Множество. Элементы множества. 2-й класс

Содержание

Введем понятие множества натуральных чисел. Начнем со следующего, используя число 1, названное единицей, построим некоторое подмножество множества image следующим образом: обозначим сумму image символом 2 и назовем его числом «два» ; обозначим сумму символом 3 и назовем его числом «три» ; аналогично определяем последовательно числа, называемые «четыре», «пять», и т.д. и обозначаемые символами и т.д.

Элементы множества

называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел обозначают через .

Обозначим через произвольно фиксированное натуральное число число называется числом, непосредственно следующим за числом , а само — непосредственно предшествующим числу .

Свойства натуральных чисел

Множество натуральных чисел обладает следующим свойством.

Если множество таково, что: ; ; следует, что , то

В самом деле, по условию 2) поэтому, согласно свойству 3) и и и т.д. Но любое натуральное число получается из 1 последовательным переходом от предыдущего натурального числа к последующему, поэтому , т.е. .

Итак, имеем и . По определению это означает, что .

Из свойства 2 следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.

Если имеется множество утверждений, каждому из которых соответствует натуральное число (его номер) и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с произвольным номером следует справедливость утверждения с номером , то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений.

Операции натуральными числами

Операция сложения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая сложением натуральных чисел. Например,

Операция умножения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая умножением натуральных чисел. Например,

Для любых из и

В самом деле, при формула справедлива согласно аксиоме 2.5. Пусть равенство верно при . Покажем, что она справедлива при

В частности если , то

Множество целых чисел

Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.

Множество всех целых чисел обозначается через .

Множество рациональных чисел

Частные , где называются рациональными числами (от лат. — отношение). Множество всех рациональных чисел обозначается через .

Множество иррациональных чисел

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (от лат. — неразумный, от — отрицательная приставка к — число не являющееся рациональным. Множество всех иррациональных чисел обозначается через .

Таким образом,

Число , умноженное раз на себя, называется n-й степенью числа и обозначается через . Таким образом,

Число в степени называется основанием степени, а — показателем степени.

Для любых и полагают

( не определяется).

Если то

для любого при 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» /> и 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» /> и для любого и при и .

1) 0, n > 0:» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

2)

3)

4) тогда

Если же n,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» /> то в соответствии с 4.4

— аналогично)

5) и используя снова 4.4, получим:

4.6. Если то

Действительно,

2. Числовые множества и функции2.1. Числовая ось. Множества на числовой прямойПонятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые понятия.Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество называются элементами, или точками этого множества.Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т. д. Т. е. объекты могут иметь самую различную природу, какую себе можно только представить.Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными.Факт принадлежности элемента а множеству А условно принято обозначать записью . Если элемент b не является элементом множества А, то пишут Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом Гё. Например, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0 есть пустое множество.Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А, что эквивалентно символьной записи .Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Обозначается . Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В. Обозначается . Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Обозначается E = AB. Пример 2.1. Найти объединение, пересечение и разность множеств А = {1; 3; 6; 8}, В ={2; 4; 6; 8}Ответ: , , Дополнением множества называется множество А0, состоящее из всех элементов множества В, не принадлежащих А.Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.Из школьного курс алгебры известны множества : R – действительных чисел, Q – рациональных, I — иррациональных, Z – целых, N – натуральных чисел. Очевидно, что Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовой оси). Числовой прямой называют прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой оси – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».Приведем определения некоторых множеств на числовой оси. Пусть а и b — действительные числа, а< b.Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству a ≤ x ≤ b, называют закрытым интервалом (или сегментом) и обозначают [a;b]; неравенству a< x< bоткрытым интервалом (a;b); неравенствам a ≤ x< b илиa< x ≤ b полуинтервалами [a; b) или (a;b]. Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы(-в€ћ; a), (b; +в€ћ), (-в€ћ; +в€ћ), (-в€ћ; a], [b; +в€ћ).2.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число в€’х, если х – отрицательно: По определению | x | ≥ 0. Например, | 5 | = 5; | в€’1,5 | = 1,5.Свойства абсолютных величин:1. в”‚х+ ув”‚ ≤ в”‚хв”‚+в”‚ув”‚,2. в”‚х в€’ ув”‚ ≥ в”‚хв”‚ в€’ в”‚ув”‚,3. в”‚хув”‚ = в”‚хв”‚·в”‚ув”‚,4. в”‚х/ув”‚ = в”‚хв”‚/в”‚ув”‚Из определения абсолютной величины числа следует: в€’в”‚х│≤ х ≤ в”‚хв”‚. Пусть в”‚хв”‚< Оµ. Можно написать: в€’Оµ < в€’в”‚х│≤ х ≤│хв”‚< Оµ, или –Оµ < х< Оµ, т. е. значения х лежат на открытом интервале (-Оµ, Оµ).Абсолютная величина разности двух чисел в”‚х в€’ав”‚означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х < а, так и для случая х > а.Поэтому, например, решениями неравенствав”‚х в€’ав”‚< Оµ (где Оµ > 0). будут точки открытого интервала (а – Оµ, а + Оµ), т. е. точки интервала, удовлетворяющего неравенству а – Оµ < х< а + Оµ (рис. 2.1).Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.Интервал (а – Оµ, а + Оµ), т. е. множество точек х таких, что в”‚х — ав”‚< Оµ(где Оµ > 0), называется Оµ – окрестностью точки а (рис. 2.1).Рис. 2.1.2.3. Понятие функции одной переменной Определение функции. Рассмотрим два множества Х и Y, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция у = Ж’(х), (или отображение множества Х во множество Y).Множество Х называется областью определения функции Ж’, а элементы у = Ж’(х) образуют множество значений функции – Y.х – независимая переменная (аргумент).у – зависимая переменная,Ж’ – закон соответствия, знак функции.Буквы для обозначения зависимой и независимой переменной можно выбирать любые, напримерu =x2, y =x2, z =t2;это одна и та же функция, один и тот же закон сопоставления.Пусть Х и Y множества вещественных чисел.Значения х и у могут быть любой физической природы. На данном этапе мы будем рассматривать только функции, область определения и область значений которых являются числовыми множествами.Область определения функции будем иногда обозначать символом D, а область значений – символом E Пример 2.2.1) Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: D = (-в€ћ, 2) U (2, 3) U (3, в€ћ).2) Найти область определения функции у= log3(х – 1).Решение:х – 1 >0, х > 1. Запишем решение в виде интервала: D = (1, в€ћ).Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.Наиболее часто используются в экономике следующие функции:1. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.2. Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.4. Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема продукции.5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. п.). Полезно помнить. Пусть рассматривается какое-либо утверждение В в связи с некоторым утверждением А. Если из В следует А, т. е. Вв†’А, то А является необходимым условием для В. Если же из А следует В, т. е. Ав†’В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 является необходимым условием для В (делимость на 6 в†’делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 является достаточным условием делимости на 6 (делимость на 12 в†’ делимость на 6). Таким образом, необходимые условия в€’ те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия в€’ те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно. 2.3. Способы задания функции1). Табличный — наиболее простой способ задания функции; составля­ется таблица: два столбца (или две строки), в левом записываются значения аргумента, в правом — соответствующие значения функции. Например, следующая таблица (табл.2.1) означает, чтоТаблица 2.1Xу0,10,20,51122436Этот способ не всегда приемлем. Например, для функцииневозможно записать в таблицу все значения, которые принимает х. Но он очень важен, например, для задания функций, полученных из эксперимента.Пример: В киоске продается мороженое. Зависимость количества проданных за день порций от цены мороженого (при прочих равных условиях) отражена в табл. 2.2:Таблица 2.2pq0,203000,252700,302200,352000,401500,451000,50500,55200,6010В левом столбце — цена в рублях (обозначена буквой р), в правом столбце — количество проданных порций q = f(p), т. е. зада­на функция, выражающая зависимость спроса от цены. Такие функции (они называются функции спроса от цены) имеют большое значение в экономике, и мы к ним еще будем возвращаться. 2). Графический – наиболее наглядный способ задания функции.Графиком функцииназывается множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)). Для предыдущего примера график функции имеет вид (рис. 2.2)Рис. 2.2.Для большей наглядности полученные точки графика соединены отрезка­ми прямых.Отметим, что следующая кривая (рис. 2.3) не является графиком функ­ции, так как в промежутке от a до b нарушается требование однознач­ности из определения функции, каждому значению х из этого промежут­ка отвечают несколько значений у.Рис. 2.3.3).Аналитическийспособзаданияфункции — это задание функции формулой, с помощью которой по данным значениям аргумента определя­ются соответствующие значения функции; например,Наряду с таким (как в этих примерах) явным заданием функции функциональная зависимость между переменными может быть задана уравнениемсвязывающим переменные х и у. Здесь зависимая переменная явно не выражена через независимую, например х3- у3+ 4 = 0. Такоготипа функциональнаязависимостьмеждупеременнымихиуназывается неявной. Более строго говоря, уравнение F(х, у) = 0 определяет у как неявную функцию от х, если каждому значению х из некоторого множества X можно однозначно сопоставить значение у так, что полу­ченная пара значений (х, у) обращает уравнениеF(x, у) = 0 в тож­дество. В одних случаях от неявного задания функции несложно перейти к явному. Например, еслих3- у3+ 4 = 0 — неявное задание функции, то у = (х3 + 4)1/3 есть явное задание этой же функции. В других случаях такой переход может быть затруднен или вообще невоз­можен. Не всякое уравнение F(x, у) = 0 определяет функцию, в част­ности из-за требования однозначности функции. Оно может определять сразу несколько функций. Например, известному из курса средней школы уравнению окружности х2 + у2 = a2 соответствуют две функции:у = (а2 — х2)1/2 и у = -(а2 — х2)1/2 . Графиком первой из них является верхняя полуокружность, а графиком второй — нижняя (рис. 2.4).Рис. 2.4.4). Параметрическийспособзаданияфункции. Функциональную зависимость между переменными х и у можно задать с помощью третьей вспомогательной переменной, называемой параметром, а именно — каждая переменная задается как функция этого вспомогательного параметра:Так быва­ет, например, при задании движения объекта на плоскости, когда каж­дая координата х, у задается как функция времени:Тогда обе функции в совокупности определяют траекторию движения этого объекта.Пример. Функция у = (1 — х2)1/2 может быть задана параметри­чески:5) Способ, когда функция определяется несколькими формулами, действующими на различных участках, например:График этой функцииРис. 2.5.Еще один пример.График этой функцииРис. 2.6.Функция обозначается у = sign x.Существуют функции; которые ни одним из предыдущих, способов задать нельзя. Их задают словесным описанием закона, по которому значениям одной переменной сопоставляют значения другой переменной.Пример.Эта функция называется функциейДирихле. Ни графически, ни аналити­чески, ни таблично ее описать нельзя.Иногда подобным образом задают функцию, которую нельзя задать аналитически, а затем строят ее график.Пример: у(х) есть наибольшее целое число, меньшее или равное х. Обозначают: у = Е(х).Например, Е (6,2) = 6. График этой функцииРис. 2.7.Замечание. До сих пор мы говорили в основном о функции непре­рывного аргумента, т. е. о функции, аргумент которой является не­прерывной величиной. Точно так же можно говорить о функции дискрет­ного аргумента; например, если n — натуральное число, тоесть функция натурального аргумента. Ее график имеет вид:Рис. 2.8.2.4. Обратная функцияЕсли Y – множество значений функции fВ (x) и для любого элемента существует единственный элемент такой, что fВ (x)В =В y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу соответствует единственный элемент и наоборот, каждому элементу соответствует единственный элемент Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается и каждому элементу ставит в соответствие такой элемент что fВ (x)В =В y; этот факт записывают так: Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что в€’ обратная функция, график которой получается из графика исходной функции yВ =В fВ (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: (Взято из «Избранное»/ дискретная математика/ 4.1.2. Сравнение и отображение множеств. url.http://www. *****/mathematics/courses/algebra/content/chapter2/section4/paragraph2/theory. html)Пусть имеется функция у = f(x) с областью определения Х и об­ластью изменения Y. По определению функции каждому значению х из X ставится в соответствие значение у из Y. Будем рассматривать такие функции, что двум разным значениям аргумента x1 и х2 соответствуют разные значения функции, т. е. при x1 в‰  х2 справедливо f(x1) в‰  f(х2).Тогда для каждого значения у из Y найдется такое единственное значение х из X, что f(x) = у.Правило, сопоставляющее каждому у из Y указанное значение х, определяет функциональную зависимостьП†(у) = х. Эта функция назы­вается обратной кфункцииу = f(x). Она обозначается х = f-1(y).Областьюопределенияобратнойфункции является множество значений данной функции f(x). График функцииу = f(x) является и графиком обратной функции х = f-1(y), при этом независимаяизависимаяпе­ременныеменяютсяролями. Напомним, чтофункциянезависитот обозначенияпеременных: у = х2, u= у2, х = у2 — одна и та же функция. Такжеу = f-1(х) их = f-1(y) — однафункция, обратная функцииу = f(x). Так как точки (a, b) и (b, а) симметричны относи­тельно биссектрисы I — III координатных углов, то график обратной функции у = f-1(х) симметричен относительно этой биссектрисы графи­ку функции у = f(x).Примеры.1. Для функции у = ах обратной является функциях = loga y или у = loga х. См. рис. 2.9.2. Для функции у = х3 обратной является функцияу = х1/3 (рис. 2.10).Рис. 2.9. Рис. 2.10.Использование обратной функции позволяет перейти от параметри­ческого задания функции к явному:пусть функция задана параметрически:причем функция х = П†(t) имеет обратную t =П†-1(х). Подставляя в функцию у = П€(t) выражение t =П†-1(х), получаем у = П€(П†-1(x)) — явное задание функции.2.5. Сложная функцияПусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – Y, а переменная u = П†(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(П†(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.2.6. Ограниченная функцияФункция называется ограниченной сверху, если найдется такое число М, что для всех х справедливо неравенство Аналогично определяется функция, ограничен­ная снизу. Например, функция ограничена снизу, для всех х. Здесь М = 0.Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Например, функция 2.7. Основные элементарные функцииК основным элементарным функциям относятся:I. Степенная функция y = kxa, где а — действительное число; в частности:если а = 1, k=1 то y = х — линейная функция (рис. 2.11);если а = 1/2, k=1, то у = х1/2 (рис. 2.12).Рис. 2.11. Рис. 2.12.если а = -1, то у = kх-1 = k/х — гипербола; при этом:в€’ если k >0, то гипероола располо­жена в 1-й и 3-й четвертях (рис 2.13);в€’ если k < 0, гипербола располо­жена во 2-й и 4-й четвертях (рис. 2.14).Рис. 2.13. Рис. 2.14.2. Показательная функция y =ax, где a— положительное чис­ло, aв‰  1 (рис. 2.15, 2.16)Рис. 2.15. Рис. 2.16.3. Логарифмическая функция у = loga х, a > О, a в‰  1.Рис. 2.17. Рис. 2.18.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.(графики не приводятся)2.6. Примеры функции из экономики1.В  Функция спроса от цены Q = f(p) определяет зависимость величины Q спроса на товар от цены р этого товара (при прочих равных условиях). Рассмотрим примеры функций спроса от цены. 1). Так как р и Q должны быть неот­рицательны, то график этой функции есть находящаяся в 1-й чет­верти часть гиперболы (смещенной по оси на -2). 2). При р = 0 спрос равен 10 ед. С увеличением цены спрос падает и, начиная с р = 20, становится равным нулю. Поэтому правильнее было бы записать эту функцию спроса так:Однако принято писать так, как указано в условии примера.Как правило, функция спроса есть убывающая функция, то есть с возрастанием цены спрос на данный товар падает (в экономике такое явление называется законом спроса). Вместе с тем бывают случаи, когда этот закон не действует, и в последующем студенты смогут по­знакомиться с такими «неправильными» товарами.Отметим, что функция спроса (от цены) часто обозначается Q = D(p), где D от английского Demand — спрос. 2. Функцияпредложения (отцены) показывает количество Q това­ра, которое производитель готов предложить рынку при данной цене р.Пример. Q = 0,75р — 3 — функция предложения.Пока цена меньше 4, производителю невыгодно поставлять данный товар, предложение равно нулю. Опять же можно отметить, что более аккуратной с математической точки зрения была бы такая запись:Известны и другие функции, применяемые для описания экономических законов.

Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Поиск

Вики

Архив

Математика

Нечеткое множество(fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть X– универсальное (базовое) множество, x – элемент X, а R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества X, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A=μAx/x, где μAx – характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из X нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества X определяется как множество упорядоченных пар A=μAx/x, где

μAx

характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M=;1. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M=;1, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество. Степень принадлежности μAx является субъективной мерой того, насколько элемент x∈X, соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством A.

Носителем нечеткого множества A является четкое подмножество SA универсального множества X со свойством μAx>, т.е.

SA=x∣x∈X∧μAx>.

Иными словами, носителем нечеткого множества A является подмножество SAуниверсального множества X, для элементов которого функция принадлежности μAx> больше нуля. Иногда носитель нечеткого множества обозначают supportA.

Если носителем нечеткого множества A является дискретное подмножество SA, то нечеткое подмножество A универсального множества X, состоящего из n элементов, можно представить в виде объединения конечного числа одноточечных множеств μAx/x при помощи символа ∑: A=∑i=1nμAxi/xi. При этом подразумевается, что элементы xi упорядочены по возрастанию в соответствии со своими индексами, т.е.

x1<</mo>x2<</mo>x3<</mo>…<</mo>xn.

Если носителем нечеткого множества A является непрерывное подмножество SA, то нечеткое подмножество A универсального множества X, рассматривая символ ∫ как непрерывный аналог введенного выше символа объединения для дискретных нечетких множеств ∑, можно представить в виде объединения бесконечного числа одноточечных множеств μAx/x:

A=∫XμAx/x.

Пример. Пусть универсальное множество X соответствует множеству возможных значений толщин изделия от 10мм до 40мм с дискретным шагом 1мм. Нечеткое множество A, соответствующее нечеткому понятию «малая толщина изделия», может быть представлено в следующем виде:

A=1/10;0,9/11;0,8/12;0,7/13;0,5/14;0,3/15;0,1/16;/17;…;/40,

A=1/10+0,9/11+0,8/12+0,7/13+0,5/14+0,3/15+0,1/16+/17+…+/40,

где знак суммирования обозначает не операцию арифметического сложения, а объединения элементов в одно множество. Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество (дискретный носитель):

SA=10;11;12;13;14;15;16.

Если же универсальное множество X является множеством действительных чисел от 10 до 40, т.е. толщина изделия может принимать все возможные значения в этих пределах, то носителем нечеткого множества A является отрезок SA=10;16.

Нечеткое множество с дискретным носителем может быть представлено в виде отдельных точек на плоскости, нечеткое множество с непрерывным носителем может быть представлено в виде кривой, что соответствует дискретной и непрерывной функциям принадлежности μAx, заданным на универсальном множестве X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функции принадлежности нечетких множеств с (а)-дискретным и (б)-непрерывным носителями

Пример. Пусть X=;1;2;… – множество целых неотрицательных чисел. Нечеткое множество ital малый можно определить как

μ ital малыйx=x1+0,1×2−1.

Рис.2.2. Графическое представление нечеткого множества малый

Нечеткое множество A называется конечным, если его носитель SA является конечным четким множеством. При этом, по аналогии с обычными множествами, можно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность cardA=cardSA. Нечеткое множество A называется бесконечным, если его носитель SA не является конечным четким множеством. При этом счетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество с счетным носителем, имеющим счетную мощность в обычном смысле в терминах теории четких множеств, т.е. если SA содержит бесконечное число элементов, которые однако можно пронумеровать натуральными числами 1,2,3…, причем достичь последнего элемента при нумерации принципиально невозможно. нечетким множеством будет называться нечеткое множество со несчетным носителем, имеющим несчетную мощность континуума, т.е. если SA содержит бесконечное число элементов, которые невозможно пронумеровать натуральными числами 1,2,3…

Пример. Нечеткое понятие «очень маленькое количество деталей» может быть представлено в виде конечного нечеткого множества

A=1/+0,9/1+0,8/2+0,7/3+0,5/4+0,1/5+/6+… с мощностью card(A)=6 и носителем SA=;1;2;3;4;5,

который является конечным четким множеством. Нечеткое понятие «очень большое количество деталей» может быть представлено в виде

A=/+…+0,1/1+0,4/11+0,7/12+0,9/13+1/14+1/15+…+1/n+…,n∈N–

нечеткого множества с бесконечным счетным носителем SA≡N(множество натуральных чисел), который имеет счетную мощность в обычном смысле.

Пример. Несчетное нечеткое множество A, соответствующее нечеткому понятию «очень горячо», задано на универсальном множестве значений температур (в Кельвинах) температурой x∈[;∞)и функцией принадлежности μA=1−e−x, с носителем SA≡R+ (множество неотрицательных действительных чисел), который имеет несчетную мощность континуума.

Величина supx∈XμAx называется высотой нечеткого множества.

Нечеткое множество Aнормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности supx∈XμAx=1.

При supx∈XμAx<</mo>1

нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым, если ∀x∈XμAx=.

Непустое субнормальное множество всегда можно нормализовать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение μAxsupx∈XμAx.

Нечеткое множество называется унимодальным, если μAx=1 только для одной точки x (моды) универсального множества X.

Нечеткое множество называется точечным, если μAx> только для одной точки x универсального множества X.

Множеством α-уровня нечеткого множества A, определенного на универсальном множества X, называется четкое подмножество Aα универсального множества X, определяемое в виде:

Aα=x∈X∣μAx≥α, где α∈;1.

Пример.A=0,8/1+0,6/2+0,2/3+1/4, A0,5=1;2;4, где A0,5 – четкое множество, включающее те элементы x упорядоченных пар

μAx/x,

составляющих нечеткое множество A, для которых значение функции принадлежности которых удовлетворяет условию

μAx≥α.

Для множеств α-уровня выполняется следующее свойство: если α1≥α2, то мощность подмножества Aα1 не больше мощности подмножества Aα2.

Элементы x∈X, для которых μAx=0,5называются точками перехода нечеткого множества A.

нечеткого множества A, определенного на универсальном множестве X, называется четкое множество coreA, элементы которого удовлетворяют условию coreA=x∈X∣μAx=1.

нечеткого множества A, определенного на универсальном множестве X, называется четкое множество frontA, элементы которого удовлетворяют условию frontA=x∈X∣<</mo>μAx<</mo>1.

Пример.Пусть X=;1;2;…;10, M=;1. Нечеткое множество несколькоможно определить на универсальном множестве натуральных чисел следующим образом: несколько=0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота=1, носитель=3;4;5;6;7;8, точкиперехода=3;8, ядро=5;6, граница=3;4;7;8.

Нечеткое множество A, определенное на универсальном множестве X, называется выпуклым, если

μAx≥minμAa;μAb;a<</mo>x<</mo>b;x,a,b∈X

(рис.2.3).

Рис.2.3. Функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечетких множеств

Studepedia.org — это постоянно обновляющаяся большая база учебных материалов (на даный момент 282 тыс. 988 статей) для студентов и учителей.

Последнее поступление — 6 Января, 2021

Наблюдение за поведением больного во время исследования 1 страница (Медицина, Здоровье)

Истоки женского движения. Первая и вторая волна (Социология)

Тест Закупочная логистика (Экономика)

Федеральный закон о бухгалтерском учете (Право)

Тема: ДЕВЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА. ВРСўМС¦. (Философия)

ПОЧЕМУ ДЕТИ СТАНОВЯТСЯ АГРЕССИВНЫМИ? (Педагогика)

Философия (конспект лекций), Якушев А. В. (Философия)

Индикация зарядного устройства (Электроника)

Третья мировая информационно-психологическая война (Философия)

ГОСТ 25346—2013 (ISO 286-1:2010) (Метрология, Стандартизация и Сертификация)

Взаимопомощь как фактор эволюции (Естествознание)

Возобновление заселения Приазовья и Подонцовья (История)

Богослужения мирянским чином, Вечерня (Религия)

Стихословие Псалтири – кафизмы 13 и 14 (Религия)

Всемiрное Воздвижение Честнаго и Животворящего Креста Господня, Обедница (Религия)

На лесной тропинке (Литература)

Вооружение гуннов (История)

Перелётные птицы (осень) (Логопедия)

Война Святослава с Византией. Битва при Аркадиополе (История)

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ (Математика)

Влияние рамок металлодетектора на здоровье человека (Охрана труда, БЖД)

Прибыль, ее экономическая сущность и пути формирования (на примере ООО «КСБ-Р») (Экономика)

Основы нейропсихологии, Т.Г. Визель (Психология)

Коррекция заикания у детей (Логопедия)

Девиантное поведение подростков: Теории и эксперименты (Педагогика)

Нейропсихологическое блиц-обследование (Психология)

Проектирование прямоугольного заглубленного железо-бетонного резервуара (Строительство)

Происхождение эмоций (Психология)

СЫН ЧЕЛОВЕЧЕСКИЙ, СЫН БОЖИЙ (Религия)

Контуры Мироздания (Философия)

  • Сарычева Светлана Владимировна, учитель информатики

Разделы:Информатика, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс:2

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (22 МБ)

Цели:

  1. Ввести понятие «множество».
  2. Ввести понятие «элементы множества».
  3. Научить определять принадлежность элемента множеству.

Предварительная подготовка:

  1. Принести мяч.
  2. Принести картинки, на которых изображены предметы с общим названием (можно использовать карточки детского лото).

Ход урока

— Ребята, сегодня на уроке мы с вами узнаем, что такое «множество» и что называют «элементами множества»!

— У меня на доске нарисован мешок. Пока он пуст. Давайте соберем в него зверей, которых вы знаете.

Игра:

Учитель ходит с мячом по классу и кидает ученику мяч, а ученик должен быстро назвать какого-либо зверя.

-А теперь давайте всех названных зверей соберем в наш мешок.

Дети вспоминают, а учитель выписывает на доске всех названных в игре зверей (или использует карточки с магнитом).

— Много в мешке получилось зверей?

— Много.

— В математике такую группу предметов (или живых существ) с общим названием и собранных вместе называют «множеством». «Множество» от слова МНОГО. (Слайд 3,4)

— Попробуйте дать название множеству.

 «Назови множество»:

Учитель показывает картинки с однородными предметами. Дети должны дать название этому множеству, например – рыбы, птицы, растения, книги.

— Это множество рыб. (Слайд 5)

— Это множество птиц. (Слайд 6)

— Давайте выполним задание №1 в тетради.

Задание №1. (Слайд 7)

Ученики должны назвать и подписать название предлагаемых множеств.

Множество: посуды, животных, обуви, игрушек, банных принадлежностей, предметов для рисования.

— Теперь давайте поиграем.

Игра «Назови множество» (Слайды 8,9,10)

Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики придумывают название этому множеству.

— платье, брюки, шуба, юбка, кофта, куртка… — одежда.

(- шкаф, стул, стол, диван, тумбочка… — мебель.)

— береза, сосна, ель, тополь, дуб, ива… — деревья.

(- Москва, Одесса, Лондон, Париж, Санкт-Петербург… — города.)

— стрекоза, кузнечик, бабочка, муха, пчела… — насекомые.

После игры на доске появляется еще один мешок, в котором перечислены названия предметов, но нет общего названия. Его дети должны придумать сами. Например, сапоги, валенки, кроссовки, ботинки, тапочки.

— Это множество обуви.

— Все предметы из этого множества называют элементами этого множества. (Слайд 11,12)

— Выполним задание №2.

Задание №2.(Слайд 13)

При выполнении задания для каждой картинки следует проверить каждое предлагаемое слово.

— Можно сказать, что на лугу пасется стая коров?

— Нет

— А рой коров?

— Нет

— А букет коров?

-Нет

-Значит, для коров, пасущихся на лугу, подходит только слово «стадо».

Аналогично для остальных картинок перебираются возможные варианты, и выбирается подходящее слово.

 — Итак, для некоторых групп предметов есть определенные слова, называющие эти группы, например, «стадо коров». Но сказать «рой коров» уже нельзя. Но зато любую группу предметов, собранных вместе, можно назвать «множеством»: множество коров, множество рыб, множество цветов.

— Сейчас снова будем играть. Для игры нам понадобятся ваши ладошки.

Игра «Найди лишнего» (Слайды 14,15,16)

Учитель называет какое-либо множество и начинает перечислять его элементы. Ученики должны хлопнуть в ладоши, если какой-либо названный предмет не является элементом заданного множества.

— Мы идем по парку и видим деревья: березу, дуб, розу (хлопок), тополь, сосну, ромашку (хлопок), ель, сирень (хлопок)

— Мы заходим в магазин и покупаем овощи: помидоры, картошку, апельсины (хлопок), морковь, колбасу (хлопок), огурцы, свекла, яблоки (хлопок)…

— В спортивном зале мы видим спортивные принадлежности: мяч, лыжи, гантели, кресло (хлопок), теннисные ракетки, расческу (хлопок), коньки, стул (хлопок)…

— Выполняем задания в тетради.

Задание №3. (Слайд 17)

Ученики должны определить предмет, который мешает назвать множество остальных предметов.

— В клетке находится множество птиц, а кролик среди них является лишним.

Задание №4. (Слайд 18)

Аналогично предыдущему.

— Почему Незнайка вычеркнул круг?

— Потому что все остальные предметы с углами.

— А если оставить круг в начальном множестве, то какая другая фигура может быть лишней и почему?

— Лишним может быть прямоугольник, как серая фигура.

Задание №5. (Слайд 19)

Из заданного множества дети должны выделить элементы названных множеств: овощей и фруктов. Исследуется каждый предмет: если это овощ – подчеркивать одной чертой, если фрукт – двумя чертами. Предмет, не входящий ни в одно из названных множеств, подчеркивать не надо.

После этого следует перечислить все полученные множества вслух.

— Множество овощей: картошка, свекла, морковь, огурец, помидор, тыква.

— Множество фруктов: груша, яблоко, апельсин, лимон, ананас.

— Не подчеркнуты: масло, хлеб, колбаса, сыр, мяч.

Задание №6. (Слайд 20)

Главное в задании, чтобы ученик мог назвать выделенное им множество и перечислить его элементы.

— Множество музыкальных инструментов: труба, скрипка, гитара, гармошка, барабан.

— Множество спортивных принадлежностей: гантели, мяч, коньки, ракетка.

— Множество строительных инструментов: пила, пассатижи, отвертка.

— И снова играем. Здесь понадобятся ваши знания.

Игра «Продолжи ряд»:

Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики, догадываясь о названии множества по перечисленным предметам, продолжают его своими элементами.

Обязательно в конце каждого этапа подвести итог: что же было перечислено, т.е. дать название множеству.

  • сыроежка, мухомор, опенок…(подберезовик, подосиновик, лисичка) – это…множество грибов
  • лиса, медведь, слон, бегемот…(волк, заяц, тигр, носорог) – это…множество зверей
  • стрекоза, бабочка, кузнечик…(жук, комар, пчела, муха) – это…множество насекомых
  • беретка, шляпа, панамка…(платок, кепка, шапка) – это…множество головных уборов
  • щука, окунь, сом, плотва…(акула, карась, лещ) – это…множество рыб

Задание №7. (Слайд 21)

Дети выполняют самостоятельно. Можно 1-2 учеников попросить озвучить свои ответы.

— Дорисовал тюльпан, т.к. это множество цветов.

— Ребята, назовите известные вам города (дети перечисляют названия городов).

— Можно городом назвать «Волгу»?

— Нет, это река.

— Можно ли назвать городом Россию?

— Нет, это страна.

Задание №8. (Слайд 22)

Выполняется самостоятельно.

Задание №9. (Слайд 23)

Ученики должны дать название каждому столбцу с тремя предметами (одежда, рыбы, деревья). После чего дуб должен быть вписан в столбец под названием «деревья», т.к. он является деревом.

Аналогично исследуются остальные предметы: окунь, лещ – «рыбы», юбка – «одежда».

ОДЕЖДА

РЫБЫ

ДЕРЕВЬЯ

Шуба

Щука

Береза

Брюки

Акула

Ель

Рубашка

Карась

Сосна

Юбка

Окунь

Дуб

Лещ

Итог урока:

— Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с такими понятиями, как «множество» и «элементы множества». Научились определять множество, а также принадлежность элемента заданному множеству.Карточки с заданиями (Слайды 24-30)

Учащимся раздаются карточки с заданиями в виде тестов на два варианта. Проверяется степень усвоения нового материала.

1 вариант:

2 вариант:

Домашнее задание: (Слайд 31)

№10.

Дети должны нарисовать любое множество предметов с общим названием и подписать название под картинкой.

Литература:

  1. Методические рекомендации для учителя, 2 класс, А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
  2. Информатика в играх и задачах, 2 класс, часть 2. А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
  3. Информатика тесты, 2 класс, О.Н.Крылова.

4.06.2012

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий