Касательная к окружности. Определение, свойство, свойство отрезков касательной

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 15Следующая ⇒

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном рассто­янии от данной точки, называемой центром окружности. Отрезок, со­единяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиу­сом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называ­ется ее хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам, а радиус равен половине диаметра.

Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части, каждая из которых называется дугой окруж­ности, а данные точки — концами этих дуг.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, со­единяющий ее концы, является диаметром окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

 Кругом с центром О и радиусомR называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О не боль­ше, чем на расстояниеR.

Опр. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называетсякасательной к окружности, а их общая точка называетсяточкой касания прямой и окружности.

Опр. Всякая прямая, имеющая с окружностью две общие тонки, называетсясекущей этой окружности.

imageТ5. (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Т6. (признак касательной). Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенно­му в эту точку, касается окружности.

Пусть из точкиА проведены две касательныер ит к окружности с центром в точкеО, которые касаются окружности в точ­ках Р и М соответственно (см. рис.).

Т7. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо­дящей через эту точку и центр окружности. Док-во: Истинность этого факта следует из равенства треугольниковОРА иОМА (см. рис.) по катету (ОР = ОМ как радиусы) и гипотенузе

(OA — общая). Таким образом,АР = AM и PAO = MAO .n

Теорема:

 Если из внешней точки провести к окружности касательную и секущую то квадрат касательной = произведению всей секущей на ее внешнюю часть. MC2 = MA•MB.

Измерение углов, связанных с окружностью

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном рассто­янии от данной точки, называемой центром окружности. Отрезок, со­единяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиу­сом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называ­ется ее хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам, а радиус равен половине диаметра.

Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части, каждая из которых называется дугой окруж­ности, а данные точки — концами этих дуг.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, со­единяющий ее концы, является диаметром окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

 Кругом с центром О и радиусомR называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О не боль­ше, чем на расстояниеR.

Опр..Угол, вершина которого лежитв центре окружности, называетсяцентральным углом.

Опр. Градусной мерой дуги окружности называется гра­дусная мера центрального угла, который соответствует этой дуге.  Две дуги одной окружности наз.равными, если их градусные меры равны.

Т4. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.     

Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (т.е. на диаметр), прямой.

Опр. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называетсякасательной к окружности, а их общая точка называетсяточкой касания прямой и окружности.

Опр. Всякая прямая, имеющая с окружностью две общие тонки, называетсясекущей этой окружности.

Т9. Дуги, заключенные между касательной к окружности и па­раллельной ей хордой и этой окружности, равны. Доказательство. ОМ ┴т , т.к. т — касательная к окр. О в точке М. Значит,ОМАВ, так какт ||АВ.

Тогда в равнобедренном треугольникеАОВ ON— биссектриса, где N = ОМ ∩АВ, т. е. AOM = MOB и AM =МВ.

Эту теорему можно сформулировать еще и так: если касательная парал­лельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.n

Т10. Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг этой окружности, одна из которых заклю­чена между его сторонами, а другая — между их продол­жениями.

Т11. Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пере­секают окружность, измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.

Т12. Угол, образованный касательной к окружности и хордой, равен половине дуги которая стягивает хорда

Т13.Угол, образованный касательной и секущей равен полуразности дуг заключенных между ними

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1421; Мы поможем в написании вашей работы!

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!

Скачать презентацию Окружность и касательная Некоторые теоремы

Окружность и касательная.ppt

  • Количество слайдов: 65

Окружность и касательная Некоторые теоремы Автор Календарева Н. Е. © 2011 г.

План 1. Окружность и хорда 2. Диаметр 3. Теорема о хорде и диаметре, проходящем через ее середину 4. Свойство пересекающихся хорд 5. Определение касательной 6. Признак и свойство касательной 7. Теорема об угле между касательной и хордой, проведенной из точки касания

Продолжение плана 8. Теорема о квадрате длины отрезка касательной 9. Секущая 10. Взаимное расположение двух окружностей 11. Внешняя и внутренняя касательные

Внимание Во время демонстрации будет предложено 13 вопросов и 5 задач. За правильный ответ на вопрос 1 балл (синий купон), за правильно решенную задачу 5 баллов (красный купон). Также можно доказывать теоремы и тоже получать купоны.

Окружность и радиус Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Хорда и диаметр Отрезок, соединя- ющий две точки окружности, назы- вается хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Теорема о хорде и диаметре, проходящем через ее середину Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, О перпендикулярен А В ей. С Доказательство в обе стороны.

Доказательство О А В С

Вопрос 1 В каком случае диаметр, проходящий через середину хорды, может быть не перпендикулярен этой хорде?

Ответ

Вопрос 2 Сколько окружностей можно провести через две заданные точки?

Ответ: бесконечно много.

Вопрос 3 Сколько окружностей заданного радиуса можно провести через две заданные точки?

Ответ

Вопрос 4 В каком случае одну?

Ответ Когда точки являются концами диаметра.

Вопрос 5 В каком случае через две заданные точки нельзя провести окружность данного радиуса?

Ответ В случае, если радиус меньше половины отрезка, соединяющего заданные точки.

Свойство пересекающихся хорд Теорема. Если хорды АВ и КМ окружности пересекаются в точке Р, то АР ∙ ВР = КР ∙ МР. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.

Доказательство Δ АКР и МВР подобны. К В Р А М Сл-но, АР ∙ ВР = КР ∙ МР.

Задача 1 В окружности радиуса 7 см хорда АВ длиной 10 см пересекает диаметр КМ в точке Е и делит его в отношении МЕ : КЕ = 1 : 6. Найдите отношение В АЕ : ВЕ. К Е М А

Решение Вычислим диаметр 14 см. КЕ = 12, В МЕ = 2 см. Е К М Обозначим АЕ = х. Тогда ВЕ = 10 – х. х(10−х) = 12 ∙ 2 (т. о хордах). А х2 − 10 х + 24 =0; х1 = 6 см; х2 = 4. Ответ: 3 : 2.

Вопрос 6 Каким свойством обладают диагонали вписанного четырехугольника?

Вопрос 7 Пусть АВ – диаметр окружности, т. О – ее центр, а АС и ВС – равные хорды. Чему равна величина угла СОВ?

Ответ: 90.

Задача 2 На бумаге нарисована дуга окружности. Как с помощью циркуля и линейки найти центр окружности?

Ответ

Определение касательной Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к этой окружности. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания. Установим, что касательная к окружности существует.

Пусть радиус окружности равен r и точка А лежит на окружности. Проведем через т. А прямую m, перпендикулярную ОА. ОА m. Докажем, что прямая m является касательной. Для этого надо пока- А зать, что т. А− единст- О венная. m

От противного. Пусть есть К еще точка К, лежащая на пр. m и окружности. А ΔОАК – прямоугольный с гипотенузой ОК, О m большей катета ОА. ОA = r, сл-но, ОК > r. Значит, точка К не лежит на окружности. Получили противоречие.

Таким образом, касательные к окружности существуют. Прямая, проходящая через конец диаметра окружности перпендикулярно этому диаметру, является касательной к окружности.

Свойство касательной Теорема. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство А m Пусть пр. m касается Н окружности в т. А. В ОА = r. И предположим, что ОА не пр. m. О

Опустим ОН на прямую m. Тогда А ≠ Н. Отложим НВ = НА. В Δ ОАВ отрезок ОН является А m высотой и медианой. Н Сл-но, ОА = ОВ. В Проведем окружность с центром в точке О и О радиусом ОА. Эта окружность пройдет и через точку В.

Получается, что прямая m и окружность имеют две точки А m пересечения. Противоречие с тем, В Н что прямая m является касательной. О

Отрезки касательных Пусть точка В – точка касания, и точка А лежит на касательной и В не совпадает с т. В. Пусть АС – вторая касательная. А О С

Теорема. Отрезки касательных, прове- денных к окружности из одной точки, равны. В Доказательство ОВ АВ, ОС АС. А О Δ АВО = Δ АСО Сл-но, АВ = АС. С

Теорема об угле между касательной и хордой, проведенной из точки касания Градусная мера угла, образованного касательной и хордой, проведенной из точки касания, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство Пусть AN – касательная и АВ – хорда. Пусть точка О – центр α окружности. Обозначим NAB буквой α. Так как ОА AN, то ОАВ = 90 −α. OAB = OBA. Найдем АОВ.

Сумма углов ΔОАВ равна 180. Тогда АОВ = 2α, α α = ½ AOB.

Следствие Угол, образованный касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Секущая Секущей называется прямая, пересекающая окружность в двух точках. Сколько секущих можно провести из точки, лежащей вне окружности? Из одной точки вне окружности можно провести бесконечно много секущих.

М

Теорема о квадрате касательной Пусть к окружности проведены из одной точки М касательная МК и секущая МВ, пересекающая окружность в точках В и А. Тогда справед- ливо равенство МК 2 = МВ ∙МА.

Доказательство По теореме об угле между касательной и хордой МКА = МВК. Угол КМВ общий. Из подобия МКА и МВК Имеем МК 2 = МВ∙МА. Теорема доказана.

Следствие Произведение длины всей секущей на длину ее внешней части есть величина постоянная. М

Взаимное расположение двух окружностей Теорема. Общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры окружностей, и делится этой прямой пополам. А Н О 2 О 1 В

Вопрос 8 Могут ли две разные окружности иметь общий диаметр? Ответ: не могут.

Вопрос 9 Деталь имеет форму круга. Как на практике можно найти центр круга, чтобы просверлить через него отверстие?

Ответ

Вопрос 10 Где расположены центры окружностей данного радиуса r, проходящих через данную точку А?

Ответ

Линия центров двух окружностей Линией центров двух окружностей называется прямая, проходящая через центры окружностей.

Внешнее касание двух окружностей О 1 О 2 r 1 r 2 O 1 O 2 = r 1 + r 2

Внутреннее касание двух окружностей О 1 О 2 r 1 O 1 O 2 = r 1 − r 2

Концентрические окружности Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Внешние и внутренние касательные Две окружности могут иметь общую касательную. m k

Задача 3 Докажите, что отрезок АB = CD m В А С D n

Задача 4 Докажите, что отрезки внутренних касательных равны: АВ = CD B С А D

Задача 5 Даны две окружности, имеющие внешнее касание. Докажите, что внутренняя касательная делит пополам отрезок внешней касательной С B А К

Окружность, вписанная в угол Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Вопрос 11 Можно ли в произвольный треугольник вписать окружность? Если да, то сколько?

Вопрос 12 Можно ли в ромб вписать окружность?

Вопрос 13 Можно ли в произвольную трапецию вписать окружность? Всегда? В равнобедренную всегда?

Ответы

Домашнее задание 1. Выучить формулировки основных теорем о хордах, касательной и секущей 2. Уметь решать задачи на касательные с применением теорем

Свойство 11.  Касательная а к окружности перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания А: a ? OA. imageСвойство 22.  Если из некоторой точки S проведены две касательные а и b к окружности, то: 1. отрезки касательных от точки S до точек касания A и B равны: SA = SB; 2. прямая, проходящая через центр окружности O и точку S, делит угол между касательными пополам: ? ASO = ? BSO. свойство 33.  Из некоторой точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D соответственно, то AP • BP = CP • DP.

На плоскости прямая и окружность могут либо пересекаться друг с другом, либо не пересекаться:

Расстояние от центра  O  до прямой  m  равно длине перпендикуляра  OA.  Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой всегда будет равно перпендикуляру, опущенному из центра окружности на прямую.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса данной окружности, то прямая и окружность не пересекаются и не имеют общих точек:

Касательная

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу данной окружности, то прямая касается окружности и они имеют одну общую точку, такая прямая называется касательной к окружности:

Прямая  m  — касательная. Точка соприкосновения прямой и окружности, то есть их общая точка, называется точкой касания: точка  A  — точка касания.

Касательная – это прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса данной окружности, то прямая пересекает окружность и они имеют две точки касания, такая прямая называется секущей к окружности:

Секущая – это прямая линия, имеющая с окружностью две общие точки.

1) Терема о вписанном угле в окружность.

imageТеорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть image если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна

2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр.image вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.

AC-диаметр imageТеорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.

4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.imageТеорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть

imageТеорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть

image Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть

imageТеорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).

.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий