Перпендикулярные прямые (определение). Перпендикуляр к прямой.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 9Следующая ⇒

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом

. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Построение биссектрисы угла.

Построить биссектрису данного угла.

Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса r. Пусть B и С – точки ее пересечения со сторонами угла.

Из точек В и С проведем окружности тем же радиусом r. Пусть точка D – точка их пересечения отличная от A.

Проведем луч AD.

Проведем отрезки BD и CD. Δ ABD = Δ ACD, по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ BAD = ∠ CAD и следовательно AD – биссектриса угла BAC.

3. Задача по теме “Свойства равнобедренного треугольника”.

В равнобедренном треугольнике ABC AE – высота, BC- основание. Известно, что BC=12,8 см. Найдите длину отрезка CE.

Билет № 14

Виды треугольников по величине углов.

	Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
	Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
	Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Деление отрезка пополам.

	Пусть AB данный отрезок. Описываем окружность радиусом AB с центром в точках A и B. Пусть эти окружности пересекаются в точках С1 и С2.
	Точки С1 и С2 лежат в разных полуплоскостях от прямой AB. Проведем через точки С1 и С2 прямую. Пусть она пересекает прямую AB в некоторой точке О. Точка О – средина отрезка AB.
	Док-во. Δ C1AC2 = Δ C1BC2 по третьему признаку равенства треугольников (AC1 = BC1, AC2 = BC2, по построению и С1С2 – общая). Поэтому ∠ AC1C2 = ∠ BC1C2. Отсюда следует Δ AC1O = Δ BC1O по второму признаку равенства треугольников (∠ AC1C2 = ∠ BC1C2, AC1 = BC1 по построению, OC1 – общая). Следовательно AO = OB и O – середина отрезка AB.

3. Задача по теме ” Смежные углы”.

Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.

Билет № 15

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Поэтому, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, надо:

1) выбрать на одной из параллельных прямых точку;

2) опустить из выбранной точки к другой прямой перпендикуляр;

3) найти длину этого перпендикуляра.

Неравенство треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что AB

В равнобедренном треугольнике BCD 1 = 2, а в треугольнике ABD угол ABD > 1 и, значит, угол ABD > 2. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то AB < AD. Но AD = AC + CD = AC + CB, поэтому AB < AC + CB. Теорема доказана.

3. Задача по теме ” Взаимное расположение окружностей”.

Две окружности диаметром 4 и 8 см касаются внешним образом. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Билет № 16

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1365; Мы поможем в написании вашей работы!

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!

Условием перпендикулярности (ортогональности) двух прямых на плоскости, заданных уравнениями:

служит соотношение

k₁ · k₂  = −1

или

т.е.  угловые коэффициенты k₁, k₂ обратны по величине и противоположны по знаку и это значит, что прямые перпендикулярны, а если произведение угловых коэффициентов не равно -1, то прямые не перпендикулярны.

Если две прямые представлены следующими уравнениями

то условием их перпендикулярности есть

Пример 1 Прямые y=4x (прямая синего цвета) и y= -1/4x (прямая красного цвета) перпендикулярны, так как k₁·k₂=4·(-1/4)=-1

Пример 2 Прямые 2x+3y=7 и 3x-2y=4 перпендикулярны, так как A₁=2, A₂=3, B₁=3, B₂=-2, следовательно

Пример 3 Прямые 1/4x-1/6y=0 и 4x-6y=0 не перпендикулярны, так как здесь

Перпендикулярность геометрических элементов

Подробности

Категория: Основы начертательной геометрии

ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Итак, если в системе π₁ п₂ горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонтально и фронтально-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости. Но для профильно-проецирующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецирующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость.

Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра.На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. a (А”С” ⊥ f”_0a ,  А’С’ ⊥ h’_0a ) и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. а. Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. β, проведенной через перпендикуляр АЕ.

Далее проведены проекции перпендикуляра: M”N” ⊥ A”D”, M’N’ ⊥ А’Е’. Почему проекции на рис. 188 на участках A”N” и А’М’ показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.

На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В’С’ то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В’С’. Поэтому A’N’ ⊥ В’С. Проекция A”N” || оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку N” (N” — фронтальная проекция фронтальною следа горизонтали AN) след  f’_0a ⊥ ”є, получена точка Х_a и проведен след h’_0a || A’N’ (h’_0a ⊥ В’С’).

Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. ϒ. Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецируюшая плоскость β (на чертеже она задана только горизонтальным следом β’). Пл. β пересекает пл. ϒ по прямой с проекциями 1’2‘ и 1″2″. В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. ϒ, перпендикулярной к прямой ВС; следовательно, АК ⊥ ВС.

На рис. 192 изображены плоскость общего положения а, проходящая через точку А, и перпендикуляр AM к этой плоркости, продолженный до пересечения с пл. п₁, в точке В’.Угол ф₁ между пл. а и пл. п₁ и угол ф между прямой AM и пл. п₁ являются острыми углами прямоугольного треугольника В’АМ’ и, следовательно, ф₁ +ф = 90°. Аналогично, если пл. а составляет с пл. п₂ угол σ₂, а прямая AM, перпендикулярная к а, составляет с пл. п₂ угол σ, то σ₂ + σ = 90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общею положения, которая должна составлять с пл. п₁ угол ф₁ а с пл. п₂ угол σ₂, может быть построена, лишь если 180° > Ф₁ + σ2 > 90°.

Действительно, складывая почленно Ф₁ + Ф = 90° и σ₂ + σ = 90°, получим Ф₁ + σ₂ + Ф +  σ = 180°, т. е. Ф₁ + σ₂< 180, а так как Ф + σ < 90 , то Ф₁ + σ₂ > 90°. Если взять Ф₁ + σ₂ =90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять Ф₁ + σ₂ = 180°, то получится профильная плоскость, т. е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.

 

ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости a, может быть произведено двумя путями: 1) пл. β проводится через прямую, перпендикулярную к пл. а; 2) пл. β проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. а или параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия.

На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую А В. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты фронталь CN и горизонталь СМ: если B”F” ⊥ C“N” и B’F’⊥C’M’, то BF⊥ пл. CDE.

Образованная пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к пл. СОЕ, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис. 194 горизонтально-проецирующая плоскость β проходит через точку К перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником АВС. Здесь дополнительным условием являлась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к пл. АВС и к пл. п₁. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к прямой, принадлежащей пл. АВС, то пл. β перпендикулярна к пл. АВС.

Если пл. β перпендикулярна к пл. л, п₁ пл. а, то β⊥h’_0a как к линии пересечения пл. а и пл. п₁. Отсюда h’_0a ⊥ β и, следовательно, h’_0a ⊥ β , как к одной из прямых в пл. β.

Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого параграфа.

В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения — профильная ϒ и профильно-проецирующая а.

База знанийЕГЭМатематикаДобавлено: 1-08-2017, 16:05

Видеоурок 1: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Видеоурок 2: Теорема о трех перпендикулярах. ТеорияВидеоурок 3: Теорема о трех перпендикулярах. Задача

Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости

Давайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.

Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.

Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.

Свойства:

• Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.

• Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
• Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.

Наклонная

Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной.

Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.

На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.

Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.

АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.

Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией.

В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.

Теорема о трёх перпендикулярах

А теперь давайте нарисуем новый чертеж, на котором покажем перпендикуляр, наклонную, проекцию, а так же прямую, которая будет лежать на плоскости, и будет перпендикулярна наклонной и проекции.

На этом рисунке мы указали три перпендикулярные прямые: m, a₁, a.

Если некоторая прямая m является перпендикулярной прямой к наклонной, то она будет перпендикулярна и к проекции этой наклонной.

Чтобы понять задачу, старайтесь её всегда визуализировать, например, с помощью карандашей.

Кроме специализированных задач, эта теорема Вам пригодиться, когда Вы будете решать задачи на сечения, или общей стереометрии:

Предыдущий урок

Следующий урок

РЕЙТИНГ АВТОР ПРОСМОТРЫ–>Поделись знанием: Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к: навигация, поиск

Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: perp, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых m и n записывают как mperp n.

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями y=operatorname{tg}alpha_1 x+b_1 и y=operatorname{tg}alpha_2 x+b_2 будут перпендикулярны, если выполнено условие alpha_2=frac{1}{2}pi+alpha_1. Эти же прямые будут перпендикулярны, если operatorname{tg}alpha_1 operatorname{tg}alpha_2 =-1. (Здесь alpha_1,alpha_2 — углы наклона прямой к горизонтали)

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А’ и В’.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A’ и В’ соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

A(x_a,y_a) и B(x_b,y_b) — прямая, O(x_o,y_o) — основание перпендикуляра, опущенного из точки P(x_p,y_p).

Если x_a = x_b (вертикаль), то x_o = x_a и y_o = y_p. Если y_a = y_b (горизонталь), то x_o = x_p и y_o = y_a.

Во всех остальных случаях:

x_o = frac{x_acdot(y_b-y_a)^2 +x_pcdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)cdot(y_b-y_a)cdot(y_p-y_a)}{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2};

y_o = frac{(x_b-x_a)cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p.

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

• Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
• Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения^[1].

В многомерных пространствах

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координатx y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно tbinom{4}{2}=6: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство mathbb{R}^n(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство W^n, а прямая l с направляющим векторным пространством L^1 и гиперплоскостьPi_{k} с направляющим векторным пространством L^{k} (где L_1 subset W^n, L^k subset W^n, k < n ) принадлежат пространству mathbb{R}^n.

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Pi_{k}, если подпространство L_1 ортогонально подпространству L^{k}, то есть (forall vec a in L_1) (forall vec b in L_k) vec a vec b=0

См. также