Что такое рациональные числа? И вообще как определить. Например число 5 это рациональное число?

Определение системы рациональных чисел

Формирование определения

Рациональные числа мы представляем себе в виде объединения множества целых чисел и множества дробей, то есть отношений целых чисел. Но тут же замечаем, что всякое целое число можно рассматривать как отношение со знаменателем 1. Таким образом, множество рациональных чисел в нашем понимании есть множество всех отношений целых чисел. Рациональные числа можно складывать и перемножать, причем эти операции обладают теми же свойствами, что и для целых чисел, то есть свойствами, характеризующими область целостности. Кроме того, для всякого рационального числа, отличного от нуля, существует обратное рациональное число. Это новое для области целостности свойство превращает ее в поле. Приведем определение этого понятия.

  • 4.1.1. Определение. Система (Р, +, •) называется полем, если выполнены следующие условия:
  • 1. Система (Р, +) коммутативная группа (она называется аддитивной группой поля), то есть

a) сложение + ассоциативно и коммутативно;

b) существует элемент ОеР, называемый нулем, такой, что для любого а&Р имеем а + 0 = а;

c) для всякого элемента аеР существует противоположный элемент -аеР такой, что а + (-а) = 0.

2. Если Р* = Р{0}, то (Я*,-) — коммутативная группа (она называется мультипликативной группой поля), то есть

a) умножение ассоциативно и коммутативно;

b) существует элемент ееР*, называемый единицей, такой, что для любого аеР* имеем а е = а;

c) для всякого аеР* существует обратный элемент а-1 такой, что а-а~=е.

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

Непосредственно из определения вытекает, что в поле нуль не

равен единице. Используя понятие кольца, можно сказать, что поле — это коммутативное кольцо с единицей, не равной нулю, в котором для всякого ненулевого элемента есть обратный.

4.1.2. Определение. Пусть — поле, а>ЬеР иЬфО.

Элемент a b~l называется отношением элементов а и b

а

и записывается в виде —.

b

Дадим определение системы рациональных чисел, отражающее наше представление о ней.

  • 4.1.3. Определение. Системой рациональных чисел называется поле {Q, +, •>, удовлетворяющее следующим условиям:
  • 1) оно содержит кольцо целых чисел (Z, +, •>;
  • 2) всякий элемент из Q представим в виде отношения целых чисел, то есть для любого qeO существуют a,beZ такие, что Ьф О

а

и а.

1 Ь

Всякий элемент из Q называется рациональным числом, а система (2, +, •) называется полем рациональных чисел.

4.1.4. Теорема. Изоморфный образ поля рациональных чисел есть поле рациональных чисел.

Доказательство. Утверждение вытекает из того, что изоморфный образ поля есть поле, а изоморфный образ кольца целых чисел есть кольцо целых чисел. ?

В  Посмотреть оригинал <В Пред </th> В  СОДЕРЖАНИЕ В  ОРИГИНАЛ В  В  СледВ >

  • Рациональные числа

    Выясним, как обстоит дело с делением, иначе говоря, проверим «достаточно» ли натуральных чисел, для того чтобы определить отношения % и —, если а е N, b е N? о а Простые примеры показывают, что это далеко нс так. Па- 15 3 пример, — — 5, а — — ? 3 1Э Приведем простую… (МАТЕМАТИКА)

  • Способ представлении рационального числа десятичной дробью

    Пусть дана положительная правильная дробь —. Рассмотрим в b общем виде деление «уголком» натурального числа а на натуральное число b > а. Поскольку а а состоит в следующем. 1. (Начало алгоритма.) Делимое а увеличиваем в 10 раз и делим на b с остатком. 2. (Шаг… (ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ)

  • Поле рациональных чисел как расширение кольца целых чисел

    Рациональные числа появляются в связи с решением следующей задачи. В кольце целых чисел уравнение ах = Ь не всегда разрешимо. Требуется найти минимальную область целостности, которая содержала бы кольцо целых чисел и в которой было бы разрешимо названное уравнение для любых а Ф 0 и Ь.(ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ)

  • Существование системы рациональных чисел Вводные соображении

    Исходя из существования системы целых чисел, построим систему рациональных чисел и тем самым докажем непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел (относительно теории целых чисел). Уже само определение системы рациональных чисел подсказывает нам мысль «смоделировать» рациональное число… (ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ)

—>

В© Студми. Учебные материалы для студентов (info{aС‚}studme.org) В© 2013 — 2021

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических «умений». Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти «волшебные» свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $mathbb{N}=lbrace 1,2,3,4… rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $mathbb{N}_0$.

В $mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,cin mathbb{N}$:

Поскольку множество $mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $mathbb{N}$ определены отношения «меньше» ($<$) и «меньше либо равно» ($leq$), со следующими свойствами для любых $a,b,cin mathbb{N}$: </p>

Целые числа $mathbb{Z}$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ — известные натуральные числа, а $x$ — неизвестное натуральное число, требует введения новой операции — вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $mathbb{Z}=lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…rbrace$.

Множество $mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(forall a,bin mathbb{Z})(a-bin mathbb{Z})$.

Рациональные числа $mathbb{Q}$

Множество $mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $mathbb{I}$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $xcdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=sqrt{2}$. Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ — известное рациональное число, а $x$ — неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $sqrt{2}$, $sqrt{3}$, $pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $mathbb{Q}subset mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $mathbb{Q}$ и $mathbb{R}$. Предположим, что $S$ — непустое подмножество множества действительных чисел. Элемент $bin mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $forall xin S$ справедливо $xleq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $sup S$. Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Комплексные числа$mathbb{C}$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид $z=a+ib$, где $(a,b)$ — пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $mathbb{R}$ на множество $mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $mathbb{C}$, заданное как $mathbb{C}_0=lbrace (a,0)|ain mathbb{R}rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $mathbb{C}_0=mathbb{R}$, или $Rsubsetmathbb{C}$.

В математике существует много разных чисел. Одни из них называются рациональными.

Рациональное число — это число, представление которого возможно в виде обыкновенной дроби. Например, 3/4 или 5/6. Числитель этой дроби — это целое число, а, в свою очередь, знаменатель — натуральное число. Мы знаем, что натуральное число — это число, которое используют при счете любых предметов. Целые числа — это любые натуральные и противоположные им числа, а также 0.

Также, под множеством рациональных чисел является множество целых чисел. Рациональные числа имеют четыре основных свойства — это сложение, умножение, деление (кроме ноля) и вычитание. Также, они могут быть упорядочены. Для каждого числа из множества рациональных чисел существует обратное и противоположное число.

Область, в которой применены рациональные числа огромная. Такие числа применяют в физике, математике, химии, экономике и т. д. Но самое большое значение эти числа имеют в банковских и финансовых системах.

Рациональное число (лат.Ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробьюmn, числитель mцелое число, а знаменатель nнатуральное число, к примеру 2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

  • Обухова Наталия Семеновна, учитель математики

Разделы:Математика

Класс:8

Цели урока: Создать условия, при которых ученик: расширит представления учащихся о числе, сформирует понятие «рациональное число»;систематизирует знания о числовых множествах;познакомится с историей возникновения числовых множеств; приобретет навыки перевода рациональных чисел вида, а/n, где а — целое число, а n — натуральное в десятичную (конечную или бесконечную) дробь;приобретет навыки перевода бесконечных десятичных периодических дробей в рациональные числа вида а/n, где а — целое число, а n — натуральное;выявит различные способы перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь; приобретет умения работать в парах,разовьет навыки самостоятельной работы, умения анализировать, сравнивать.

В результате ученик:

  • знает, как определить вид числа;
  • умеет представлять десятичную дробь в виде дроби a/n, где а — целое число, а n — натуральное;
  • умеет представлять рациональное число в виде конечной или бесконечной периодической дроби;
  • умеет представлять бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби;
  • умеет правильно пользоваться математической символикой в процессе выполнения заданий.

Оборудование к уроку: проектор, компьютер, тетрадь с печатной основой (приложение1), презентация.Ход урокаI. Мотивационно — ориентировочный этап.

-Проверим домашнее задание (слайд 2),которое поможет нам определить тему урока.

Домашнее задание после предыдущего урока.

Выполните вычисления:

Naturalis: ( 2) Quotient: = ()
Ratio: = () Zahl: (-1)7+(-1)8= (0)

Заполните пропуски в тетради с печатной основой (приложение, слайд 3)

Для счета предметов используются числа, которые называются натуральными. Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква : — первая буква латинского слова

2

: , «естественный», «натуральный». Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается : — первой буквой немецкого слова : — «число». Множество чисел, которые можно представить в виде называется множеством рациональных чисел и обозначается : первой буквой французского слова : («отношение».) Название этого множества происходит также от латинского слова : , что также переводится как «отношение»

-Спрогнозируйте тему урока. (Числовые множества)

— Известны ли вам те числовые множества, о которых идет речь в тексте. (Известны, их мыначали изучать в начальной школе, затем продолжили в 5,6 и 7 классах).

-Приведите примеры натуральных, целых и рациональных чисел.

-Вспомните отношения между множествами, назовите самое большое из них. (Множество рациональных чисел)

Уточним тему урока «Рациональные числа» (слайд 4) и запишем ее в тетрадь.

Спрогнозируйте цель урока: систематизировать знания о рациональных числах.

Краткая информация из истории развития числа сопровождается записями в тетради

:N — множество всех натуральных чисел, » n — натуральное число» ,

Z — множество всех целых чисел , » m — целое число» ,Q — множество всех рациональных чисел, » r — рациональное число». Историческая справка (слайды 5-18).

Натуральные числа возникли в силу необходимости вести счет любых предметов.

Натуральные числа несут ещё другую функцию: характеристику порядка предметов, расположенных в ряд.

О натуральном в смысле естественном ряде чисел говорится во «Введении в арифметику» греческого математика (неопифагорийца) Никомаха из Геразы.

В современном смысле понятие и термин «Натуральное число» встречается у французского философа и математика Ж.Даламбера(1717-1783)

Сумма и произведение натуральных чисел есть число натуральное.

Дроби естественно возникли при решении задач о разделе имущества, измерении земельных участков, исчислении времени.

Сумма, произведение и частное дробных чисел есть число дробное.

Доли или единичные дроби, у которых числитель единица, знаменателем же может быть любое целое число;

Дроби систематические, у которых числителями могут быть любые числа, знаменателями же — только числа некоторого частного вида, например, степени десяти или шестидесяти;

Дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми числами.

Десятичные дроби в XV веке ввел самаркандский ученый ал — Каши. Ничего, не зная об открытии ал — Коши, десятичные дроби открыл второй раз, приблизительно через 150 лет, после него, фламандский ученый математик и инженер Симон Стевин в труде «Децималь» (1585 г).

Понятие отрицательных чисел возникло в практике решения алгебраических уравнений.

Отрицательные числа трактовались так же как долг при финансовых и бартерных расчетах.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487-1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке (1445-1500)- его работа была обнаружена в 1848 году.

Сумма, произведение и разность целых чисел есть число целое.

Отношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел наглядно демонстрирует геометрическая иллюстрация — круги Эйлера.

Леонард Эйлер жил в России в середине XVIII века и внес большой вклад в развитие математики.

Операционно-исполнительский этап.Задание 1. (выполняется самостоятельно с последующей проверкой) (слайд 19 — проверка по щелчку)

Вычислите значения числовых выражений и изобразите их на кругах Эйлера числа а, в, с, d, m , если

авсdm 1 : 5+0,8 =_________________________________ (1)

0,6: 0,2- 22 =________________________________ (-1)

17:3 -5 = __________________________________(1/3)

(-1) 3 +( -1)2 =_______________________________ (0)

13 :2 +0,5 = _________________________________ (7)

Оставшуюся на диаграмме точку обозначьте буквой «к«.

Задание 2 — интерактивный тест(слайд 20 — триггер) устная работа.

Используя диаграмму, определите, какие из высказываний истинные, а какие ложные.

Нам уже известно, что любое рациональное число можно записать в виде отношения , где .

Выполните следующее задание:

Задание3 (работа в парах » сильный — слабый»)

Представьте в виде , где числа:

— 3; 2; 0; ; ; 0,23; -3,14

(; ; ; ; ; )

Вы также умеете записывать рациональные числа в виде десятичных дробей.

Задание 4 — интерактивный тест(слайд 21- триггер) устная работа.

Замените данные рациональные числа десятичными дробями.

= (0,5) = (0,2) =(0,125) = (0,(3))
= (0,25) = (0,4) = (0,375) =(0,6))
=(0,75) = (0,6) =(0,625) =(0,1(6))

Что замечаем? (Получились конечные и бесконечные десятичные дроби. В записи дробной части каждой бесконечной дроби повторяется одна и та же группа цифр).

Как называем мы такие бесконечные десятичные дроби? (Бесконечные десятичные периодические дроби).

Вспомните, как коротко мы записывали такие дроби. (Мы выделяли повторяющуюся группу цифр и записывали ее в круглые скобки).

Как называют повторяющуюся группу цифр? (Периодом).

Итак, различные рациональные числа представили их в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных). Какой можно сделать вывод? (Любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной).

Вспомните, как записываются и читаются бесконечные десятичные дроби, выполнив следующее задание.

Задание 5 (работа в парах) (слайд 22)

Прочитайте дроби.

1) 0,(2) 2) 2,(21) 3) 1,(1) 4) -3,0(3) 5) -0,0(6) 6) 12,45(7)

Иногда периодические дроби разделяют на «чисто периодические», например. 0,(2) и «смешанные периодические»- 12,45(7).

Задание 6. Докажите, что равенства верны:

а) 0,222:= б) 0,8181:= в) 0,4666 :=

Каким способом мы это можем сделать?

Обыкновенную дробь представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби, произведя деление числителя на знаменатель.

Сегодня мы рассмотрим два способа перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь (слайд 23, каждый шаг — по щелчку).

Пусть х = 0,222:.

10 х = 2,222:

10х-х = 2,222:-0,222

9 х = 2

х =

Значит, 0,222:=

Сначала рассмотрим алгоритм перевода чисто периодической дроби.

Нужно умножить х на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Каково это число?

( В периоде одна цифра, значит, надо умножить на 10).

Вычтите из второго уравнение первое и найдите число х.

По этому алгоритму проверьте второе равенство.

(Учащиеся записывают решение в тетради, один ученик выполняет задание у доски с комментариями)

Наводящий вопрос: на какое число нужно умножить бесконечную периодическую дробь, чтобы запятая передвинулась ровно на одну цифру.

В периоде две цифры, значит, надо умножить на 2. х = 0,8181:

100 х = 81,8181:

100хх = 81, 8181:-0,8181:

99 х = 81

х = х = .

Значит, 0,8181:=

Запишем в виде обыкновенной дроби смешанную периодическую дробь 0,4666:

х = 0,4666:

10х = 4,666:

100 х = 46,666:

100х -10 х = 46,666:-4,666..

90 х = 42

х = , значит, 0,4666:=

Мы с вами изучили правило перевода чистой периодической дроби в обыкновенную. Как из смешанной периодической дроби получить чистую периодическую дробь?Умножить на 10 k ,гдек — число цифр до периода. В нашем случае на 10.

Далее ваши действия аналогичны примеру 1.

(Выполняются самостоятельно с последующей проверкой)

Существует еще одно правило перевода чисто периодических и смешанных дробей в обыкновенную дробь. Примем их без доказательства (слайд 25,26, каждый шаг — по щелчку).

Чтобы обратить чисто периодическую десятичную дробь в обыкновенную, нужно в числителе обыкновенной дроби поставить число, образованное из цифр, стоящих в периоде, а в знаменатель — написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде

.

Запишем дроби 0,222:и 0,8181: вторым способом

1) 0,222:= 2) 0,8181=

Чтобы обратить смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, нужно в числителе обыкновенной дроби поставить число, равное разности числа, образованного цифрами, стоящими после запятой до начала второго периода, и числа, образованное из цифр, стоящих после запятой до начала первого периода. Полученную разность взять в качестве числителя дроби; а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и со столькими нулями, сколько цифр между запятой и началом периода.

1) 0,4(6) =

Какой способ позволяет быстрее достигнуть результата?

(Второй, но сформулировать правило достаточно сложно).Задание 7 (взаимопроверка в парах) (слайд 27)

Представьте в виде обыкновенной дроби:

1) 1,(72) 2) 2,9(12) 3) 1,12(8)

Как представить данные десятичные дроби в виде обыкновенной дроби?

(Дробь нужно представить в виде суммы целого числа и бесконечной периодической дроби, бесконечную периодическую дробь перевести в обыкновенную дробь по правилу, затем смешанную дробь представить в виде , где.) Рефлексивно-оценочный этап.

Итак, подведем итог нашего урока. Какова цель стояла перед нами в начале урока?

(Систематизировать знания о числовых множествах. Научиться переводить бесконечные периодические десятичные дроби в обыкновенные.)

Достигли ли мы этой цели?

(Цель наша достигнута. Мы знаем, что все числа объединены во множество рациональных чисел. На этом множестве выполняются все известные нам действия, кроме деления на ноль. Мы выделили свойства рациональных чисел: любое число может быть представлено в виде в виде дроби , где или в виде бесконечной периодической дроби. Научились переводить бесконечные периодические дроби в обыкновенные двумя способами, заметили, что второй способ трудно формулировать, но его применение ускорит получение результата).

Домашнее задание: по усмотрению учителя.Графический диктант (проверка — слайд28).

1) 2011

2)

3) любое целое является рациональным.

4)

5)

6) любое целое число является натуральным.

7) любое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

8) сумма, разность, произведение и частное (если делитель не ноль) рациональных чисел есть число рациональное.

9) (- 37,4 — 26,6) : (0,1) — натуральное.

10) Q -обозначение множества рациональных чисел.

Оценка настроения (слайд 29).

27.03.2011

+1-1

Вечер добрый! И вновь меня вогнали в ступор числа, только на этот раз рациональные. Вроде как читала, что это такое, вроде как поняла, но по итогу задание сделала неправильно. Объясните, что такое рациональное число и помогите понять как же их определить из множества других чисел: image

1 ответ +1-1

Доброй ночи! Сейчас помогу Вам разобраться, в этом нет ничего сложного. Интересным будет изначально дать понятие о происхождение понятия рациональный. Рациональный произошло от латинского слова ratio, что означает — отношение, деление, дробь. Из этого значения намного легче понять, что такое рациональное числа, а также какие числа отнести к данному разряду. К рациональным числам  относят целые, отрицательные и положительные дробные числа. Множество данных чисел обозначается буквой . Данное число может быть представлено в виде дроби image, где числитель image — целое число, а знаменатель image — натуральное число. И исходя из того, что выше было рассмотрено, можем перейти к решению вашего задания. Вами были предоставлены числа: 

image

Среди этих чисел попробуем отыскать рациональные. Итак, к рациональным числам мы отнесём безоговорочно: 

image

Я понимаю, что у Вас, наверное, возник вопрос, почему числа: image были также отнесены к этому разряду, учитывая, что они не дробовые. А это легко объяснить. Мы их относим, так как можем представить их в виде дроби: 

Ответ:  — 

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий