Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Момент силы.

Момент силы относительно неподвижной точки – физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на силу .

– осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента силы

,(9)

где – угол между и , – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой – плечо силы.

Рисунок 4 – Момент силы относительно неподвижной очки О

Рисунок 5 – Момент силы относительно неподвижной оси

Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки данной оси.

Значение момента не зависит от выбора положения точки на оси .Если ось совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Сила приложена к точке , находящейся от оси на расстоянии , – угол между направлением силы и радиусом-вектором (смотри рисунок 6). Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силы проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

.

Учитывая, что

,

получаем

(10)

Рисунок 6 – К вычислению работы при вращении тела

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

.(11)

Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловое ускорение.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:

,

,

Тогда

,

или

.

Так как угловая скорость

,

то

.

Момент импульса.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки – физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки , на импульс

этой материальной точки

(12)

Модуль вектора момента импульса

,(13)

где б – угол между векторами и ; – плечо импульса. Перпендикуляр опущен из точки на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.

Рисунок 7 – Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О

– осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z – скалярная величина L_iz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки данной оси z.

Рисунок 8 – Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z

Значение момента импульса L_izне зависит от положения точки О на оси z.

Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твердого тела

.(14)

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиусас некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус – плечо вектора . Тогда момент импульса отдельной частицы и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси z – сумма моментов импульса отдельных его частиц относительно той же оси.

,(15)

равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость

.(16)

Учтем, что

,

где – момент инерции тела относительно оси z, – угловая скорость.

сила динамика вращательный импульс

Таблица 2. Аналогия в описании поступательного и вращательного движений

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса	m	Момент инерции
Скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
Сила	Момент силы
Основное уравнение динамики	Основное уравнение динамики
Работа	Работа
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

Закон сохранения момента импульса.

Еще одна форма записи уравнения динамики вращательного движения твердого тела – производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту силы относительно той же оси

.(17)

Продифференцировав

по времени, получим записанное выражение:

.(18)

Производная вектора момента импульса твердого тела равна моменту (сумме моментов) внешних сил

.(19)

Закон сохранения момента импульса:

.(20)

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

В замкнутой системе момент внешних сил

и

,

откуда

.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

Закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства.

Изотропность пространства – инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Некоторые демонстрации закона сохранения момента импульса.

Человек, сидящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси) и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью . Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется

где – момент инерции колеса; – угловая скорость колеса; – момент инерции системы «человек + скамья»).

а)

б)

Рисунок 9 – Демонстрации закона сохранения момента импульса

Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, равная про­изведению силы на ее плечо.

Момент силы определяют по формуле:

М – FI , где F — сила, I — плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения тела.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу надо приложить, чтобы получить желаемый результат, т. е. один и тот же момент силы (см. (1.33)). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, гораздо труднее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть гораздо проще длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н • м).

Правило моментов

Твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М,, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы М2, вращающей его против часовой стрелки:

М1 = -М2 или F 1 ll = – F 2 l 2 .

Момент силы принято считать положительным, если тело вращается по часовой стрелке, и от­рицательным, если — против.

Правило моментов является следствием одной из теорем механики, сформулированной фран­цузским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Пара сил

Если на тело действуют две равные и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, поскольку результирующий момент этих сил относительно любой оси не равен нулю, т. к. обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена ксвободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр тяжести тела, рис. 1.33, б.

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние I между силами, которое называется плечом пары,независимо от того, на какие отрезки и /2 разделяет положение оси плечо пары:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи­тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме­нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Предмет:  Физика

Studepedia.org – это постоянно обновляющаяся большая база учебных материалов (на даный момент 282 тыс. 988 статей) для студентов и учителей.

Последнее поступление – 6 Января, 2021

Наблюдение за поведением больного во время исследования 1 страница (Медицина, Здоровье)

Истоки женского движения. Первая и вторая волна (Социология)

Тест Закупочная логистика (Экономика)

Федеральный закон о бухгалтерском учете (Право)

Тема: ДЕВЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА. ВРСўМС¦. (Философия)

ПОЧЕМУ ДЕТИ СТАНОВЯТСЯ АГРЕССИВНЫМИ? (Педагогика)

Философия (конспект лекций), Якушев А. В. (Философия)

Индикация зарядного устройства (Электроника)

Третья мировая информационно-психологическая война (Философия)

ГОСТ 25346—2013 (ISO 286-1:2010) (Метрология, Стандартизация и Сертификация)

Взаимопомощь как фактор эволюции (Естествознание)

Возобновление заселения Приазовья и Подонцовья (История)

Богослужения мирянским чином, Вечерня (Религия)

Стихословие Псалтири – кафизмы 13 и 14 (Религия)

Всемiрное Воздвижение Честнаго и Животворящего Креста Господня, Обедница (Религия)

На лесной тропинке (Литература)

Вооружение гуннов (История)

Перелётные птицы (осень) (Логопедия)

Война Святослава с Византией. Битва при Аркадиополе (История)

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ (Математика)

Влияние рамок металлодетектора на здоровье человека (Охрана труда, БЖД)

Прибыль, ее экономическая сущность и пути формирования (на примере ООО «КСБ-Р») (Экономика)

Основы нейропсихологии, Т.Г. Визель (Психология)

Коррекция заикания у детей (Логопедия)

Девиантное поведение подростков: Теории и эксперименты (Педагогика)

Нейропсихологическое блиц-обследование (Психология)

Проектирование прямоугольного заглубленного железо-бетонного резервуара (Строительство)

Происхождение эмоций (Психология)

СЫН ЧЕЛОВЕЧЕСКИЙ, СЫН БОЖИЙ (Религия)

Контуры Мироздания (Философия)

Условия равновесия системы сходящихся сил

Моментом силы относительноВ  точки (центра) на­зывается вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии дей­ствия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости, проходя­щей через выбранную точку и линию действия силы. Если мом силы по часов стрелки, то момент отрицательный, а если против, то положительный. Если O— точка, относ кот находится момент силы F, то момент силы обозначается символом М_о(F). Если точка приложения силы F определяется радиусом-вектором r относительно О, то справедливо соотношение М_о(F)=г х F. (3.6) Т.е. момент силы равен векторному произ­ведению вектора r на вектор F. МодульВ В  векторногоВ В  произведенияВ В  равен М_о(F)=rF sin a=Fh, (3.7) где h — плечо силы. Вектор М_о(F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F, и против часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F. Формулу (3.7) можно записать в виде M_O(F)=2S, (3.8) где S– площадь треугольника ОАВ. Пусть x, у, z — координаты точки приложения силы, a F_x, F_y, F_z — проекции силы на координатные оси. Если т. О нах. в начале координат, то момент силы:

Значит, проекции момента силы на координатные оси определяются ф-ми: M_ox(F)=yF_z–zF_y, M_oy(F)=zF_x–xF_z, M_oz(F)=xF_y–yF_x (3.10).

Введем понятие проекции силы на плоскость. Пусть дана сила F и нек-ая пл-ть. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5). Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на этуВ  плоскость. Проекцией силы F на пл-ть xOy будет F_xy. Момент силы F_xy отн. т. О (если z=0, F_z=0) будет M_o(F_xy)=(xF_y–yF_x)k. Этот момент направлен вдоль оси г, а его проек­ция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы F относительно точки О.Т.е, M_Oz(F)=М_Оz(F_xy)=xF_y–yF_x. (3.11). Тот же результат мож­но получить, если спроектировать силу F на любую другую плоскость, парал­лельную плоскости хОу. При этом точка пересечения оси с плоскостью будет уже иной (обозначим О₁). Однако все входящие в правую часть равенства (3.11) величины х, у, F_x, F_y останутся неизменными: M_Oz(F)=M_Olz(F_xy). Проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точ­ки на оси. Вместо M_Oz(F) запишем M_z(F). Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси z. Перед вычислениями силу F проецируют на пл-ть, перп оси. М_z(F)=М_z(F_xy)=±F_xyh (3.12). h- плечо. Если по часовой стрелки, то +, против –. Для вычисления мом. сил нужно: 1) выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, В перпендикулярную оси; 2)В  спроектироватьВ В  на эту плоскость силу; 3)В  определить плечо проекции силы h. Момент силы относительно оси равен произведению модуля про­екции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком. Из (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю: 1) когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллель­ны; 2) когда плечо проекции h равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Или: мо­мент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости.

Введем понятие момента пары. Найдем, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно про­извольной точки. Пусть О — произвольная точка пространства (рис. 3.8),В  a F и F’ — силы,В  составляющие пару. Тогда М_о(F)=ОАxF,В В В  М_о(F’)= OBxF’, откуда М_о(F)+М_о(F’)=ОАxF+OBxF’, но так как F’=–F, то M(F)+M(F’)=OAxF–ОBхF=(ОА– OB)xF. ПринимаяВ  воВ  внимание равенствоВ  ОА–ОВ=ВА,окончательно находим: M(F)+M(F’)=BAхF. Т.е., сумма моментов сил, составляющих пару, не зави­сит от положения точки, относительно кото­рой берутся моменты. Векторное произведение ВАxF назы­вается моментом пары. Обозначается момент пары символом М(F,F’), причем М(F,F’)=BAxF=АВxF’, или, М=ВАхF=АВхF’. (3.13). Момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если h – плечо пары, то М(F,F’)=hF. Чтобы пара сил сост уравновеш сист необх: чтобы момент пары=0, либо плечо=0.

Выберите раздел:

Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела.

Аксиомы статики и их следствия:

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Аксиома 4

Аксиома 5

Активные силы и реакции связей:

Принцип освобождаемости

Свойства связей

Основные задачи статики.

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей.

Условия равновесия системы сходящихся сил.

Сложение двух параллельных сил.

Момент силы относительно. точки и оси. Момент пары сил.

Теоремы о парах:

Теорема 1

Теорема 2

Теорема 3

Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы пар.

Лемма о параллельном переносе силы.

Основная теорема статики.

Условия равновесия пространственной системы сил.

Привидение плоской системы сил к простейшему виду.

Теорема Вариньона

Условия равновесия плоской системы сил.

Третья форма уравнений равновесия плоской системы сил

Равновесие тела при наличии трения скольжения.

Равновесие тела при наличии трения качения.

Центр параллельных сил.

Центр тяжести.

В 

Вращательное движение тела Момент силы Момент инерции

Движение, при котором все точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, с центрами, расположенными на одной неподвижной прямой, называется вращательным движением тела. Прямая О’О» (рис. 2, а) называется осью вращения. Угловая скорость для всех точек вращающегося тела одинакова, линейные скорости различны: чем дальше расположена точка от центра вращения, тем больше ее линейная скорость.

Для того чтобы вызвать вращение тела, к нему надо приложить силу F, которая:

а) действует в плоскости Р, перпендикулярной оси вращения,

б) не проходит через эту ось и

в) направлена под прямым углом к радиусу r, проведенному от оси вращения О’О» к точке приложения силы. При этом действие силы тем значительнее, чем дальше расположена точка ее приложения от оси вращения.

Это учитывается с помощью величины, называемой вращающим моментом или просто моментом силы.

Момент силы относительно центра вращения

Момент силы М  относительно центра вращения в общем случае называют векторную величину, численно равную произведению силы F на длину d перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направление силы, который называют плечом силы (рис. 2, б) (в нашем случае плечом силы F является радиус r, проведенный из центра вращения О к точке приложения силы — рис. 2, а).

Вектор М момента силы приложен к центру О окружности и направлен вдоль оси вращения в направлении, определяемом по «правилу буравчика».

Если под действием момента силы тело по отношению к наблюдателю вращается по часовой стрелке (рис. 2, а), то момент считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Если на теле действует несколько моментов сил, то они складываются алгебраически (т. е. с учетом знака момента). Для того чтобы тело, имеющее ось вращения, находилось в равновесии, алгебраическая сумма моментов, действующих на него, должна равняться нулю.

Аналогично тому как действие силы при вращательном движении зависит от плеча силы, так и инерция вращающегося тела зависит от расположения его массы относительно оси вращения. Чем дальше от оси вращения расположена масса тела, тем больше ее инерция. Это можно продемонстрировать с помощью прибора, показанного на рис. 3. На стойке П укреплен блок Б с четырьмя стержнями, по которым могут передвигаться грузы М. 

На блок намотана нить, на конце которой подвешена гиря Г. Натяжение нити создает на оси блока вращающий момент, постоянный по величине, под действием которого блок со стержнями приводится во вращение. Ускорение блока можно определить путем наблюдения времени, в течение которого гиря Г опускается на определенное расстояние, отмечаемое по шкале Ш. Это ускорение зависит от инерции блока. Если грузы М расположены близко от оси вращения, блок имеет небольшую инерцию и гиря опускается очень быстро. Если передвинуть грузы к краям стержней в положение М’, то инерция блока увеличится и гиря будет опускаться заметно медленнее.

Как увеличить инерцию

Для того чтобы учитывать инерцию при вращательном движении тела, пользуются величиной, называемой моментом инерции. Момент инерции j для тела достаточно малой массы m относительно оси, находящейся на расстоянии r от центра масс тела (рис. 4), численно равняется произведению этой массы на квадрат расстояния:

j = mr².

Напомним, что центром масс (или центром тяжести) тела называют точку, в которой может быть приложена равнодействующая силы тяжести всех отдельных частей тела. Для тел сплошных, однородных, правильной геометрической формы центр масс совпадает с геометрическим центром.

Центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости несколько впереди второго крестцового позвонка.

Вычисление момента инерции

Для вычисления момента инерции какого-либо тела его разделяют на множество достаточно малых по массе элементов, для каждого из них вычисляют момент инерции j относительно заданной оси вращения и затем последние суммируют.

Момент инерции в системе СИ измеряется в кг•м², в СГС — г•см². Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы могут быть вычислены по известным формулам. Например, для однородного цилиндра относительно продольной оси: J = (1/2) тr², где т — масса иr — радиус цилиндра. Для однородного шара с массой т и радиусом r момент инерции относительно оси, проходящей через центр шара:

J = (2/5) mr².

Для тел неоднородных или сложной геометрической формы момент инерции обычно определяется опытным путем.

Если вращательное движение тела происходит равноускоренно, то оно характеризуется угловым и линейным ускорениями. Угловое ускорение ε измеряется отношением изменения ∆ω угловой скорости за достаточно малый промежуток времени ∆t к этому промежутку:

ε = ∆ω/∆t

Единицы измерения

Единицей измерения углового ускорения является рад/сек²или 1/сек².

Линейное ускорение а какой-либо точки тела равняется произведению углового ускорения ε на расстояние r точки от оси вращения:

а = εr = (∆ω/∆t)r.

Единица измерения в системе СГС — см/сек², в системе СИ — м/сек² При равноускоренном вращательном движении угловое ускорение ε прямо пропорционально приложенному моменту силы М и обратно пропорционально моменту инерции J тела:

ε = M/J, откуда М = εJ = J (∆ω/∆t).

Эта зависимость выражает второй закон Ньютона применительно к вращательному движению и называется основным уравнением вращательного движения.

Определим кинетическую энергию Е_к тела достаточно малой массы m, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, находящейся на расстоянии г от центра масс тела. По общему правилу:

Eк = (mυ²)/2 = (mω²r²)/2 = j(ω²/2)

Для вычисления кинетической энергии Е_к вращающегося тела с массой М его надо разделить на множество достаточно малых по массе элементов, вычислить для каждого из них кинетическую энергию Е_к и затем суммировать:

Eк = Е’к1 + Е’к2 + … = j1(ω²/2) + j(ω²/2) + … = ω²/2(j₁ + j₂ + …) = J(ω²/2)

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равняется половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.

Статья на тему Момент силы