Найдите угловой коэффициент прямой: y=-5

—> —> —> АРХИВ  ●  МАТЕМАТИКА     + ДОБАВИТЬ 

Угловой коэффициент m прямой (y=mcdot x+b) равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси OX. Можно задавать положение точек, через которые проходит прямая (красные точки — перемещаются левой кнопки мышки). Автоматически вычисляется угловой коэффициент равный m. На английском этот коэффициент называетсяя Slope. Можно сразу же вычислять угол, как арктангенс углового коэффициента. Для этого установите галочку «Show angle». На рисунке отображаются также длины сторон треугольника, которые используются для вычисления углового коэффициента m. Можно выполнять настройки: показывать координаты, координатную сетку. Можно распечатать рисунок, можно скрыть с рисунка панель настроек. Если возникают вопросы, задавайте их в комментариях.

image

Вы должны быть авторизованы , чтобы оставить или оценить комментарий.

Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции ( f(x) ) в заданной пользователем точке ( x_0 ).Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается. Интерпретация ввода: Уравнение касательной к графику функции ( f(x) ) в точке ( x_0 ) задаётся уравнением: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0) $$ Таким образом при решении нужно найти: 1) произвоздную функции : ( f'(x) ) 2) значение произвоздной в точке ( x_0 ) : ( f'(x_0) ) 3) значение функции в точке ( x_0 ) : ( f(x_0) ) 4) подставить найденные числа в уравнение касательной Решение

Линейная функция y = kx + m, когда m = 0 принимает вид y = kx. В таком случае можно заметить, что:

  1. Если x = 0, то и y = 0. Следовательно, график линейной функции y = kx проходит через начало координат не зависимо от значения k.
  2. Если x = 1, то y = k.

Рассмотрим различные значения k, и как от этого меняется y.

Если k положительно (k > 0), то прямая (график функции), проходя через начало координат, будет лежать в I и III координатных четвертях. Ведь при положительном k, когда x положителен, то y также будет положителен. А когда x отрицателен, y также будет отрицательным. Например, для функции y = 2x, если x = 0.5, то y = 1; если же x = –0.5, то y = –1.

Теперь при условии положительного k рассмотрим три разных линейных уравнения. Пусть это будут: y = 0.5x и y = 2x и y = 3x. Как меняется значение y при одном и том же x? Очевидно оно возрастает вместе с k: чем больше k, тем больше y. А это значит, прямая (график функции) при большем значении k будет иметь больший угол между осью x (осью абсцисс) и графиком функции. Таким образом от k зависит, под каким углом пересекает прямая ось x, и отсюда о k говорят как об угловом коэффициенте линейной функции.

Теперь изучим ситуацию, когда k< 0. В этом случае если x положителен, то y будет отрицателен; и наоборот: если x< 0, то y > 0. Таким образом график функции y = kx при при k< 0 проходит через начало координат и лежит во II и IV четвертях координатной плоскости.

Допустим, имеются линейные уравнения y = –0.5x, y = –2x, y = –3x. При x = 1 получим y = –0.5, y = –2, y = –3. При x = 2 получим y = –1, y = –2, y = –6. Таким образом, чем больше k, тем больше y, если x положительно.

Однако если x = –1, то y = 0.5, y = 2, y = 3. При x = –2 получим y = 1, y = 4, y = 6. Тут с уменьшением значения k возрастает y при x < 0.

График функции при k < 0 будет иметь тупой угол с осью x; и чем меньше будет k, тем меньше будет y и, следовательно, угол будет более тупым (больше заваливаться на ось x).

Графики функций типа y = kx + m отличаются от графиков y = km лишь параллельным смещением.

Главная >> Лекции по высшей математике >> Аналитическая геометрия >> Уравнение прямой

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно.

Его называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А в‰ 0, В в‰  0 – проходит через начало координат

•  А = 0, В в‰ 0, С в‰ 0 { By + C = 0}- параллельна оси Ох

•  В = 0, А в‰ 0, С в‰  0 { Ax + C = 0} – параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А в‰ 0 – совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В в‰ 0 – совпадает с осью Ох

Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.

Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору n(3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через две точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:

если х 1 в‰  х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом .

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то получим уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( О±1 , О±2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А О±1 + В О±2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) с направляющим вектором (1, -1).

Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:

х + у — 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 Св‰ 0, то, разделив на –С, получим: или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.

Пример 4. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде уравнение прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosП† + ysinП† — p = 0 –

нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы Ој * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а П† — угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример 5. Дано 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой линии.

уравнение прямой в отрезках:

уравнение прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

; cos П† = 12/13; sin П†= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить в отрезках, например, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример 6. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Найти её, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Решение.Искомое уравнение имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример 7. Какая прямая проходит через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение. Имеем: , где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между ними будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .

Теорема. Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = О»А, В1 = О»В. Если еще и С1 = О»С, то они совпадают. Координаты точки пересечения находятся как решение системы этих уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М11 , у1 ) и перпендикулярная к у = kx + b имеет вид:

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х , у ), то расстояние до Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М 11, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :

(1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в (1), находим:

Теорема доказана.

Пример 8. Определить угол между: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример 9. Показать, что 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, они перпендикулярны.

Пример 10. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти высоту, проведенной из вершины С.

Решение. Находим сторону АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомая высота имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Опубликовано 26.02.2012 — 18:23 —

Данная разработка урока выполнена с использованием ЭОР. Конспет данного урока содержит подробное описание всех этапов урока.

Скачать:

Вложение Размер
imagekonspektl.v.dyhalkinoy.zip 22.48 КБ

Предварительный просмотр:

По теме: « Угловой коэффициент прямой. Взаимное расположение графиков линейных функций»

1

Фамилия, имя, отчество

Дыхалкина Людмила Васильевна

2

Место работы

МОУ- средняя общеобразовательная школа №30 г. Орла

3

Должность

Заместитель директора по учебно- воспитательной работе

4

Уровень

Основное общее образование

5

Предмет

Алгебра

6

Класс

Седьмой

7

Тема урока

« Угловой коэффициент прямой. Взаимное расположение графиков линейных функций» №9

8

Базовый учебник

Ю.Н.Макарычев «Алгебра» учебник для 7 класса.

Цель урока: « Познакомить учащихся с понятием углового коэффициента прямой, установить зависимость взаимного расположения графиков линейных функций от их угловых коэффициентов».

Задачи:

Образовательные. Сформировать  понятие углового коэффициента прямой, рассмотреть зависимость расположения графиков линейных функций от значения коэффициентов k и b. Научить по внешнему виду формул, задающих линейные функции устанавливать  взаимное расположение графиков этих функций,

Развивающие. Развивать  самостоятельность мышления: умение выделять главное, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы; формировать культуру  учебной деятельности; личностного саморазвития учащихся.

Воспитательные. Воспитывать аккуратность,  ответственное отношения к учению, культуру общения, коллективизм,  чувство взаимной поддержки среди школьников.

Тип урока: урок объяснения нового материала.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная

Оборудование: компьютер, мультимедиапроэктор.

План урока:

  1. Организационный момент. (1 мин.)
  2. Актуализация опорных знаний. (6 мин.)
  3. Введение в тему. Постановка первой учебной задачи урока. (3 мин.)
  4. Ознакомление с новым материалом. (5 мин.)
  5.  Постановка второй учебной задачи урока. (4 мин.)
  6. Ознакомление с новым материалом. (5 мин.)
  7. Первичное осмысление и закрепление изученного. (10  мин.)
  8. Рефлексия. (2 мин.)
  9. Домашнее задание. (2 мин.)
  10. Итог. (2 мин.)

Таблица 1.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Этап урока

Название используемых ЭОР

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

1.

Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся, проводит проверку готовности класса к уроку.

Дежурные помогают учителю.

1 мин

2.

3.

4.

 Актуализация знаний.

 Введение в тему.

Постановка первой учебной задачи урока.

 Ознакомление с новым материалом.

1.Линейная функция и ее график (ЭОР 1)

2. График линейной функции. (Геометрический смысл коэффициентов). (ЭОР 2)

Учитель использует для фронтальной работы с классом ЭОР 1.(практический модуль из пяти заданий, с помощью которого демонстрирует вопросы и устные задания темы, изученной на предыдущем уроке).

Вопрос 1.Дать определение линейной функции и среди предложенных формул выбрать те, которые задают линейные функции, есть ли среди них прямая пропорциональность?

Вопрос 2.Линейная функция задана формулой у = -9х+3,8. Найдите ее значение при х=3.

Вопрос 3. Линейная функция задана графиком, изображенном на рисунке. При каком значении аргумента значение функции равно 1, 0, -1.

Вопрос 4.Среди предложенных точек  выбрать те, которые можно использовать для построения графика функции у=5х +7.

  1.  у =1,5х-2;
  2. у = -3х+2;
  3. у=4.

А теперь смоделируем ту же ситуацию с помощью интерактивного задания.

Учитель запускает  ЭОР 2:  открывает «Теория, п. 2».

 Здесь  в первую очередь обращает внимание учеников  на  то, что в любой линейной функции, если х=0, то у = b, значит график функции   y = kx +b (при любых значениях k и b проходит через  точку (0, b) и сам задает произвольное  значение b. Затем просит учащихся назвать любое значение k, вводит его в свободную ячейку для коэффициента k в ЭОР и демонстрирует быстро строящиеся прямые, с указанным  углом, образовавшимся с осью ОХ.

На данном этапе урока учитель дает определение углового коэффициента прямой и еще раз просит учащихся сделать вывод о том, как зависит угол, образованный прямой  с осью ОХ от углового коэффициента прямой.

 Это верный ответ.

Ребята, а вот о том, как зависит расположение прямой  от значения b, мы с вами сделаем вывод после того, как  зададим произвольное   значение k, например k=3 и будем изменять b.

Учитель продолжает работать с ЭОР 2 и поочередно вводит значения: b=5; 10; 0;  -3, а затем задает вопрос: «Что происходит с прямой?»

Учащиеся отвечают на вопросы, выполняют задания ЭОР.

В это время у доски работает один учащийся, он выполняет задание из домашней работы:

в одной системе координат построить графики  линейных функций и показать (если это возможно) угол, который образует каждая из прямых с осью ОХ

у=1,5х -2,  у = -3х +2, у = 4

Ученики отвечают:

Ученик указывает на то, что прямая движется вдоль оси ОУ.

6 мин

3 мин

5 мин

5.

Постановка  второй учебной  задачи урока.

Затем учитель задает вопрос: «Как могут располагаться две произвольные прямые на плоскости?»

Мы с вами знаем, что графиком линейной функции является прямая, поэтому графики двух линейных функций тоже могут быть параллельными, могут пересекаться или совпадать.

На основе предыдущих рассуждений попытайтесь самостоятельно сформулировать следующую задачу урока.

Учитель корректирует ответы учащихся.

  Учащиеся отвечают:

Две прямые могут быть параллельными, могут пересекаться и совпадать.

 Возможные ответы учащихся:

– Должны рассмотреть условия параллельности, пересечения и совпадения графиков линейных функций;

– Графики, каких линейных функций параллельны, пересекаются, совпадают;

– От чего зависит параллельность, пересечение, совпадение графиков линейных функций;

– В каком случае графики двух линейных функций параллельны, в каком случае пересекаются, в каком случае совпадают.

4 мин

6.

7.

8.

9.

10

 Ознакомление с новым материалом.

               Первичное осмысление и закрепление изученного.

                        Рефлексия

 Домашнее задание.

  Итог урока.

3.Взаимное расположение графиков линейных функций(ЭОР 3)

4.Взаимное расположение графиков линейных функций (ЭОР 4)

На доске записаны две группы заданий:

Задание №1.

В одной системе координат постройте графики функций.  

1) у =2х+1 2) у=2х-3,

 3) у = — (-2х-1)

 Задание №2.

 В одной системе координат постройте графики функций.  

  1. у=2х+1, 2) у = -3х-4.

  По окончании работы учитель задает ученикам вопросы:

Вопрос1:Каково взаимное расположение прямых на рисунке первого варианта?

Вопрос 4. Каково взаимное расположение прямых на рисунке второго варианта?

Вопрос 5 Какой вывод можно сделать относительно их угловых коэффициентов?

 1.Назовите в уравнениях  построенных прямых коэффициент b.

2.Какие выводы можно сделать относительно взаимного расположения графиков данных линейных функций ?

3.Назовите координаты их точки пересечения.

Т.е. можно сделать вывод, что ордината их точки пересечения равна их общему коэффициенту b.

Чтобы обобщить изученный материал учитель демонстрирует учащимся ЭОР 3.

Учитель ставит перед учениками  новую задачу.

Одна из двух космических станций  движется по пути, описываемому функцией у = 2х + 1, а другая – у = -2х + 5. Определить координаты точки стыковки этих двух станций без построения траекторий их движения.

Чтобы решить ее нужно запомнить следующее правило:

Если две прямые пересекаются, то они имеют одну общую точку. Чтобы без построения найти ее координаты нужно найти такое значение переменной х, которое соответствует одному и тому же значению у, т.е. нужно приравнять правые части уравнений, задающих данные функции, найти х, а затем подставить его в любую из функций и найти у.

Для закрепления знаний полученных на уроке дети садятся за компьютеры и решают интерактивные задания с автоматизированной проверкой ответа. (ЭОР 4) Данный модуль состоит из пяти параметризированных заданий, направленных на закрепление изученных понятий. В заданиях   с 1-го по 3-е и в 5-м нужно выбрать правильный ответ, щелкнув по нему правой кнопкой мыши. Четвертое задание нужно решить в тетради и полученный ответ вписать вместо вопросительных знаков в поле ответа.

Если какое-нибудь задание вызвало затруднение, можно воспользоваться подсказками, щелкнув на них правой кнопкой мыши.

По окончании работы каждый ученик должен открыть статистику и показать ее учителю.  Оценка за работу соответствует количеству выполненных заданий.

Создать условия для формирования навыка самоанализа.

–Что каждый из вас сегодня узнал, понял, открыл?

–Что понравилось особенно, что бы хотелось выполнить еще раз?

Что не понравилось и почему? Что бы вы хотели изменить?

                                                                                      П. 15 № 337, 339, 341(а, в)

Дать инструкцию по выполнению домашнего задания.

— Что делали на уроке?

— Что нового узнали на уроке?

Сделайте вывод.

Учитель оценивает работу: учитывает правильность, самостоятельность, оригинальность.

 Первую группу заданий выполняют учащиеся, которым присвоен первый вариант, вторую группу выполняют учащиеся второго варианта. По одному ученику из каждого варианта работают у доски.

 По окончании работы учащиеся  отвечают на вопросы учителя.

В это время по индивидуальной карточке у доски работает ученик и строит графики функций: у=1,5х+1,

 у=-2х+1, у=4х+1

Ответ 1: первая и вторая прямая  параллельны, а первая и третья совпадают.

Ответ 2: две прямые совпадают, если их коэффициенты k и b равны.

Ответ 3. Если их угловые коэффициенты k  равны.

Ответ 4. Прямые пересекаются.

Ответ 2. Они пересекаются в одной точке, которая лежит на оси ОУ.

                                                                   Ответ 3.  (0,1).

Учащиеся пошагово знакомятся с данным модулем, еще раз наглядно подтверждая только что ими сделанные выводы.

Используя донное правило учащиеся решают поставленную задачу.

5 мин

10 мин

2 мин

2 мин

2 мин

Приложение к плану-конспекту урока

« Угловой коэффициент прямой. Взаимное расположение графиков линейных функций»

Таблица 2.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

 п/п

Название ресурса

Тип, вид ресурса

Формы предъявления информации

Гиперссылка на ресурс, обеспечивающая доступ к ЭОР

1

Линейная функция

Практический

Интерактивные задания с автоматизированной проверкой ответа.

http://fcior.edu.ru/card/13979/lineynaya-funkciya-i-ee-grafik-p1.html

2.

График линейной функции. (геометрический смысл коэффициентов).

Информационный

Интерактивное задание

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/bf11078a-01e3-448f-aa69-199e5b58b02f/?from=820d62ae-6bce-41ea-923d-7184c1801fc9&interface=catalog&class=49&subject=17

3.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Информационный

Анимированный ролик со звуком из шести частей, каждая часть состоит из двух блоков: видеоряд и сопроводительный текст

http://fcior.edu.ru/card/9013/vzaimnoe-raspolozhenie-grafikov-lineynyh-funkciy-i1.html

4.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Практический

Интерактивные задания с автоматизированной проверкой ответа, направленные на усвоение знаний по заявленной теме. Все задания параметризированы.

http://fcior.edu.ru/card/14328/vzaimnoe-raspolozhenie-grafikov-lineynyh-funkciy-p1.html

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

взаимное расположение графиков линейных функций

Урок составлен с использованием ЭОР и мини презентацией. Обучающиеся работают за компьютером с выходом в Интернет….

Урок «Взаимное расположение графиков линейной функции»

Урок изучения нового материала. Алгебра 7 класс учебник Макарычева Ю. Н. Конспект урока + презентация….

imageплан-конспект урока по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций» с использованием ЦОР

план-конспект урока для 7 класса по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций»(по учебнику Ю.Н. Макарычева) с использованием ЦОР с ФЦИОР и Единой коллекции ЦОР.Необходимое оборудование: но…

Открытый урок алгебры в 7 классе Взаимное расположение графиков линейных функций

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе с элементами исследования, игровых технологий,с применением ИКТ подойдет к УМК Ю. Макарычева, Мордковича…

imageУрок презентация по алгебре для 7 класса по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций»

Урок — презентация для изучения нового материала….

.7класс Алгебра Взаимное расположение графиков линейных функций Урок 1

7класс Алгебра Взаимное расположение графиков линейных функций. Урок 1…

imageЛинейная функция и её график. Взаимное расположение графиков линейных функций

Данная разработка, выполненая в Excel, поможет наглядно продемонстрировать учителю на уроке, как может распологаться график линейной функции в координатной плоскости (зависимость угла наклона прямой к…

  • Мне нравится

 

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий