Функции у = tg x, у = ctg x, их свойства и графики — Тригонометрические функции — 1-е полугодие

Функции, исследование функций

Неотъемлемым атрибутом любой функции является ее область определения. В этой статье собраны начальные самые необходимые сведения про область определения функции. Из нее Вы узнаете, что это такое, как она обозначается, и каковы области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т.д.).

Без этих знаний нам не обойтись в дальнейшем, когда мы столкнемся с задачей найти область определения функции достаточно сложного вида. Но об этом чуть позже, сначала надо разобраться с очерченным кругом вопросов.

Сразу отметим, что в этой статье мы будем говорить про область определения функции одной переменной.

Навигация по странице.

Определение, обозначение

В школе первая встреча с областью определения обычно происходит на уроках алгебры в 7 классе, когда в обиход вводится термин «функция» [1, с. 53; 2, с. 155]. На этом этапе областью определения функции называют все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент).

К определению функции возвращаются вновь и вновь, сначала в 9 классе [3, с. 3; 4, с. 86], а дальше и в старших классах [5, с. 55; 6, с. 21], где его дают более строго. Например, в учебнике КолмогороваВ А.В Н. оно дается в следующей формулировке:

Определение.

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от x.

Из приведенного определения можно выделить интересующее нас в рамках рассматриваемой темы определение области определения функции:

Определение.

Область определения функции – это множество всех значений аргумента, на котором задается функция.

Теперь пару слов скажем про принятые обозначения.

Было принято функции обозначать малыми латинскими буквами, например, f, g, h и т.п. При этом стали использовать записи вида y=f(x), которые означают, что имеет место функциональная зависимость. Другими словами, этим записям придали следующий смысл: функция f есть правило, по которому каждому значению независимой переменной x из области определения функции f ставится в соответствие значение зависимой переменной y. В качестве примера приведем функцию, заданную формулой y=x2. Здесь f(x)=x2, то есть, f — функция возведения в квадрат. Она каждому значению независимой переменной из области определения ставит в соответствие значение зависимой переменной y=x2. К примеру, числу 3 эта функция поставит в соответствие число 9 (так как 32=9).

Для обозначения области определения функции f в свою очередь стали использовать краткую запись вида D(f). Здесь заметим, что для некоторых функций приняты свои обозначения, таковыми, например, являются тригонометрические функции. Поэтому, к примеру, можно встретить запись D(sin), которая обозначает область определения функции синус. Конечно, ее можно переписать и как D(f), где f – функция синус.

Если областью определения функции f является множество X, то принята запись D(f)=X. Например, область определения арксинуса (функция арксинуса обозначается как arcsin) есть числовой промежуток[в€’1, 1], это можно записать как D(arcsin)=[в€’1, 1].

К началу страницы

Области определения основных элементарных функций

Из определения функции понятно, что область определения функции является неотъемлемой частью самой функции, она задается вместе с самой функцией. То есть, когда вводится какая-либо функция, то область ее определения указывается изначально. Так на уроках алгебры последовательно изучаются функция за функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y=x2 и так далее, и области их определения указываются как свойства.

Перечислим области определения основных элементарных функций.

Постоянной

Постоянная функция, как известно, задается формулой y=C (то есть, f(x)=C), где C – некоторое действительное число. Она ставит в соответствие каждому действительному значению аргумента значение функции, равное С. Таким образом, область определения постоянной функции представляет собой множество всех действительных чисел R.

Например, область определения постоянной функции y=в€’3 (здесь f(x)=в€’3) есть множество всех действительных чисел (D(f)=(в€’в€ћ, +в€ћ) или D(f)=R). Еще пример: областью определения функции image, как и любой другой постоянной функции, также является множество R.

К началу страницы

Корня

Первой функцией, которая задается с использованием знака радикала, выступает функция извлечения квадратного корня image. Чуть позже подоспевает и обобщение – функция корень степени n, она задается с помощью формулы , где n – натуральное число, большее единицы. Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

  • Если n – четное число, то есть, n=2В·m, где mв€€N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел: .
  • Если же показатель корня является нечетным числом, большим единицы, то есть, n=2В·m+1, то областью определения корня является множество всех действительных чисел, то есть, .

Итак, область определения каждой из функций , … есть числовое множество [0, +в€ћ), а областью определения функций , … является множество (в€’в€ћ, +в€ћ).

К началу страницы

Степенной функции

Степенная функция задается формулой y=xa, то есть, f(x)=xa, где x – переменная в основании степени, a – некоторое число в показателе степени. Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени. Перечислим все возможные случаи.

  • Если a – положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел, что то же самое (в€’в€ћ, +в€ћ).
  • Для нецелых действительных положительных показателей степени D(f)=[0, +в€ћ).
  • Если a – отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (в€’в€ћ, 0)в€Є(0, +в€ћ).
  • Для всех остальных действительных отрицательных a областью определения степенной функции является числовой промежуток (0, +в€ћ).

При a=0 степенная функция y=xa определена для всех действительных значений x, кроме x=0. Это связано с тем, что мы не определяли . А любое отличное от нуля число в нулевой степени, как известно, равно единице. То есть, при a=0 имеем функцию на области определения (в€’в€ћ, 0)в€Є(0, +в€ћ).

Приведем несколько примеров для конкретики.

  • Областью определения функций y=x5, y=x12 является множество R, так как показатели степени целые положительные.
  • Степенные функции , определены на интервале [0, +в€ћ), так как их показатели положительные, но не целые.
  • Область определения функции y=xв€’2, как и функции y=xв€’5 — это множество (в€’в€ћ, 0)в€Є(0, +в€ћ), так как показатели степени целые отрицательные.
  • Наконец, областью определения степенных функций , является открытый числовой луч (0, +в€ћ), так как их показатели не целые и отрицательные.

К началу страницы

Показательной функции

Показательная функция задается формулой y=ax, где переменная x находится в показателе степени, а в основании стоит число a, которое больше нуля и не равно единице. Она определяется на множестве всех действительных чисел. Это значит, что область определения показательной функции – это множество R.

Для примера приведем показательные функции , y=ex, , y=13x, область определения каждой из них есть (в€’в€ћ, +в€ћ).

К началу страницы

Логарифма

Логарифмическая функция с основанием a, где число a>0 и aв‰ 1, — это функция, заданная формулой y=logax на множестве положительных действительных чисел. Логарифм по основанию a обозначается как loga, с основанием e – как ln, а с основанием 10 – как lg. Область определения логарифмической функции (или как еще говорят область определения логарифма) – это множество всех положительных действительных чисел, то есть, D(loga)=(0, +в€ћ), в частности, D(ln)=(0, +в€ћ) и D(lg)=(0, +в€ћ).

Приведем примеры. Рассмотрим логарифмические функции , y=log7x, y=lnx, область определения этих функций есть множество (0, +в€ћ).

К началу страницы

Тригонометрических функций

Давайте вспомним, как задаются тригонометрические функции, откуда будут видны их области определения.

Функция, которая задается формулой y=sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Таким образом, область определения синуса – это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin)=R.

Аналогично, функция, заданная формулой y=cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус – множество всех действительных чисел: D(cos)=R.

Функции, заданные формулами y=tgx и y=ctgx, называются тангенсом и котангенсом соответственно и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел .

Таким образом, если x – аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и соответственно.

К началу страницы

Обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция, которая задается формулой y=arcsinx и рассматривается на отрезке [в€’1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin. Из этого определения понятно, что область определения арксинуса – это множество [в€’1, 1], то есть, D(arcsin)=[в€’1, 1].

Аналогично, функция, которая задается формулой y=arccosx и рассматривается на отрезке [в€’1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos. Таким образом, область определения функции арккосинус есть отрезок [в€’1, 1], то есть, D(arccos)=[в€’1, 1].

Функции, которые задаются формулами вида y=arctgx и y=arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом соответственно, обозначаются arctg и arcctg. Область определения арктангенса и область определения арккотангенса есть все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg)=R и D(arcctg)=R.

К началу страницы

Таблица областей определения функций

Для удобства запоминания и использования результатов, изложенных выше, соберем их в таблицу. Не помешает сделать ее копию, и выделить ей место наряду с таблицей квадратов, таблицей простых чисел и т.п. Она может оказаться очень полезной при работе с функциями, особенно на первом этапе, пока ее содержимое не уляжется в памяти. Итак, таблица областей определения функций:

В заключение хочется сказать, что изучение функций в школе не ограничивается основными элементарными, в примерах и задачах встречаются функции, представляющие собой их всевозможные комбинации. И часто области определения таких функций не указываются, но подразумевается, что область определения функции в этом случае состоит из всех значений аргумента, при котором записанная формула имеет смысл. Вот здесь и встает вопрос, к ответу на который мы плавно переходим и который звучит так: «Как найти область определения функции»?

Список литературы.

  1. Алгебра: учеб. для 7В кл. общеобразоват. учреждений / [Ю.В Н.В Макарычев, Н.В Г.В Миндюк, К.В И.В Нешков, С.В Б.В Суворова]; под ред. С.В А.В Теляковского. — 17-еВ изд. — М. : Просвещение,В 2008. — 240В с. : ил. — ISBNВ 978-5-09-019315-3.
  2. МордковичВ А.В Г. Алгебра. 7В класс. В 2В ч. Ч.В 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.В Г.В Мордкович. — 17-еВ изд., доп. — М.: Мнемозина,В 2013. — 175В с.: ил. ISBNВ 978-5-346-02432-3.
  3. Алгебра: 9В класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.В Н.В Макарычев, Н.В Г.В Миндюк, К.В И.В Нешков, С.В Б.В Суворова]; под ред. С.В А.В Теляковского. — 16-еВ изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271В с. : ил. — ISBNВ 978-5-09-021134-5.
  4. МордковичВ А.В Г. Алгебра. 9В класс. В 2В ч. Ч.В 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.В Г.В Мордкович, П.В В.В Семенов. — 13-еВ изд., стер. — М.: Мнемозина,В 2011. — 222В с.: ил. ISBNВ 978-5-346-01752-3.
  5. МордковичВ А.В Г. Алгебра и начала анализа. 10В класс. В 2В ч. Ч.В 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.В Г.В Мордкович, П.В В.В Семенов. — 4-еВ изд., доп. — М.: Мнемозина,В 2007. — 424В с.: ил. ISBNВ 978-5-346-00792-0.
  6. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11В кл. общеобразоват. учреждений / А.В Н.В Колмогоров, А.В М.В Абрамов, Ю.В П.В Дудницын и др.; Под ред. А.В Н.В Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384В с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

К началу страницы

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Приветствую Вас дорогие учащиеся.

Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:

Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Определение:

Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету; Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

tg(a)=sin(a)/cos(a)

Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

ctg(a)=cos(a)/sin(a)

Рассмотрим на примере:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a)
Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Аналогично рассуждаем относительно угла B.

Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b)
Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Пример:

Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Вступайте в группу вконтакте

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим. Рекомендуем подписаться на наш канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Содержание

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Синус угла (обозначается ) – ордината точки полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол

Косинус угла (обозначается ) – абсцисса точки полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол

Тангенс угла (обозначается ) – отношение синуса угла к его косинусу, то есть

Котангенс угла (обозначается ) – отношение косинуса угла к его синусу, то есть

Основное тригонометрическое тождество

Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом

Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций.

Косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции аргумента :

Синус и косинус – периодические с периодом функции, а тангенс и котангенс – периодические с периодом функции:

Число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса, а число – наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса.

Для любого целого справедливы равенства

Формулы сложения

Формулы двойного и тройного аргумента

Формулы понижения степени

Формулы приведения

Формулы суммы и разности синусов

Формулы суммы и разности косинусов

Формулы суммы и разности тангенсов

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность)

Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса действительного числа.Определение. Число, равное ординате точки М единичной окружности, называется синусом угла αОпределение. Число равное абсциссе точки М единичной окружности, называется косинусом угла α.Определение. Отношение ординаты точки М к ее абсциссе называется тангенсом угла α.Определение.  Отношение абсциссы к ординате — котангенсом угла αСвойства и графики тригонометрических функций.

Функция синус

— множество всех действительных чисел.Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.График функции симметричен относительно начала координат.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z.sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·kπ+2π·k), k ∈ Z.sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k2π+2π·k), k ∈ Z.

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция косинус

— множество всех действительных чисел.Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.График функции симметричен относительно оси OY.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.cos x = 0 при cos x > 0 для всех cos x < 0 для всех Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция тангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная.Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения.График функции симметричен относительно оси OY.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.tg x = 0 при tg x > 0 для всех tg x < 0 для всех Функция возрастает на промежутках:

Функция котангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.График функции симметричен относительно оси OY.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.ctg x = 0 при ctg x > 0 для всех ctg x < 0 для всех Функция убывает на каждом из промежутков

image

Как найти область определения функции? Ученикам средних классов приходится часто сталкиваться с данной задачей.

Родителям следует помочь своим детям разобраться в данном вопросе.

Математические понятия

image

Задание функции.

Напомним основополагающие термины алгебры. Функцией в математике называют зависимость одной переменной от другой. Можно сказать, что это строгий математический закон, который связывает два числа определенным образом.

В математике при анализе формул числовые переменные подменяют буквенными символами. Наиболее часто используют икс («х») и игрек («у»). Переменную х называют аргументом, а переменную у — зависимой переменной или функцией от х.

Существуют различные способы задания зависимостей переменных.

Перечислим их:

  1. Аналитический тип.
  2. Табличный вид.
  3. Графическое отображение.

Аналитический способ представляют формулой. Рассмотрим примеры: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 является типичной для линейной функции. Подставляя в заданную формулу числовое значение аргумента, получаем значение y.

imageТабличный способ представляет собой таблицу, состоящую из двух столбцов. Первая колонка выделяется для значений икса, а в следующей графе записывают данные игрека.

Графический способ считается наиболее наглядным. Графиком называют отображение множества всех точек на плоскости.

Для построения графика применяют декартовую систему координат. Система состоит из двух перпендикулярных прямых. На осях откладывают одинаковые единичные отрезки. Отсчет производят от центральной точки пересечения прямых линий.

Независимую переменную указывают на горизонтальной линии. Ее называют осью абсцисс. Вертикальная прямая (ось ординат) отображает числовое значение зависимой переменной. Точки отмечают на пересечении перпендикуляров к данным осям. Соединяя точки между собой, получаем сплошную линию. Она являться основой графика.

Виды зависимостей переменных

image

Определение.

В общем виде зависимость представляется как уравнение: y=f(x). Из формулы следует, что для каждого значения числа х существует определенное число у. Величину игрека, которая соответствует числу икс, называют значением функции.

Все возможные значения, которые приобретает независимая переменная, образуют область определения функции. Соответственно, все множество чисел зависимой переменной определяет область значений функции. Областью определения являются все значения аргумента, при котором f(x) имеет смысл.

Начальная задача при исследовании математических законов состоит в нахождении области определения. Следует верно определять этот термин. В противном случае все дальнейшие расчеты будут бесполезны. Ведь объем значений формируется на основе элементов первого множества.

Область определения функции находится в прямой зависимости от ограничений. Ограничения обусловливаются невозможностью выполнения некоторых операций. Также существуют границы применения числовых значений.

При отсутствии ограничений область определения представляет собой все числовое пространство. Знак бесконечности имеет символ горизонтальной восьмерки. Все множество чисел записывается так: (-∞; ∞).

В определенных случаях массив данных состоит из нескольких подмножеств. Рамки числовых промежутков или пробелов зависят от вида закона изменения параметров.

imageУкажем список факторов, которые влияют на ограничения:

  • обратная пропорциональность;
  • арифметический корень;
  • возведение в степень;
  • логарифмическая зависимость;
  • тригонометрические формы.

Если таких элементов несколько, то поиск ограничений разбивают для каждого из них. Наибольшую проблему представляет выявление критических точек и промежутков. Решением задачи станет объединение всех числовых подмножеств.

Множество и подмножество чисел

image

О множествах.

Область определения выражают как D(f), а знак объединения представлен символом ∪. Все числовые промежутки заключают в скобки. Если граница участка не входит во множество, то ставят полукруглую скобку. В ином случае, когда число включается в подмножество, используют скобки квадратной формы.

Обратная пропорциональность выражена формулой у=к/х. График функции представляет собой кривую линию, состоящую из двух веток. Ее принято называть гиперболой.

Так как функция выражена дробью, нахождение области определения сводится к анализу знаменателя. Общеизвестно, что в математике деление на нуль запрещено. Решение задачи сводится к уравниванию знаменателя к нулю и нахождению корней.

imageПриведем пример:

Задается: у=1/(х+4). Найти область определения.

Решение:

Ответ: областью определения функции являются все действительные числа, кроме -4.

Значение числа под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. В этом случае определения функции с корнем сводится к решению неравенства. Подкоренное выражение должно быть больше нуля.

Область определения корня связана с четностью показателя корня. Если показатель делится на 2, то выражение имеет смысл только при его положительном значении. Нечетное число показателя указывает на допустимость любого значения подкоренного выражения: как положительного, так и отрицательного.

Неравенство решают так же, как уравнение. Существует только одно различие. После перемножения обеих частей неравенства на отрицательное число следует поменять знак на противоположный.

Если квадратный корень находится в знаменателе, то следует наложить дополнительное условие. Значение числа не должно равняться нулю. Неравенство переходит в разряд строгих неравенств.

Логарифмические и тригонометрические функции

image

Пример.

Логарифмическая форма имеет смысл при положительных числах. Таким образом, область определения логарифмической функции аналогична функции квадратного корня, за исключением нуля.

Рассмотрим пример логарифмической зависимости: y=lоg(2x-6). Найти область определения.

Решение:

  • 2x-6>0
  • 2x>6
  • х>6/2

Ответ: (3; +∞).

Областью определения y=sin x и y=cos x является множество всех действительных чисел. Для тангенса и котангенса существуют ограничения. Они связаны с делением на косинус либо синус угла.

Тангенс угла определяют отношением синуса к косинусу. Укажем величины углов, при которых значение тангенса не существует. Функция у=tg x имеет смысл при всех значениях аргумента, кроме x=π/2+πn, n∈Z.

Областью определения функции y=ctg x является все множество действительных чисел, исключая x=πn, n∈Z. При равенстве аргумента числу π или кратному π синус угла равен нулю. В этих точках (асимптотах) котангенс не может существовать.

Первые задания на выявление области определения начинаются на уроках в 7 классе. При первом ознакомлении с этим разделом алгебры ученик должен четко усвоить тему.

Следует учесть, что данный термин будет сопровождать школьника, а затем и студента на протяжении всего периода обучения.

Поделитесь с друзьями: Добавьте эту статью в избранное, чтобы не потерять!RSS или E-mail: —>

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий