Предложения со словосочетанием «основание треугольника»

Материал из Циклопедии Перейти к: навигация, поиск Математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Планиметрия. Треугольники и их свойства // Timetostudy Сourses [39:59]

Треугольник в евклидовой геометрии — (плоская) геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, которые их соединяют. Треугольник с вершинами A, B, и C обозначается ABC. Треугольник является многоугольником и 2-симплексом. В евклидовой геометрии треугольник однозначно задает плоскость. Все треугольники двумерные.

Основные сведения о треугольниках были приведены Евклидом в его труде «Начала», написанном около 300 г. до н. э.

[править]Типы треугольников

Треугольники можно классифицировать в зависимости от относительной длины его сторон:

  • В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Все углы равностороннего треугольника также одинаковы и равны 60°. Равносторонний треугольник еще называют правильным.
  • В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, третья сторона при этом называется основой треугольника. Равнобедренный треугольник имеет два одинаковых угла, которые находятся при его основе.
  • Разносторонний треугольник имеет стороны разной длины. Внутренние углы разностороннего треугольника разные.
  • Равносторонний

  • Равнобедренный

  • Разносторонний

Также треугольники можно классифицировать в соответствии с их внутренними углами:

  • Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол равный 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенуза. Другие две стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
  • Тупоугольный треугольник имеет один внутренний угол больше 90°.
  • В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°. Равносторонний треугольник является остроугольным, но не все остроугольные треугольники равносторонние.
  • Прямоугольный

  • Тупоугольный

  • Остроугольный

  • Треугольник Рёло — это выпуклый криволинейный треугольник, получаемый при пересечении трёх окружностей одного радиуса с центрами в вершинах правильного треугольника со стороной равной радиусу.
  • Треугольник Рёло

[править]Точки и линии, связанные с треугольником

Есть сотни различных построений для определения особых точек внутри треугольника, которые удовлетворяют некоторым уникальным условиям. Часто необходимо построить три прямые, связанные аналогично с тремя сторонами (вершинами, углами) треугольника и тогда убедиться, что они пересекаются в одной точке. Важным инструментом для проверки этого является теорема Чевы, которая дает критерии для определения конкурентности прямых. Подобно этому, линии, связанные с треугольником часто строятся после проверки, три аналогичным образом полученные точки является коллинеарными — теорема Менелая дает для этого случая общий критерий. В этом разделе приведены только такие построения, которые наиболее часто встречаются.

Центр описанной окружности.

Срединный перпендикуляр треугольника — это перпендикуляр, который проходит посередине стороны треугольника. Три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Диаметр описанной окружности можно определить из теоремы синусов.

Исходя из теоремы Фалеса, можно утверждать, что если центр описанной окружности расположен на одной из сторон треугольника, тогда противоположный угол прямой. Более того, если центр описанной окружности находится внутри треугольника, то треугольник остроугольный, а если наружу, то треугольник тупоугольный.

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.

Высота треугольника — прямая, проведенная из вершины и перпендикулярная к противоположной стороне или к продолжению противоположной стороны. Эта сторона называется основанием треугольника. Точка пересечения стороны и перпендикуляра называется основой перпендикуляра. Длина высоты — это расстояние от вершины к основанию треугольника. Три высоты пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Ортоцентр лежит внутри треугольника (и соответственно все основания перпендикуляров лежат в треугольнике) тогда и только тогда, когда треугольник не тупоугольный.

На пересечении двух биссектрис треугольника находится центр вписанной окружности.

Биссектриса треугольника — это прямая, проведенная через вершину, которая делит соответствующий угол на две равные части. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, инцентре, центре вписанной в треугольник окружности. Вписанная окружность — это круг, который лежит внутри треугольника и примыкает к трем его сторонам. Кроме того, есть еще три важных круга, внешние вписанные; они лежат за пределами треугольника и соприкасаются с одной его стороной, а также к продолжению других двух. Центры внутреннего и внешних вписанных кругов образуют ортоцентрическую систему.

Барицентр — центр масс треугольника.

Медиана треугольника — это прямая, проведенная через вершину и середину противоположной стороны и делящая треугольник на две одинаковых площади. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. Эта точка также центр масс треугольника: если бы треугольник был сделан из дерева, то можно было бы держать равновесие держась за центроид. Центроид делит каждую медиану в соотношении 2:1, например расстояние между вершиной и центроидом вдвое больше, чем между центроидом и противоположной стороной.

Окружность девяти точек.

Средние точки трех сторон и основы трех высот лежат на одном круге, который называется кругом девяти точек треугольника. Остальные три точки, из-за которых круг получил свое название, это середины той части высоты, лежащей между ортоцентром и вершиной. Радиус окружности девяти точек равен половине описанной окружности. Она соприкасается со вписанной окружностью (в точке Фейербаха) и с тремя внешними вписанными кругами.

[править]Основные факты

Вершины треугольника обычно обозначают большими латинскими буквами A, B, C, углы при соответствующих вершинах греческими буквами α, β, γ, а длины противоположных сторон — маленькими латинскими буквами a, b, c.

Сумма внутренних углов треугольника — 180 градусов. Внешний угол треугольника (угол смежный к внутреннему углу) всегда равен сумме двух других внутренних углов треугольника. Как и у всех выпуклых многогранниках сумма внешних углов треугольника 360 градусов.

[math]alpha+ beta+ gamma = 180^circ[/math]

Сумма длин двух любых сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это неравенство треугольника или аксиома треугольника (в частном случае равенства два угла уменьшаются до нуля и треугольник вырождается в отрезок).

[править]Вычисление площади треугольника

Эта статья содержит материал из статьи Треугольник русской Википедии.

Шаблон:Многоугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическаяфигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными. Важным частным случаем неевклидовых треугольников являются сферические треугольники.

Элементы треугольника

Файл:Triangle.png
Стандартные обозначения

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

  • сторона ;
  • сторона ;
  • сторона .

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

  • ;
  • ;
  • .

Треугольник имеет следующие углы:

  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне .

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

  • Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине. Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Свойства

  • Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180°.
  • Для внешнего угла треугольника справедлива Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

Признаки равенства треугольников

Файл:Признак 1 равенства треугольников.png
Равенство по двум сторонам и углу между ними
Файл:Признак 2 равенства треугольников.png
Равенство по стороне и двум прилежащим углам
Файл:Признак 3 равенства треугольников.png
Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Остроугольный треугольникОстроугольный Тупоугольный треугольникТупоугольный Прямоугольный треугольникПрямоугольный
Разносторонний треугольникРазносторонний Равнобедренный треугольникРавнобедренный Равносторонний треугольникРавносторонний

По величине углов

Файл:Triangle sommeangles.svg
сумма углов треугольника равна 180°.

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
  • Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
  • Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

  • Разносторонним (неравносторонним) называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
  • Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностейсовпадают.

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

  • Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником.
  • Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
  • Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
  • Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
  • Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой.
  • Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
  • Серединные перпендикуляры (медиатриссы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
  • В равнобедренном треугольникемедиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
  • * Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутреннимимедианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Литература

  • Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
  • Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
  • Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
  • А. Г. Мякишев Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.

Шаблон:Многоугольники

  1. Ефремов Д.Новая геометрия треугольника. — Одесса: 1902. — С. 130. — 334 с.
  2. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  3. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  4. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  5. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  6. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  7. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  8. 8,08,1Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  9. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  10. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  11. В. В. Прасолов Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. ISBN 5-900916-49-9
  12. Прасолов В. В.Задачи по планиметрии. — Шаблон:М: МЦНМО, 2004.

Онлайн калькулятор поможет узнать по сторонам, является ли треугольник прямоугольным, равнобедренным, равносторонним или разносторонним.

Как определить, что треугольник прямоугольный: по Теорема Пифагорасумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы c2 = a2 + b2 Как определить, что треугольник равнобедренный: один из признаков равнобедренного треугольника — две стороны равны. Как определить, что треугольник равносторонний: все стороны равны.

Принято выделять три типа треугольников:тупоугольные — один из углов более 90 градусов,прямоугольные — один из угол равен 90 градусов,остроугольные — все углы менее 90 градусов. Это классификация по типу углов.

imageСообщить об ошибке

Смотрите также

Сторона треугольника Стороны прямоугольного Стороны равнобедренного Сторона квадрата
Стороны ромба Стороны параллелограмма Ребро куба Боковое ребро параллелепипеда

3 вида треугольников:

Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя равными сторонами.

Равные стороны — это боковые стороны, третья сторона — это основание.

image

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

А биссектриса, проведенная к основанию, будет и медианой и высотой.

Если все три стороны треугольника равны, то это равносторонний треугольник.

Если один из углов в треугольнике прямоугольный (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Сторона напротив прямоугольного угла называется гипотенузой, а другие стороны катетами.

Если один из углов в треугольнике тупой, то этот треугольник называется тупоугольным.

Если все углы в треугольнике острые, то этот треугольник называется остроугольным.

Содержание:

  1. Свойства равнобедренного треугольника.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Формулы равнобедренного треугольника:
    • формулы длины стороны;
    • формулы длины равных сторон;
    • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

  • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  • Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  • Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

  • Дан Δ ABC.
  • Из точки В проведем высоту BD.
  • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
  • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
  • В Δ ABD и ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
  • АВ = ВС — боковые стороны равны.
  • Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
  • Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
  • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
  3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

  • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

  • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
  • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
  • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

  1. Если в треугольнике два угла равны.
  2. Сумма углов треугольника 180°.
  3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
  4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
  5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

  • b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
  • b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон(а):

  • a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
  • a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

  • L — высота=биссектриса=медиана
  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

  • L = a sina
  • L = frac { b } { 2 } *tgalpha
  • L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

  • L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий