Формула площади и радиуса: свойства треугольника, вписанного в окружность

Эта статья содержит материал из статьи Треугольник русской Википедии.

Шаблон:Многоугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическаяфигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными. Важным частным случаем неевклидовых треугольников являются сферические треугольники.

Элементы треугольника

Файл:Triangle.png
Стандартные обозначения

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

  • сторона ;
  • сторона ;
  • сторона .

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

  • ;
  • ;
  • .

Треугольник имеет следующие углы:

  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне .

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

  • Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине. Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Свойства

  • Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180°.
  • Для внешнего угла треугольника справедлива Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

Признаки равенства треугольников

Файл:Признак 1 равенства треугольников.png
Равенство по двум сторонам и углу между ними
Файл:Признак 2 равенства треугольников.png
Равенство по стороне и двум прилежащим углам
Файл:Признак 3 равенства треугольников.png
Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Остроугольный треугольникОстроугольный Тупоугольный треугольникТупоугольный Прямоугольный треугольникПрямоугольный
Разносторонний треугольникРазносторонний Равнобедренный треугольникРавнобедренный Равносторонний треугольникРавносторонний

По величине углов

Файл:Triangle sommeangles.svg
сумма углов треугольника равна 180°.

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
  • Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
  • Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

  • Разносторонним (неравносторонним) называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
  • Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностейсовпадают.

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

  • Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником.
  • Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
  • Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
  • Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
  • Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой.
  • Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
  • Серединные перпендикуляры (медиатриссы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
  • В равнобедренном треугольникемедиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
  • * Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутреннимимедианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Литература

  • Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
  • Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
  • Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
  • А. Г. Мякишев Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.

Шаблон:Многоугольники

  1. Ефремов Д.Новая геометрия треугольника. — Одесса: 1902. — С. 130. — 334 с.
  2. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  3. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  4. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  5. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  6. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  7. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  8. 8,08,1Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  9. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  10. Шаблон:Книга:Акопян-Заславский
  11. В. В. Прасолов Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. ISBN 5-900916-49-9
  12. Прасолов В. В.Задачи по планиметрии. — Шаблон:М: МЦНМО, 2004.

imageВ статье описываются геометрические фигуры: определение, основные свойства и формулы.

Плоские геометрические фигуры:

  • Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)
  • Квадрат
  • Прямоугольник
  • Параллелограмм
  • Ромб
  • Трапеция
  • Треугольник
  • Окружность

Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.

Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.

Четырёхугольник

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Основные свойства:

  • Сумма углов четырёхугольника равна 360°
  • Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
  • Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.
  • Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон.

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Квадрат

Квадрат —  правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторонаПлощадь: S=a2или S=d2Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=aРадиус описанной окружности: R=d или R=aРадиус вписанной окружности: r=a/2

imageгде a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.

Свойства:

  • Все стороны равны, все углы равны и составляют 90°;
  • Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;
  • У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей;

Прямоугольник

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые.

Основные формулы:

Периметр: P=(a+Площадь по сторонам: Площадь по диагонали и углу между ними: Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a2+b2)/2 (теорема Пифагора)Радиус описанной окружности: R= √(a2+b2)/2 (теорема Пифагора)

где a, b — длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадьγ *Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a2+b2) – корень квадратный из (a2+b2).

Свойства:

  • Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Определения:

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением: (d1)2+(d2)2=(a2+b2)*2Периметр: P=(a+b)*2Площадь по стороне и высоте:  = a*hS (Площадь) по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sinαS (Площадь) по двум диагоналям и углу между ними:  S=(d1*d2)/2*sin γ

где a, b — длины сторон, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь, h-высота, проведенная к противоположной сторонеα — угол между сторонами параллелограмма,γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).

Свойства:

  • У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
  • Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
  • Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников)
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4*Площадь по стороне и высоте: S=a*hПлощадь по диагоналям: = (d1*d2)/2Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или  r =(d1*d2)/4Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*Площадь по стороне и углу: S = a2 · sin α

где a — длина стороны, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь, h -высота, проведенная к противоположной сторонеα — угол между сторонами ромба

Свойства:

  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
  • В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности: r=h/2 или r = d1*d2/4a.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Определения:

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
  • Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.  
  • Средняя линия (первая средняя линия) трапеции — отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции.Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
  • Средняя линия (вторая средняя линия) — отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей.
  • Равнобокая трапеция – трапеция,у которой боковые стороны равны (c=d). У равнобокой трапеции:диагонали равны, углы при основании равны, сумма противолежащих углов равна 180°.Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c+dПлощадь определить: S=h*(a+Стороны и диагональ равнобокой трапеции: Радиус вписанной окружности: r = h/2

где a,b — основания, c,d — боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая), d1, d2 –диагонали,P-периметр, S-площадь, h -высота, проведенная к противоположной стороне

Свойства:

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Определения:

  • Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
  • Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны
  • Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  • Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне
  • Равные треугольники – треугольники, у которых соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны
  • Равнобедренный треугольник— треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
  • Равносторонний или правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
  • Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2Площадь: по сторонам и углу между ними:  S=(a*b)/2* sin γ                        по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4                        по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*Стороны прямоугольного треугольника: c2=a2+b2 (Теорема Пифагора)

где a,b, c — стороны (a,b –катеты , с – гипотенуза в случае прямоугольного треугольника)d1, d2 –диагонали, h -высота, проведенная к противоположной стороне, P-периметр, S-площадь, γ  — угол между сторонами a и br — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности

Свойства:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
  • Сумма углов треугольника равна 180°:
  • Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: |a-b|
  • Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников
  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник
  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой и высотой.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2=a2+b2 (Теорема Пифагора).В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Окружность

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Определения:

  • Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой.
  • Хорда — отрезок, который соединяет какие-либо две точки окружности (AB).
  • Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности(d).  Диаметр – наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует. 
  • Касательная — прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (E)
  • Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Основные формулы:

Длина окружности: L = 2πRПлощадь круга: S = π*r2 или S = π*d2/4

где π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная, где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.

Материал из Циклопедии Перейти к: навигация, поиск Математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Планиметрия. Треугольники и их свойства // Timetostudy Сourses [39:59]

Треугольник в евклидовой геометрии — (плоская) геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, которые их соединяют. Треугольник с вершинами A, B, и C обозначается ABC. Треугольник является многоугольником и 2-симплексом. В евклидовой геометрии треугольник однозначно задает плоскость. Все треугольники двумерные.

Основные сведения о треугольниках были приведены Евклидом в его труде «Начала», написанном около 300 г. до н. э.

[править]Типы треугольников

Треугольники можно классифицировать в зависимости от относительной длины его сторон:

  • В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Все углы равностороннего треугольника также одинаковы и равны 60°. Равносторонний треугольник еще называют правильным.
  • В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, третья сторона при этом называется основой треугольника. Равнобедренный треугольник имеет два одинаковых угла, которые находятся при его основе.
  • Разносторонний треугольник имеет стороны разной длины. Внутренние углы разностороннего треугольника разные.
  • Равносторонний

  • Равнобедренный

  • Разносторонний

Также треугольники можно классифицировать в соответствии с их внутренними углами:

  • Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол равный 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенуза. Другие две стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
  • Тупоугольный треугольник имеет один внутренний угол больше 90°.
  • В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°. Равносторонний треугольник является остроугольным, но не все остроугольные треугольники равносторонние.
  • Прямоугольный

  • Тупоугольный

  • Остроугольный

  • Треугольник Рёло — это выпуклый криволинейный треугольник, получаемый при пересечении трёх окружностей одного радиуса с центрами в вершинах правильного треугольника со стороной равной радиусу.
  • Треугольник Рёло

[править]Точки и линии, связанные с треугольником

Есть сотни различных построений для определения особых точек внутри треугольника, которые удовлетворяют некоторым уникальным условиям. Часто необходимо построить три прямые, связанные аналогично с тремя сторонами (вершинами, углами) треугольника и тогда убедиться, что они пересекаются в одной точке. Важным инструментом для проверки этого является теорема Чевы, которая дает критерии для определения конкурентности прямых. Подобно этому, линии, связанные с треугольником часто строятся после проверки, три аналогичным образом полученные точки является коллинеарными — теорема Менелая дает для этого случая общий критерий. В этом разделе приведены только такие построения, которые наиболее часто встречаются.

Центр описанной окружности.

Срединный перпендикуляр треугольника — это перпендикуляр, который проходит посередине стороны треугольника. Три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Диаметр описанной окружности можно определить из теоремы синусов.

Исходя из теоремы Фалеса, можно утверждать, что если центр описанной окружности расположен на одной из сторон треугольника, тогда противоположный угол прямой. Более того, если центр описанной окружности находится внутри треугольника, то треугольник остроугольный, а если наружу, то треугольник тупоугольный.

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.

Высота треугольника — прямая, проведенная из вершины и перпендикулярная к противоположной стороне или к продолжению противоположной стороны. Эта сторона называется основанием треугольника. Точка пересечения стороны и перпендикуляра называется основой перпендикуляра. Длина высоты — это расстояние от вершины к основанию треугольника. Три высоты пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Ортоцентр лежит внутри треугольника (и соответственно все основания перпендикуляров лежат в треугольнике) тогда и только тогда, когда треугольник не тупоугольный.

На пересечении двух биссектрис треугольника находится центр вписанной окружности.

Биссектриса треугольника — это прямая, проведенная через вершину, которая делит соответствующий угол на две равные части. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, инцентре, центре вписанной в треугольник окружности. Вписанная окружность — это круг, который лежит внутри треугольника и примыкает к трем его сторонам. Кроме того, есть еще три важных круга, внешние вписанные; они лежат за пределами треугольника и соприкасаются с одной его стороной, а также к продолжению других двух. Центры внутреннего и внешних вписанных кругов образуют ортоцентрическую систему.

Барицентр — центр масс треугольника.

Медиана треугольника — это прямая, проведенная через вершину и середину противоположной стороны и делящая треугольник на две одинаковых площади. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. Эта точка также центр масс треугольника: если бы треугольник был сделан из дерева, то можно было бы держать равновесие держась за центроид. Центроид делит каждую медиану в соотношении 2:1, например расстояние между вершиной и центроидом вдвое больше, чем между центроидом и противоположной стороной.

Окружность девяти точек.

Средние точки трех сторон и основы трех высот лежат на одном круге, который называется кругом девяти точек треугольника. Остальные три точки, из-за которых круг получил свое название, это середины той части высоты, лежащей между ортоцентром и вершиной. Радиус окружности девяти точек равен половине описанной окружности. Она соприкасается со вписанной окружностью (в точке Фейербаха) и с тремя внешними вписанными кругами.

[править]Основные факты

Вершины треугольника обычно обозначают большими латинскими буквами A, B, C, углы при соответствующих вершинах греческими буквами α, β, γ, а длины противоположных сторон — маленькими латинскими буквами a, b, c.

Сумма внутренних углов треугольника — 180 градусов. Внешний угол треугольника (угол смежный к внутреннему углу) всегда равен сумме двух других внутренних углов треугольника. Как и у всех выпуклых многогранниках сумма внешних углов треугольника 360 градусов.

[math]alpha+ beta+ gamma = 180^circ[/math]

Сумма длин двух любых сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это неравенство треугольника или аксиома треугольника (в частном случае равенства два угла уменьшаются до нуля и треугольник вырождается в отрезок).

[править]Вычисление площади треугольника

Навигация по странице:Треугольник — определениеТипы треугольниковВершины углы и стороны треугольника   Свойства углов и сторон треугольника      Теорема синусов      Теорема косинусовМедианы треугольникаБиссектрисы треугольникаВысоты треугольникаВписанная окружностьОписанная окружностьСвязь между вписанной и описанной окружностямиСредняя линия треугольникаПериметр треугольникаПлощадь треугольникаРавенство треугольниковПодобие треугольниковОпределение.Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

  1. imageОстроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
  2. imageТупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
  3. imageПрямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

  1. imageРазносторонний треугольник — все три стороны не равны.
  2. imageРавнобедренный треугольник — две стороны равны.
  3. imageРавносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > cb + c > ac + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 =   =   = 2R
sin α sin β sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2

b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2

c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2

Медианы треугольника

imageОпределение.Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    AOOD = BOOE = COOF = 21

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    S∆ABD = S∆ACD

    S∆BEA = S∆BEC

    S∆CBF = S∆CAF

  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 12√2b2+2c2a2

mb = 12√2a2+2c2b2

mc = 12√2a2+2b2c2

Биссектрисы треугольника

Определение.Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.
  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    AEAB = ECBC

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Угол между lc и lc' = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√bcp(pa)b + c

lb = 2√acp(pb)a + c

lc = 2√abp(pc)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2bc cosα2b + c

lb = 2ac cosβ2a + c

lc = 2ab cosγ2a + b

Высоты треугольника

Определение.Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный. ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab) 1ha + 1hb + 1hc = 1r

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha = 2Sa

hb = 2Sb

hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R

Окружность вписанная в треугольник

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

r = Sp

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + bc)(b + ca)(c + ab)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

1r = 1ha + 1hb + 1hc

Окружность описанная вокруг треугольника

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Свойства углов Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:

R = abc4S

Радиус описанной окружности через площадь и три угла:

R = S2 sin αsin βsin γ

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

d2 = R2 — 2Rr

rR = 4 sinα2sinβ2sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 1 2Rr = abca + b + c

Средняя линия треугольника

Определение.Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии 2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S∆MBN = 14 S∆ABC

S∆MAK = 14 S∆ABC

S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольникаABC равен сумме длин его сторон

P = a + b + c

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высотеПлощадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты S = 12a · ha S = 12b · hb S = 12c · hc
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    Формула Герона

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c) где p = a + b + c2 — полупериметр треугльника.

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между нимиПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. S = 12a · b · sin γ S = 12b · c · sin α S = 12a · c · sin β
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
    S =  a · b · с
    4R
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружностиПлощадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
    S = p · r

Равенство треугольников

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны. Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение.Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2

Формулы по геометрииТреугольник. Формулы и свойства треугольникаКвадрат. Формулы и свойства квадратаПрямоугольник. Формулы и свойства прямоугольникаПараллелограмм. Формулы и свойства параллелограммаРомб. Формулы и свойства ромбаТрапеция. Формулы и свойства трапеции- Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции- Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапецииПравильный многоугольник. Формулы и свойства правильного многоугольникаОкружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойстваЭллипс. Формулы и свойства эллипсаКуб. Формулы и свойства кубаПризма. Формулы и свойства призмыПирамида. Формулы и свойства пирамидыСфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойстваЦилиндр. Формулы и свойстваКонус. Формулы и свойстваФормулы площади геометрических фигурФормулы периметра геометрических фигурФормулы объема геометрических фигурФормулы площади поверхности геометрических фигурВсе таблицы и формулы

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий