Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Приветствую Вас дорогие учащиеся.

Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:

Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Определение:

Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету; Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

tg(a)=sin(a)/cos(a)

Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

ctg(a)=cos(a)/sin(a)

Рассмотрим на примере:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

Аналогично рассуждаем относительно угла B.

Пример:

Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Вступайте в группу вконтакте

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим. Рекомендуем подписаться на наш канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы расскажем, что такое КОСИНУС.

Это слово, уверены, многим знакомо. Хотя бы потому что его проходят в школе. И многие наверняка точно определят, что это некий математический термин.

Но лишь единицы, которые действительно увлечены алгеброй и геометрией, вспомнят определение КОСИНУСА.

А между тем, без этих знаний не обойтись при сдаче ЕГЭ. Так что для старшеклассников это статья будет наиболее интересна. А для остальных – это хорошая возможность вспомнить подзабытые знания.

Косинус — это …

Со словом КОСИНУС школьники впервые знакомятся в 8 классе. И происходит это, когда проходят тему прямоугольных треугольников. Напомним, это такие треугольники, у которых две стороны пересекаются под прямым углом (90 градусов).

Выглядят они вот так:

У этого треугольника стороны АВ и ВС образуют между собой прямой угол. И напомним, по научному они называются КАТЕТАМИ. Этот термин имеет древнегреческие корни, произошло от «káthetos» и дословно переводится как «отвесный, опущенный, перпендикуляр».

А линия АС, которая соединяет два катета между собой, как многие знают из школьного курса, называется ГИПОТЕНУЗА. Этот термин также родом из Древней Греции. Слово «ὑποτείνουσα» переводится как «натянутая».

К чему мы так подробно это рассказали? Ну, во-первых, никогда не бывает лишним освежить в памяти старые знания. А во-вторых, это имеет непосредственное отношение к нашей теме.

Косинус – это отношения прилежащего катета к гипотенузе.

Так звучит официальное определение КОСИНУСА. Но у внимательных читателей может возникнуть вопрос, а что такое «прилежащий катет»? И к чему он собственно «прилегает»?

Вопрос правильный. Дело в том, что КОСИНУС имеет прямое отношение к углам. А точнее, является их тригонометрической функцией. И в данном случае, надо просто понимать, о каком угле идет речь.

Вновь вернемся к нашему треугольнику АВС.

Если нам надо найти КОСИНУС угла с вершиной в точке А, то он будет равен отношению АВ (прилежащий катет) к АС (гипотенуза). А если нужно найти КОСИНУС угла с вершиной в точке С, то для него прилежащим катетом будет уже СВ, и уже его надо соотносить с гипотенузой АС.

Вот так это будет выглядеть более наглядно:

И если описывать формулы для конкретного примера, то выглядеть они будут так:

” alt=””>

История изучения

Всегда интересно, откуда взялось то или иное слово. И как раз у КОСИНУСА это весьма интересная история. Она начинается еще в IV веке, и связана с именем индийского астронома и математика Ариабхты.

Он ввел специальный термин, которым называл дугу. Это было слово «ардхаджива», образованное от «ардха» (половина) и «джива» (тетива лука).

Спустя 500 лет уже арабские математики решили заменить этот сложный для их произношения термин на привычное себе слово «джайб». В переводе оно обозначало «выпуклость».

И наконец, еще немного позднее европейцы стали переводить арабские математические тексты и встретили этот термин. Для них слово «джайб» также было чужеродным, поэтому они заменили его на латинское «Sinus», что в переводе означает «кривизна, изгиб».

А вот слово КОСИНУС – это производное от СИНУС. Оно возникло от выражения «completely sinus», что в переводе означает «дополнительный синус» или «синус дополнительной дуги».

Фактически уже тогда математики установили главную зависимость между синусом и косинусом. И выражается она в следующей формуле:

Таблица косинусов

Для каждого угла можно найти и рассчитать свой косинус.

Приведем самые популярные значения:

1. 0 градусов – COS=1
2. 30 градусов – COS=√3/2
3. 45 градусов – COS=√2/2
4. 60 градусов – COS=½
5. 90 градусов – COS=0
6. 180 градусов – COS=-1
7. 270 градусов – COS=0
8. 360 градусов – COS=-1

” alt=””>

И еще одна важная зависимость. Если мы возьмем плоскость в 180 градусов:

В этом случае между углами α и β существует простая зависимость:

И тогда можно представить следующую формулу:

Данное утверждение будет верно при любых углах.

Вместо заключения

Есть еще две тригонометрические функции, которые широко используются в математике и изучаются в школе. Это ТАНГЕНС и КОТАНГЕНС.

Тангенс – это отношение противоположного катета к прилежащему. Также его можно представить как деление синуса на косинус.

Котангенс – это противоположная тангенсу функция, то есть отношение прилежащего катета к противолежащему. Или деление косинуса на синус.

Вот и все, что мы хотели рассказать про КОСИНУС.

” alt=””>

Предыдущий материал из этой темы Следующий материал из этой темы

В статье мы расскажем, как находить значения:

(cos300^°),       (sin⁡(-540^°)),     (cos 510^°),     (sin⁡(-135^°))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно: 1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу; 2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен – абсциссе, а синус угла – ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5);    (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707);     (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

• Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

• Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

• Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°),  а четверти (90^°);

• Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

• Одна точка может соответствовать разным углам;
• Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).Решение:

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).Решение:   (225^°=180^°+45^°) (-135^°=-90^°-45^°)

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).Решение:    (420^°=360^°+60^°) (-390^°=-360^°-30^°)

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример.  Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .Решение:   (⁡300^°=360^°-60^°)

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}),     (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .Решение.    (-540^°=-360^°-180^°).

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin⁡(-135^°)).Решение. (-135^°=-90^°-45^°)

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.) Ответ: (18).

Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos⁡(510^°)).Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)Ответ: (-81).

Смотрите также:Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы?Из градусов в радианы и наборотТригонометрическая таблица с кругомПочему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

База знанийЕГЭМатематикаДобавлено: 19-08-2017, 06:05

Итак, напоминаем, что при рассмотрении тригонометрических функций мы рассматриваем окружность, которая имеет единичный радиус. Данное упрощение используется для удобства. Все отношения справедливы для произвольных окружностей, с произвольным радиусом.

Пример. Давайте построим точки на единичной окружности, которые будут соответствовать повороту радиус-вектора на угол  

Решение. За начало отсчета принимаем точку Р. Угол, равный нулю радиан совпадает с данной точкой.

Мы знаем, что граничными считаются углы 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Если использовать угол π/2 и разделить первую четверть на 3 равных части, то первое от начала отсчета разделение будет соответствовать углу π/6. На графике данная точка имеет место Р_π/6.

Чтобы получить угол π/4, необходимо прямой угол разделить на две части. Если необходимо отметить угол с отрицательным аргументом, необходимо пойти по часовой стрелке от начальной точки. Например, точка – π/4 будет находиться симметрично относительно оси ОХ в 4 четверти.

Давайте теперь вспомним, каким образом исчисляются углы, выраженные в радианной мере. Чему, например, соответствует в радианах π/4? Чтобы это узнать, следует числовое значение числа π разделить на 4.

3,14 : 4 = 0,78, если углу π/2 соответствует 3,14 : 2 = 1,57. Следовательно, на окружности угол, равный единице будет лежать выше π/4, но ниже π/2. Отрицательное значение угла симметрично положительному относительно оси ОХ.

Таким же образом следует найти и местонахождение угла, равного 2. Так как граничному прямому углу соответствует значение 1,57, то угол, равный двум, будет находиться во второй четверти.

Можно убедиться, что каждому числу соответствует своя ордината и абсцисса на плоскости.

Отсюда можно сделать вывод, что: 

Синус некоторого числа – это значение ординаты на плоскости, которая соответствует точке этого числа на единичной окружности.

Косинус некоторого числа – это значение абсциссы на плоскости, которая соответствует точке этого числа на единичной окружности.

Тангенс некоторого числа – это значение, полученное в результате отношения синуса к косинусу, иначе говоря, отношение ординаты к абсциссе.

Котангенс некоторого числа – это значение, полученное в результате отношения косинуса к синусу, иначе говоря, отношение абсциссы к ординате.

Синус и косинус имеют период, равный 6,28. Тангенс и котангенс имеет период, равный 3,14.

Предыдущий урок

Следующий урок

РЕЙТИНГ АВТОР ПРОСМОТРЫ–>

Функция SIN в Excel используется для вычисления синуса угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция SINH в Excel возвращает значение гиперболического синуса заданного вещественного числа.

Функция COS в Excel вычисляет косинус угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция COSH возвращает значение гиперболического косинуса заданного вещественного числа.

Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel

Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.

Таблица данных:

Для решения используем формулу:

=B2*B3*SIN(РАДИАНЫ(B1))

Описание аргументов:

• B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
• SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.

В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.

Таблица синусов и косинусов в Excel

Пример 2. Ранее в учебных заведениях широко использовались справочники тригонометрических функций. Как можно создать свой простой справочник с помощью Excel для косинусов углов от 0 до 90?

Заполним столбцы значениями углов в градусах:

Для заполнения используем функцию COS как формулу массива. Пример заполнения первого столбца:

=COS(РАДИАНЫ(A2:A16))

Вычислим значения для всех значений углов. Полученный результат:

Примечание: известно, что cos(90°)=0, однако функция РАДИАНЫ(90) определяет значение радианов угла с некоторой погрешностью, поэтому для угла 90° было получено отличное от нуля значение.

Аналогичным способом создадим таблицу синусов в Excel:

Построение графика функций SINH и COSH в Excel

Пример 3. Построить графики функций sinh(x) и cosh(x) для одинаковых значений независимой переменной и сравнить их.

Исходные данные:

Формула для нахождения синусов гиперболических:

=SINH(A2:A12)

Формула для нахождения косинусов гиперболических:

=COSH(A2:A12)

Таблица полученных значений:

Построим графики обеих функций на основе имеющихся данных. Выделите диапазон ячеек A1:C12 и выберите инструмент «ВСТАВКА»-«Диаграммы»-«Вставь точечную (X,Y) или пузырьковую диаграмму»-«Точечная с гладкими кривыми и маркерами»:

Как видно, графики совпадают на промежутке (0;+∞), а в области отрицательных значений x части графиков являются зеркальными отражениями друг друга.

Особенности использования тригонометрических функций в Excel

Синтаксис функции SIN:

=SIN(число)

Синтаксис функции SINH:

=SINH(число)

Синтаксис функции COS:

=COS(число)

Синтаксис функции COSH:

>=COSH(число)

Каждая из приведенных выше функций принимает единственный аргумент число, который характеризует угол, заданный в радианах (для SIN и COS) или любое значение из диапазона вещественных чисел, для которого требуется определить гиперболические синус или косинус (для SINH и COSH соответственно).

Примечания 1:

1. Если в качестве аргумента любой из рассматриваемых функций были переданы текстовые данные, которые не могут быть преобразованы в числовое значение, результатом выполнения функций будет код ошибки #ЗНАЧ!. Например, функция =SIN(“1”) вернет результат 0,8415, поскольку Excel выполняет преобразование данных там, где это возможно.
2. В качестве аргументов рассматриваемых функций могут быть переданы логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ, которые будут интерпретированы как числовые значения 1 и 0 соответственно.
3. Все рассматриваемые функции могут быть использованы в качестве формул массива.

Примечения 2:

1. Синус гиперболический рассчитывается по формуле: sinh(x)=0,5*(ex-e-x).
2. Формула расчета косинуса гиперболического имеет вид: cosh(x)=0,5*( ex+e-x).
3. При расчетах синусов и косинусов углов с использованием формул SIN и COS необходимо использовать радианные меры углов. Если угол указан в градусах, для перевода в радианную меру угла можно использовать два способа:

Скачать примеры тригонометрических функций SIN и COS

• Функция РАДИАНЫ (например, =SIN(РАДИАНЫ(30)) вернет результат 0,5;
• Выражение ПИ()*угол_в_градусах/180.