вы построили, называется внешним углом О”ABC при вершине С.Определение:Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол смежный с углом треугольника при этой вершине.- Как вы думаете, можно ли еще построить внешний угол при вершине C?- Что вы можете сказать о величине данных углов?- Сколько всего внешних углов имеет треугольник?Внешние углы треугольника обладают свойством, которые мы сегодня докажем.Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.— Откройте учебник на стр. 66 и прочитайте внимательно.- Где условие, где заключение?- Что дано, что требовалось доказать?Дано:4 – внешний угол треугольника смежный с 3.Доказать: 4 = 1+24 В 3 В 2 В 1 В Доказательство:- Чему равна сумма углов треугольника?1. 1 + 2+3 = 180°- Как найти сумму углов 1 и 2?2. 1+ 2 = 180° — 3- Как можно найти угол 4?3. 4 = 180° — 3- Что мы получим?4. 4 = 1 + 2ч. т.д.- Какую теорему мы доказали?ІІІ. Закрепление нового материала.1)В  Пусть 4 = 70°. Чему равна сумма углов 1 и 2?2)В  Сумма углов 1 и 2 равна 140°. Чему равен внешний угол не смежный с данными углами?Задача 1. Внешний угол ABC при вершине C равен 120°. Найдите градусные меры углов треугольника, не смежные с ним, если известно, что один из них в 2 раза больше другого.(с ребятами читаем еще раз условие задачи).B В Дано:BCD = 120°B > A в 2 разаD В A В  Найдите: A и BC В  В Решение:Пусть A — х ° , тогда B = 2х° .х +2х = 1203х = 120х =40 A = 40 °B= 2 ·40° = 80°Ответ: A = 40 °, B = 80°.Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине B равен 108°. Найдите углы треугольника.D В  Дано:108° В B В C В A В  О” ABC- равнобедренный AC – основание, DBC = 108°Найдите: A, B, CРешение:1.В  DBC = A + C = 108° — по свойству внешних углов2.В  A = C = 108° : 2 = 54° — по свойству равнобедренного треугольника3.В  B = 180° — 108° = 72° — по свойству смежных угловОтвет: A = 54°, С = 54°, B = 72°.Итог: — Какой угол называется внешним?- Каким свойством обладает внешний угол треугольника?Дополнительные задания:1.В  Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.Ответ: 68°, 68°, 44°.2.В  Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника.Ответ: 120°, 120°, 120°.3.В  Найдите внешний угол при основании равнобедренного треугольника с углом в 45°.Ответ: 135°.B В  № 000 б) A В  В Дано:О” ABC- равнобедренныйС < BCDНайти углы О” ABCРешение:Пусть С = х °, BCD = 3х°Т. к. углы смежные и в сумме составляют 180°, то составим уравнение:х + 3х = 1804х = 180х = 45A = C = 45°B = 90°.Ответ: B = 90°.ІV. Домашнее заданиеп. 30, стр.66B 1-2 стр.84№ 000, № 000, № 000.

Подпишитесь на рассылку:

image

Проекты по теме:

image Поиск

image Вики

image Архив

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий