Дифференциалы — что это? Отвечаем на вопрос. Как найти дифференциал функции?

Содержание

Тест: 3 вопроса 1. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то Их производные равны Их производные различаются на разность постоянных слагаемых Вопрос о различии их производных установить не удаётся Следует применять правило дифференцирования сложной функции 2. Каков физический смысл производной? Объем цилиндра Скорость тела по времени Ускорение тела по времени 3. Дифференциал с механической точки зрения – это бесконечно малое расстояние, пройденное телом за бесконечно _____ время так, если бы все это время тело двигалось с постоянной скоростью. большое увеличивающееся малое

Рассмотрим механический смысл дифференциала функции. И для начала напомним, что дифференциалом функции y=f(x)y=f(x)y=f(x) в точке xxx называется величина:

dy=f′(x)dx,dy=f'(x)dx,dy=f(x)dx,

где f′(x)f'(x)f(x) — производная функции f(x)f(x)f(x) в точке xxx.

Мы не пишем точку xx_0x, потому что эта формула справедлива для любой точки xxx из области определения функции f(x)f(x)f(x). Видно, что дифференциал функции dydydy тоже будет функцией точки. Для того чтобы выяснить, в чем состоит механический смысл дифференциала, нам придется вспомнить физический (или механический) смысл самой производной.

Итак, рассмотрим материальную точку, движущуюся в пространстве. Пусть для простоты она движется по прямой, скажем, вдоль оси xxx. Пусть в момент времени t=t=0t= наше тело (материальная точка) находилось в точке x=x=0x=. Пусть теперь тело движется с какой-то скоростью, не обязательно постоянной. Это значит, что существует какая-то функция координаты xxx от времени ttt. В общем виде ее можно записать как:

x=x(t)x=x(t)x=x(t)

Эту функцию называют законом движения тела вдоль оси xxx. Как найти скорость тела в момент времени ttt? В статье Физический смысл производной мы выяснили, что скорость тела vvv равна производной от положения тела (его координаты) по времени. Стало быть:

v=dx(t)dtv=frac{dx(t)}{dt}v=dtdx(t)

Эта формула говорит, что за малое время dtdtdt тело проходит расстояние dxdxdx. И скорость – это просто их отношение. Но dxdxdx это же дифференциал функции x=x(t)x=x(t)x=x(t). Значит, какой тогда получается физический (механический) смысл дифференциала?

dxdxdx – это перемещение тела за время dtdtdt, если тело на протяжении этого отрезка времени (dtdtdt) двигалось со скоростью vvv. Мы уже сказали, что скорость тела может изменяться, то есть vvv – это функция ttt : v=v(t)v=v(t)v=v(t). Давайте запишем нашу формулу для дифференциала функции с указанием ее аргумента:

dx(t)=v(t)dtdx(t)=v(t)dtdx(t)=v(t)dt

Итак, мы выбираем себе некоторый (любой) момент времени ttt, потом «отсчитываем» от него маленький отрезок ΔtDelta tΔt и наблюдаем, какое расстояние прошло тело за это время. Для этого нам нужно знать скорость, с которой тело двигалось в этот промежуток времени. Но скорость постоянно меняется. Поэтому мы берем все меньше и меньше промежуток времени ΔtDelta tΔt, пока скорость «почти» не будет меняться. Это позволит нам считать, что скорость на промежутке ΔtDelta tΔt будет «почти» постоянной. В этом случае мы сможем вычислить расстояние, пройденное телом за это время, по привычной формуле: Δx=vΔtDelta x=vDelta tΔx=vΔt. Эта формула будет тем «точнее», чем меньше будет ΔtDelta tΔt. В пределе, когда Δt→Delta trightarrow 0Δt, мы получим:

dx=vdtdx=vdtdx=vdt

То есть формулу для дифференциала.

Итак, мы с разных сторон подошли к вопросу о механическом смысле дифференциала функции.

Дифференциал с механической точки зрения – это бесконечно малое расстояние, пройденное телом за бесконечно малое время так, если бы все это время тело двигалось с постоянной скоростью.

Нужно сказать, что хотя это и механический смысл дифференциала, но в физике дифференциал имеет разный смысл в зависимости от того, с какими зависимостями (функциями) мы имеем дело.

Дифференциал скорости

dv=adtdv=adtdv=adt

aaa – ускорение тела.

Дифференциал механической работы

dA=FdrdA={F}d{r}dA=Fdr

F{F}F – сила, действующая на частицу,dr{dr}dr – элементарное перемещение.

Дифференциал массы тела

dm=ρdVdm=rho dVdm=ρdV

ρrhoρ – плотность вещества,dVdVdV – дифференциал объема, занимаемого телом.

Закон радиоактивного распада вещества

И напоследок закон радиоактивного распада вещества за малое время dtdtdt в дифференциальной форме:

dN=−λNdtdN=-lambda NdtdN=λNdt

NNN – количество радиоактивного вещества в момент времени ttt,λlambdaλ – постоянная распада.

Наряду с производнымифункций ихдифференциалы – это одни из базовых понятий дифференциального исчисления, основного раздела математического анализа. Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.image

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.image

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы — это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y'(x) Δх + αΔх, где α Δх – остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы – это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 — Δу/Δх→ y'(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y'(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y'(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y1, а затем y = y2, то разность y2 ─ y1 называется приращением величины y. Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y2 ─ y1.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) – расстояние прямолинейно движущейся материальной точки от начального положения (t – время пребывания в пути). Приращение Δs – это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f’ (t) Δt – это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f'(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM’ (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM’. Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f ‘(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM’дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM’ уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f ‘(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM’и QN эквивалентны; иными словами NM’ уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM’. Это видно на рисунке (с приближением M’к М отрезок NM’составляет все меньший процент отрезка QM’).

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f ‘(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение — dy = f ‘(x)Δх, или же df (x) = f ‘(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f ‘(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f ‘(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f ‘(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f ‘(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x2 = t4.

Далее следует (t +Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2. Отсюда Δх = 2tΔt + Δt2. Значит: 2xΔх = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x2 = t4. Он оказывается равен dy=4t3Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f ‘(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f ‘(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x2, то Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔх + Δх2, а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх2→0, при х=0 величины Δу = Δх2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х2, так что dV = 3x2Δх = 3∙102∙0/01 = 3 (см3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см3. Полное вычисление дало бы ΔV =10,013 ─ 103 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см3.

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x3, не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = ( Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δх + (3xΔх2 + Δх3).

Здесь коэффициент A= 3x2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх2 + Δх3при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x2Δх есть дифференциал y = x3:

dy=3x2Δх=3x2dx или же d(x3) = 3x2dx.

При этом d(x3) / dx =3x2.

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х2. Поэтому dy = ─ Δх/х2.

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f ‘(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f ‘(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f ‘(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f ‘(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

Измерительные инструменты в принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной абсолютной погрешностью, или, короче, предельной погрешностью – положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной относительной погрешностью называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f ‘(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

Дифференциал (на английском differential) — это механизм в системе привода автомобиля, который отвечает за вращение колес одной оси с разными скоростями, что необходимо при прохождении поворотов.

фотогалерея:

Зачем нужен дифференциал

Дифференциал в автомобиле применяется в трех случаях.

Благодаря своей конструкции, он передает крутящий момент двигателя так, что колеса могут крутиться с разной скоростью. Это нужно при входе автомобиля в поворот, ведь “внешнее” колесо движется по более широкой траектории чем “внутреннее”, а соответственно колеса будут двигаться с разной скоростью. Если бы не было такого механизма, то внутреннее колесо буксовало бы.

Вторая функция дифференциала — передача крутящего момента на полуоси под углом 90 градусов. Это необходимо, когда мотор установлен не на одной стороне с ведущей осью (например, мотор спереди, а привод задний).

Третья функция дифференциала — это распределение крутящего момента и работа в системах полного привода и антипробуксовочной системы Traction control system (TCS).

Где находится дифференциал

Дифференциалы находятся под днищем автомобиля, а само расположение отличается в зависимости от конструкции машины.

  • Если машина имеет задний привод, то дифференциал стоит в картере заднего моста.
  • Если автомобиль переднеприводный, то дифференциал стоит в картере коробки передач.
  • В полноприводной машине, дифференциал стоит в картере обоих мостов и в раздаточной коробке.

Конструкция

Конструкционно это отдельная деталь с несколькими шестернями, корпус которой интегрируется в мост.

Устройство дифференциала: 1 — шестерни полуосей; 2 — ведомая шестерня главной передачи; 3 — ведущая шестерня главной передачи; 4 — сателлиты; 5 — корпус.

Как работает дифференциал

Внутри корпуса дифференциала используется принцип планетарной передачи. На корпусе (чашке) дифференциала неподвижно закреплена ведомая шестерня, которая получает крутящий момент от шестерни главной передачи. Внутри корпуса есть оси, на которых установлены шестерни-сателлиты. Они и передают мощность на шестерни полуосей колес.

При прямолинейном движении шестерни-сателлиты не вращаются и передают крутящий момент в равной мере на обе полуоси. Но в повороте, когда внутреннее колесо встречает большее сопротивление и замедляется, его полуось тоже начинает вращаться медленнее. В таком случае сателлиты начинают вращаться и крутящий момент перераспределяется пропорционально на вторую полуось, которая начинает двигаться быстрее. Таким образом колеса вращаются с разной скоростью.

Еще один режим работы дифференциала — пробуксовка одного из колес (например, при движении по обледенелой поверхности). Принцип работы дифференциала такой, что он будет отправлять весь крутящий момент на то колесо, которое вращается легче. Возникает парадоксальная ситуация — вся мощность отправляется на колесо, которое пробуксовывает, а второе колесо почти не вращается. Чтобы выйти из ситуации нужна блокировка дифференциала. Инженеры придумали несколько вариантов как это можно сделать, поэтому появились различные виды дифференциалов.

Виды дифференциалов

Дифференциалы отличают по месту установки, виду зубчатой передачи и по принципу блокировки.

По месту установки

По расположению их делят на межколесные и межосевые. Межколесные устанавливаются в картере моста автомобиля и перераспределяют крутящий момент между полуосями колес. Межосевые устанавливаются в раздаточной коробке и перераспределяют крутящий момент между осями полноприводного автомобиля.

По виду зубчатой передачи

По типу конструкции и виду зубчатой передачи отличают конические, цилиндрические и червячные дифференциалы. Конические более распространены как межколесные дифференциалы, цилиндрические — как межосевые, а червячные более универсальные и используются во всех конструкциях.

По принципу блокировки

Дифференциалы могут блокироваться принудительно или автоматически. С полной принудительной блокировкой используются на внедорожниках и блокируются по команде водителя причем только во время полной остановки автомобиля. Блокирование происходит с помощью кулачковой муфты, которая может иметь разные типы привода (механический, электронный, гидравлический, пневматический).

Это помогает преодолеть особенно сложные участки покрытия. Но при выезде на покрытие с нормальным сцепление такую блокировку нужно отключать, иначе можно вывести из строя систему привода!

Дифференциалы с автоматической блокировкой называют еще самоблокирующимися и они могут иметь 4 вида конструкции.

Дисковый самоблокирующийся дифференциал

К обычной конструкции дифференциала добавлены пакеты фрикционных дисков. Одни закреплены на корпусе дифференциала, другие — на полуоси. Когда одна из полуосей начинает вращаться быстрее, это вращение замедляется силой трения между пакетами дисков. Прижимная сила фрикционов может быть как постоянной, так и регулируемой.

Такой тип дифференциалов блокируется благодаря свойству червячных передач заклинивать при достижении сильной разницы крутящих моментов. При этом блокировка всегда будет частичной. За такими дифференциалами закрепились названия компаний, которые их создали и выпускают — Torsen (сокращенно от Torque sensitive — чувствительные к крутящему моменту) и Quaife. Плюсы этой конструкции — в простоте и отсутствии электроники. Минусы — в дороговизне, сложности ремонта и обслуживании.

Электронно блокирующийся дифференциал

Электронная блокировка дифференциала применяется в антипробуксовочных система TCS (Traction Control System). В таком случае колесо, которое слишком быстро вращается, просто замедляется с помощью деталей тормозной системы. В результате часть крутящего момента перераспределяется на колесо с лучшим сцеплением.

Вискомуфта или вязкостная муфта

Такой дифференциал использует свойства жидкости. В конструкции используются дополнительные перфорированные диски, закрепленные на дифференциале и полуосях, но находящиеся в герметичном корпусе с силиконовой жидкостью. Когда полуось начинает вращаться с отличной скоростью, ее диски начинают перемешивать силиконовую жидкость и она становится гуще, блокируя дифференциал. Сейчас такие варианты используются редко, потому что они слишком большие, перегреваются и реагируют с опозданием.

Неисправности дифференциала

Износ внутренних компонентов дифференциала

Проблема в дифференциале может быть только одна — износ металлических компонентов конструкции. В целом ломаться там нечему — это одна из самых надежных конструкций в автомобиле и при должном обслуживании он может отслужить без проблем всю жизнь автомобиля. Все неисправности дифференциала могут возникать только при ненадлежащем обслуживании и эксплуатации автомобиля.

Причины проблем с дифференциалом

  • Недостаточное количество смазки внутри узла из-за течей масла через некачественные или изношенные сальники и прокладки.
  • Масло внутри дифференциала давно не менялось и не выполняет качественно задачу смазывания трущихся деталей.
  • Естественный износ со временем при очень больших пробегах.
  • Работа в очень тяжелых условиях, при постоянном использовании дифференциала, что приводит к его перегреву.

Признаки проблем с дифференциалом

О том, что в дифференциале что-то не так говорят следующие факторы:

  • наличие подтеков смазывающих материалов;
  • сильный шум со стороны дифференциала;
  • стуки и удары в дифференциале во время движения автомобиля.

Четвертый, последний признак — результат игнорирования первых трех. Сначала в дифференциале начинает подтекать масло, потом начинает что-то шуметь и стучать и если не обращать на это внимание, мост может заклинить.

Проверка дифференциала

Есть один метод проверки дифференциала, который поможет определить действительно ли проблема в нем, если у вас есть сомнения. Для этого понадобится помощник и возможность вывесить ось автомобиля, чтобы свободно крутить колеса. При нейтральном положении выбора передач начинайте крутить колесо в одну сторону и попросите помощника держать свое колесо на месте или крутить его в другую сторону от вашего. Если это происходит без шумов и стуков — значит проблема не в дифференциале.

Обслуживание дифференциала

В дифференциале все процедуры обслуживания заключаются лишь в замене трансмиссионного масла внутри узла. Регламент замены зависит исключительно от используемого в вашем автомобиле механизма дифференциала и типа смазочной жидкости. Периодичность замены масла в дифференциале указан в руководстве по эксплуатации автомобиля. Среднее значение — около 50 000 километров, но у некоторых автомобилей это нужно делать существенно чаще.

Подбор и покупка дифференциала

Купить дифференциал можно как целый в сборе, так и отдельные его компоненты. При мелких повреждениях деталей дифференциала проблему можно исправить обработкой наждачной бумагой, но при сильном износе или повреждениях — детали подлежат замене.

Стоимость серьезно отличается в зависимости от машины. Дифференциалы на ВАЗ в сборе стоят в среднем от 4000 рублей. Замена дифференциалов на неродные для тюнинга автомобиля или улучшения его внедорожных свойств может обойтись вам от $1000 и больше.

Связанные термины функции называется произведение производной этой функции на приращение независимого переменного, т.е

.

Поскольку дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением ( ), то

.

Таким образом, для того чтобы найти дифференциал функции, необходимо умножить производную этой функции на дифференциал ее независимой переменной.

Основные правила нахождения дифференциалов.

1) Дифференциал суммы (разности) двух дифференцируемых функций равен сумме (разности) дифференциалов этих функций:

.

2) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений дифференциала первого сомножителя на второй и дифференциала второго сомножителя на первый:

.

3) Дифференциал частного двух дифференцируемых функций может быть найден по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

.

Пример 9.1. Найти дифференциал функции

а) по определению;

б) используя правила нахождения дифференциала.

Решение:

а)Находим производную от заданной функции:

.

Тогда по определению дифференциала: .

б) Находим непосредственно дифференциал, используя правила нахождения дифференциалов (1 и 4):

.

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.Алгоритм решения дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.Теорема Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.Алгоритм Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).Примеры решения дифференциальных уравненийПример 1 ЗаданиеРешить дифференциальное уравнение xy’=y.РешениеВ первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь  переписываем дифференциальное уравнение, получаем Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей  по правилу пропорции получаем Далее интегрируем полученное уравнение: В данном случае интегралы берём из таблицы: После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.То есть, – это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=ConstОтветy=Cx, где С=Const.Пример 2 ЗаданиеНайти частное решение дифференциального уравнения .РешениеДействуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение: Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию: Если  – это константа, то 0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» /> – тоже некоторая константа, заменим её буквой С: – убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.Получаем общее решение: где С=const.Ответ где С=const.Пример 3 Задание Решить дифференциальное уравнение РешениеВ первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде: Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть: После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше. Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала: В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.Далее упрощаем общий интеграл: Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C: Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.ОтветОбщий интеграл: где С=const.Пример 4 ЗаданиеНайти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.РешениеПервый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение: Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные. Получаем общее решение: где С=constДалее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух: Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.ОтветЧастное решение: .Пример 5 ЗаданиеРешить дифференциальное уравнение .РешениеПри внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем: В данном случае константу C считается  не обязательным определять под логарифм.ОтветОбщий интеграл: Пример 6 ЗаданиеНайти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.РешениеКак и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные: Интегрируем: Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них: Используя можно выразить функцию в явном виде.Общее решение: где С=const.Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.ОтветЧастное решение: ПроверкаНеобходимо проверить, выполняется ли начальное условие: Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Для этого находим производную: Подставим полученное частное решение и найденную производную  в исходное уравнение 0=0Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.Пример 7 ЗаданиеНайти общий интеграл уравнения РешениеДанное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: ОтветОбщий интеграл: Пример 8 ЗаданиеНайти частное решение ДУ. РешениеДанное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные: Интегрируем: Общий интеграл: Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию Подставляем в общее решение ОтветЧастный интеграл: Пример 9 ЗаданиеРешить дифференциальное уравнение РешениеДанное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Левую часть интегрируем по частям: В интеграле правой части проведем замену: Таким образом: (здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов) Обратная замена: ОтветОбщий интеграл: где С=const.Пример 10 ЗаданиеРешить дифференциальное уравнение РешениеДанное уравнение допускает разделение переменных.Разделяем переменные и интегрируем: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: ОтветОбщее решение: где С=const.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий