Что такое простые числа

1. Блоги преподавателей
2. Пакала Аляксандр Анатольевіч
3. Лекция 8. 22.04.20.ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

22-04-2020Лекции Ответ необходимо отправить 22 апреля 2020 г. до 21:00 на адрес pokalo@bspu.by, название файла: группа_фамилия (270318_Петрова) в поле «Тема» укажите дату и фамилию отправителя по форме 16.04.20, Петрова

Лекция 8. Простые и составные числа. Их свойства

Определение. Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно делится только на себя и на 1 (т. е. имеет ровно два разных делителя). На­туральное число называется составным, если оно имеет более 2 разных делителей.

Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 – простые, а число 18 – составное (1, 2, 3, 6, 9, 18 – его делители). Число 1 имеет только один делитель и не является ни простым, ни составным.

Таким образом, множество целых неотрицательных чисел N можно разделить на четыре непересекающихся подмножества:

N = {0} È {1} È {N_прост}È{N_сост}, где

1) {0} – множество, состоящее из одного элемента, числа 0:;

2) {1}  – множество, состоящее из одного элемента, числа 1;

3) {N_прост} – множество простых чисел;

4) {N_сост} – множество составных чисел.

• Свойства простых чисел

1)   Если простое число p делится на натуральное число q ≠ 1, то q совпадает с числом p (q = p).

Доказательство. Действительно, если бы число p делилось на q и не совпа­да­ло с числом q, то оно имело бы три делителя: 1, p, q, что противоречит опре­делению простого числа. Поэтому p= q.

2)   Если p и q – разные простые числа, то p не делится на q.

Доказательство. Поскольку p – простое число, то оно делится только на 1 и p. По условию p ≠ q и q – простое число, значит, q ≠ 1. Отсюда следует, что p не делится на q.

1. Например, 29 и 7 – разные простые числа, и 29 не делится на 7.

3)   Всякое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель, причем этот делитель наименьший.

Доказательство. Если число а – простое, то таким делителем числа а является само это число.

Пусть число а – составное, а d – наименьший из всех делителей числа а (d ≠ 1), т. е.  такое, что . Докажем, что число d – простое.

Допустим обратное, т. е. что число d – составное, тогда оно имеет свой отдельный делитель d₁ ( , , ).

Таким образом, из равенств  и  следует, что  и , откуда (с учетом транзитивности отношения делимости)  и .

Последнее неравенство  противоречит условию, что d – наименьший делитель числа а. Значит, допущение о том, что число d – составное, ошибочно.

Таким образом, наименьший делитель натурального числа а – всегда простое число.

1. Следующее свойство позволяет определить, простым или составным является данное натуральное число.

4)   Если натуральное число а не делится ни на одно простое число d такое, что , то число а – простое.

Доказательство. Пусть число а – составное и d – его наименьший простой делитель (он существует на основании свойства 3).

Тогда ,  и  (поскольку d – наименьший простой делитель числа а). Умножим обе части неравенства  на d, получим . Поскольку , то  или .

Из доказанного свойства следует, что если натуральное число а не делится ни на одно простое число , то это число а совсем не имеет простых делителей, а значит, само является простым числом.

1. Задача 1. Определить, простым или составным является число 187, 151, 381.

Решение. Легко видеть, что . Теперь проверим делимость числа 187 на простые числа, меньшие 14 (т. е. на 2, 3, 5, 7, 11, 13): на 2, 3, 5, 7 число 187 не делится, а на 11 делится. Значит, число 187 имеет третий делитель 11, кроме делителей 1 и 187. Поэтому число 187 является составным.

Так как , то проверяем делимость 151 на 2, 3, 5, 7, 11. Поскольку 151 не делится ни на одно из указанных чисел, то 151 – простое число.

Число 381 – составное, поскольку делится на 3 по признаку делимости.

Решето Эратосфена

Эратосфен – древний греческий ученый математик и астроном, который жил в III в. до н. э. Считают, что он первый составил таблицу простых чисел. В древ­ности греки писали палочками на восковых досках. Записав некоторую после­до­вательность натуральных чисел, Эратосфен прокалывал дырку, где стояли состав­ные числа. Составные числа как бы «просеивались», а оставались только простые. Дощечка выглядела подобно решету. Отсюда, возможно, и название метода Эратосфена отсеивать составные числа.

Сущность метода Эратосфена заключается в следующем. Записывают после­довательность натуральных чисел от 2 до n включительно, затем последовательно вычеркивают числа, кратные 2, 3, 5, 7 и т. д. (оставляя сами числа 2, 3, 5, 7, … незачеркнутыми), до того момента, пока незачеркнутыми окажутся самые большие из простых чисел p такие, что . Числа, которые останутся незачеркнутыми, и будут простыми числами от 2 до n.

1. Задача 2. Составить таблицу простых чисел от 2 до 40.

Решение. Запишем последовательность натуральных чисел от 2 до 40.

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Первое простое число – 2. Зачеркнем все числа, которые делятся на 2, кроме самого числа 2. Первым незачеркнутым после 2 является число 3.

Зачеркиваем все числа, которые делятся на 3, кроме самого числа 3. Числа, которые остались незачеркнутыми, не делятся ни на 3, ни на 2.

Теперь зачеркиваем все числа, которые делятся на 5, кроме самого числа 5. Числа, которые остались, не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, т. е. их делителем может быть число 6 или 7. Но наименьший простой множитель числа 40 должен удовлетворять условию .

Таким образом, среди незачеркнутых чисел нет составных – все они простые, а именно: 2, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Метод Эратосфена позволяет составить таблицу простых чисел, меньших некоторого числа n, но он не дает ответ на вопрос о конечности множества простых чисел. На этот вопрос отвечает теорема, доказанная древнегреческим мате­матиком Евклидом (III в. до н. э.).

• Теорема Евклида о простых числах. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что множество простых чисел конечно.

Пусть их будет k:                       

p₁, p₂, p₃, … , p_k–1, p_k.                                                                                                                                        (*)

Запишем число а, равное произведению этих простых чисел, увеличенное на 1:

a = p₁ × p₂ × p₃ × … × p_k–1 × p_k + 1.

Число а является либо составным, либо простым. Если бы а было составным, то оно имело бы хотя бы один простой делитель – обязательно одно из чисел (*). Но число а не делится ни на одно из указанных чисел (при делении на любое число из них получится остаток 1).

Таким образом, число а – не составное, а значит – простое. Причем, оно боль­ше любого из простых чисел (*), поскольку произведение нескольких натуральных чисел, да еще увеличенное на 1, больше каждого из его множителей.

Таким образом, исходя из допущения о том, что количество простых чисел конечно, мы получили противоречие, которое и доказывает теорему: количество простых чисел образует бесконечное множество.

Каким законам подчиняется размещение простых чисел в натуральном ряду чисел – не выявлено полностью до сегодняшнего времени. Встречаются простые числа, которые стоят через одно число (два соседних нечетных числа), например: 5 и 7, 29 и 31, 10999949 и 10999951. Такие числа называют близнятами. До се­год­няшнего дня не выявлено, сколько их – конечное или бесконечное множество.

Промежутки между соседними простыми числами по мере увеличения чисел увеличиваются.

Контрольные вопросы к Лекции 8 (22.04.20) ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

1. Закончите предложение:

1.1. Натуральное число, имеющее ровно один делитель, называется … .

1.2. Простым числом называется число, … .

2. Ответьте на вопросы (каждый ответ обоснуйте):

2.1.  Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

2.2.  Может ли сумма двух простых чисел, каждый из которых больше 2, быть простым числом?

2.3.  Может ли сумма двух составных чисел быть простым числом?

Ответ необходимо отправить22 апреля 2020 г. до 21:00  на адрес pokalo@bspu.by, название файла: группа_фамилия (270318_Петрова)в поле «Тема» укажите дату и фамилию отправителя по форме 16.04.20, Петрова

Прикрепленные файлы

лекция 8 220420_ДИСТ.pdf

Лекция: Отношение эквивалентности

29-04-2019Лекции Отношение эквивалентности подробнее

Уравнения и неравенства с параметрами

30-04-2019Лекции Уравнения и неравенства с параметрами подробнее –> –> Расскажи друзьям: Высшее образование БГПУ–> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –> –>

Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.

Какие числа называют английским словом “симпл”?

Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других – с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа – это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей – это данное число, а второй – единица. Например, три – это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.

Составные числа

Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите – это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” – четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.

Последовательность

Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть – делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных – только “два”. Сами десятки (10, 20,… 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.

Теории о свойствах простых чисел

Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.

Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел

В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса – факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, “блоками” для построения натуральных чисел.

Поиск простых чисел. Тесты простоты

Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.

Имеет ли множество простых чисел предел?

О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).

Какое наибольшее простое число?

Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 2³¹ – 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел – 2^57885161 – 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.

Названия специальных простых чисел

Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:

1. Мерссена.

2. Вудаа.

3. Ферма.

4. Каллена.

5. Прота.

6. Миллса и др.

Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:

1. Люка-Лемера.

2. Пепина.

3. Ризеля.

4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.

Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.

Похожие статьи

«Самое большое простое число 2^32582657-1. И я с гордостью утверждаю, что запомнил все его цифры… в двоичной форме». Карл Померанс Число называется простым, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя. Задача поиска простых чисел не дает покоя математикам уже очень давно. Долгое время прямого практического применения эта проблема не имела, но все изменилось с появлением криптографии с открытым ключом. В этой заметке рассматривается несколько способов поиска простых чисел, как представляющих исключительно академический интерес, так и применяемых сегодня в криптографии.

Решето Эратосфена

Решето Эратосфена — алгоритм, предложенный древнегреческим математиком Эратосфеном. Этот метод позволяет найти все простые числа меньше заданного числа n. Суть метода заключается в следующем. Возьмем набор чисел от 2 до n. Вычеркнем из набора (отсеим) все числа делящиеся на 2, кроме 2. Перейдем к следующему «не отсеянному» числу — 3, снова вычеркиваем все что делится на 3. Переходим к следующему оставшемуся числу — 5 и так далее до тех пор пока мы не дойдем до n. После выполнения вышеописанных действий, в изначальном списке останутся только простые числа. Алгоритм можно несколько оптимизировать. Так как один из делителей составного числа n обязательно , алгоритм можно останавливать, после вычеркивания чисел делящихся на . Иллюстрация работы алгоритма из Википедии: Сложность алгоритма составляет , при этом, для хранения информации о том, какие числа были вычеркнуты требуется памяти. Существует ряд оптимизаций, позволяющих снизить эти показатели. Прием под названием wheel factorization состоит в том, чтобы включать в изначальный список только числа взаимно простые с несколькими первыми простыми числами (например меньше 30). В теории предлагается брать первые простые примерно до . Это позволяет снизить сложность алгоритма в раз. Помимо этого для уменьшения потребляемой памяти используется так называемое сегментирование. Изначальный набор чисел делится на сегменты размером и для каждого сегмента решето Эратосфена применяется по отдельности. Потребление памяти снижается до .

Решето Аткина

Более совершенный алгоритм отсеивания составных чисел был предложен Аткином и Берштайном и получил название Решето Аткина. Этот способ основан на следующих трех свойствах простых чисел.Свойство 1 Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что . То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения нечетно.Свойство 2 Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что . То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения нечетно.Свойство 3 Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что . То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения нечетно. Доказательства этих свойств приводятся в этой статье. На начальном этапе алгоритма решето Аткина представляет собой массив A размером n, заполненный нулями. Для определения простых чисел перебираются все . Для каждой такой пары вычисляется , , и значение элементов массива , , увеличивается на единицу. В конце работы алгоритма индексы всех элементов массива, которые имеют нечетные значения либо простые числа, либо квадраты простого числа. На последнем шаге алгоритма производится вычеркивание квадратов оставшихся в наборе чисел. Из описания алгоритма следует, что вычислительная сложность решета Аткина и потребление памяти составляют . При использовании wheel factorization и сегментирования оценка сложности алгоритма снижается до , а потребление памяти до .

Числа Мерсенна и тест Люка-Лемера

Конечно при таких показателях сложности, даже оптимизированное решето Аткина невозможно использовать для поиска по-настоящему больших простых чисел. К счастью, существуют быстрые тесты, позволяющие проверить является ли заданное число простым. В отличие от алгоритмов решета, такие тесты не предназначены для поиска всех простых чисел, они лишь способны сказать с некоторой вероятностью, является ли определенное число простым. Один из таких методов проверки — тест Люка-Лемера. Это детерминированный и безусловный тест простоты. Это означает, что прохождение теста гарантирует простоту числа. К сожалению, тест предназначен только для чисел особого вида , где p — натуральное число. Такие числа называются числами Мерсенна. Тест Люка-Лемера утверждает, что число Мерсенна простое тогда и только тогда, когда p — простое и делит нацело -й член последовательности задаваемой рекуррентно: для 1$” data-tex=”inline”>. Для числа длиной p бит вычислительная сложность алгоритма составляет . Благодаря простоте и детерминированности теста, самые большие известные простые числа — числа Мерсенна. Самое большое известное простое число на сегодня — , его десятичная запись состоит из 24,862,048 цифр. Полюбоваться на эту красоту можно здесь.

Теорема Ферма и тест Миллера-Рабина

Простых чисел Мерсенна известно не очень много, поэтому для криптографии с открытым ключом необходим другой способ поиска простых чисел. Одним из таким способов является тест простоты Ферма. Он основан на малой теореме Ферма, которая гласит, что если n — простое число, то для любого a, которое не делится на n, выполняется равенство . Доказательство теоремы можно найти на Википедии. Тест простоты Ферма — вероятностный тест, который заключается в переборе нескольких значений a, если хотя бы для одного из них выполняется неравенство , то число n — составное. В противном случае, n — вероятно простое. Чем больше значений a использовано в тесте, тем выше вероятность того, что n — простое. К сожалению, существуют такие составные числа n, для которых сравнение выполняется для всех a взаимно простых с n. Такие числа называются числам Кармайкла. Составные числа, которые успешно проходят тест Ферма, называются псевдопростыми Ферма. Количество псевдопростых Ферма бесконечно, поэтому тест Ферма — не самый надежный способ определения простых чисел.Тест Миллера-Рабина Более надежных результатов можно добиться комбинируя малую теорему Ферма и тот факт, что для простого числа p не существует других корней уравнения , кроме 1 и -1. Тест Миллера-Рабина перебирает несколько значений a и проверяет выполнение следующих условий. Пусть p — простое число и , тогда для любого a справедливо хотя бы одно из условий:

2. Существует целое число r < s такое, что

По теореме Ферма , а так как из свойства о корнях уравнения следует что если мы найдем такое a, для которого одно из условий не выполняется, значит p — составное число. Если одно из условий выполняется, число a называют свидетелем простоты числа n по Миллеру, а само число n — вероятно простым. Чем больше свидетелей простоты найдено, тем выше вероятность того, что n — простое. Согласно теореме Рабина вероятность того, что случайно выбранное число a окажется свидетелем простоты составного числа составляет приблизительно . Следовательно, если проверить k случайных чисел a, то вероятность принять составное число за простое . Сложность работы алгоритма , где k — количество проверок. Благодаря быстроте и высокой точности тест Миллера-Рабина широко используется при поиске простых чисел. Многие современные криптографические библиотеки при проверке больших чисел на простоту используют только этот тест и, как показал Мартин Альбрехт в своей работе , этого не всегда оказывается достаточно. Он смог сгенерировать такие составные числа, которые успершно прошли тест на простоту в библиотеках OpenSSL, CryptLib, JavaScript Big Number и многих других.

Тест Люка и Тест Baillie–PSW

Чтобы избежать уязвимости, связанные с ситуациями, когда сгенерированное злоумышленником составное число, выдается за простое, Мартин Альбрехт предлагает использовать тест Baillie–PSW. Несмотря на то, что тест Baillie–PSW является вероятностным, на сегодняшний день не найдено ни одно составное число, которое успешно проходит этот тест. За нахождение подобного числа в 1980 году авторы алгоритма пообещали вознаграждение в размере $30. Приз пока так и не был востребован. Ряд исследователей проверили все числа до и не обнаружили ни одного составного числа, прошедшего тест Baillie–PSW. Поэтому, для чисел меньше тест считается детерминированным. Суть теста сводится к последовательной проверке числа на простоу двумя различными методами. Один из этих методов уже описанный выше тест Миллера-Рабина. Второй — тест Люка на сильную псевдопростоту.Тест Люка на сильную псевдопростоту Последовательности Люка — пары рекуррентных последовательностей , описываемые выражениями:

Пусть и — последовательности Люка, где целые числа P и Q удовлетворяют условию Вычислим символ Якоби: . Найдем такие r, s для которых выполняется равенство Для простого числа n выполняется одно из следующих условий:

1. n делит
2. n делит для некоторого j < r

В противном случае n — составное. Вероятность того, что составное число n успешно пройдет тест Люка для заданной пары параметров P, Q не превышает 4/15. Следовательно, после применения теста k раз, эта вероятность составляет . Тесты Миллера-Рабина и Люка производят не пересекающиеся множества псевдопростых чисел, соответственно если число p прошло оба теста, оно простое. Именно на этом свойстве основывается тест Baillie–PSW.

Заключение

В зависимости от поставленной задачи, могут использоваться различные методы поиска простых чисел. К примеру, при поиске больших простых чисел Мерсенна, сперва, при помощи решета Эратосфена или Аткина определяется список простых чисел до некоторой границы, предположим, до . Затем для каждого числа p из списка, с помощью теста Люка-Лемера, на простоту проверяется . Чтобы сгенерировать большое простое число в криптографических целях, выбирается случайное число a и проверяется тестом Миллера-Рабина или более надежным Baillie–PSW. Согласно теореме о распределении простых чисел, у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен . Следовательно, чтобы найти простое число размером 1024 бита, достаточно перебрать около тысячи вариантов.

P.S. Исходники

Реализацию всех описанных алгоритмов на Go можно посмотреть на GitHub. Скрыть картинку

Простые числа

Теория чисел

В. Мантуров Невероятно, но это так!Мне удалась РАЗГАДКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (НАУКА И ЖИЗНЬ№ 7,2001, Москва).Но, похоже, чтоземляне до сих пор об этом не знают. С горечью я догадался об этом, когда вышел на сайт «простые числа». Это не значит, что лучше было бы туда и не заглядывать. Напротив, и моё огорчение было полезным, и я был восхищен великолепием работ в этой области.Да и как иначе я узнал бы, что математики и теперь еще ищут эту закономерность. Больше того, они уже перестали надеяться, что такое еще возможно.То, что«…математики до сих пор еще не раскрыли эту тайну, — пишет Дон Цагир в своейзамечательной статье, —льшие простые». А всё потому, что «». И академикВиноградов как-то это признал в одной из центральных газет.В какой ,когда и по какому поводу– я этого уже не помню,– но его досада на неуправляемость простых чисел в начале ряда почему-то запало в моей памяти.Хотя я и не математик, и не собирался им быть.Но и не чурался математики. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 …

JComments –>

Шаровая молния

1	О волне-пилоте
2	Линейные молнии, спрайты (эльфы)… Что их питает? (гипотеза)
3	Фотоны, похоже, способны распространяться вспять (как спрайты, эльфы, синие струи подпитывают линейные молнии, их породившие)

Теория чисел

1	Прямой метод вычисления потенциальной энергии системы точечных зарядов, аналогичной решетке типа NaCI
2	Простые числа

Фотоны, волны де Бройля, атом, векторный потенциал

1	Открытие-закономерность
2	Был ли шанс у де Бройля проникнуть в тайны электронной волны?
3	Фотон. Каков он?
4	Масса фотона
5	Цунами, фотоны и волны де Бройля. Что у них общего?
6	Фотоны и волны де Бройля. Что у них общего? Они тороидальны
7	Стягивающее свойство поверхностных циркуляций
8	Почему не излучает и не падает на ядро орбитальный электрон?
9	Некоторые модели фотона (из интернета)
10	О механизме сверхпроводимости (гипотеза)
11	О корпускулярности излучений атома водорода
12	Векторный потенциал. Когда он однозначен и измерим?
13	К вопросу об интерференция фотонов и волн де Бройля
14	О векторном потенциале замолвим слово
15	О связи биополя с волнами де Бройля
16	О корпускулярности излучения атома водорода
17	Освободим “магнитный” векторный потенциал от комплекса неполноценностей
18	Парадоксы Мантурова
19	О размере фотонов или гидрино природой не предусмотрено
20	О размере фотонов (первая редакция)
21	Эффект стягивающего “обруча” (открытие)

Ядерная физика

1	Обращение к физикам-ядерщикам
2	Слабые взаимодействия. Новые представления
3	Протоны различны, скорее, от природы, чем из-за навешанных на них “ярлыков” – спинов
4	К вопросу о “скрытой массе Вселенной”
5	Нуклоны. Ядерные силы. Изотопы (гипотеза)
6	Бета-распады. Новые представления
7	Большой андронный коллайдер теряет протоны. Хорошо это или плохо? Похоже, хорошо
8	Слабые взаимодействия. Новые представления (2 редакция)
9	Протон нейтронного происхождения Механизм возникновения протона из свободного нейтрона

Безвозмездная помощь

Интересные новости

Ученые впервые измерили магнитное поле черной дыры в центре … Астрономы впервые смогли изучить то, что происходит в окрестностях горизонта событий сверхмассивной черной дыры в центре Млечного Пути, и обнаружить, что в ее окрестностях и в диске материи, которая ее окружает, присутствуют сильные и очень изменчивые магнитные поля…Существование гравитационных волн поставлено под большое сом… Анализ последней порции данных, собранных орбитальным телескопом ПЛАНК, позволяет с большей уверенностью говорить о том, что найденные в марте прошлого года гравитационные волны действительно являются результатом неправильной интерпретации наблюдений на антарктической обсерватории BICEP2, сообщает пресс-служба Лаборатории реактивного движения НАСА…Удалось определить центр тяжести системы Сатурна… Впервые за долгие годы ученым практически с точностью удалось определить центр тяжести системы Сатурна… Все материалы Математики назвали самое большое простое число, которое когда-либо было определено. 17,425,170 — именно столько цифр содержится в самом большом простом числе, открытом на днях американскими математиками. Простое число – это натуральное число, которое без остатка делится только на себя и на единицу. Так вот, в самом длинном простом числе насчитали 17,425,170 цифр. Это число заменяет открытое в 2008 году простое число, у которого количество цифр составляло всего лишь 12,978,189.Новое число было открыто математиками из Университета Центрального Миссури, США. Подсчеты проходили в рамках проекта Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), являющийся широкомасштабным проектом добровольных вычислений, связанных с поиском простых чисел Мерсенна. Сама система представляет специально разработанное программное обеспечение, которое работает на тысячах компьютеров. При обнаружении самого большого простого числа проводится тщательная проверка, которая должна подтвердить, что число является простым. Компьютер с процессором на основе Intel i7, для примера, проверял на протяжении четырех с половиной суток, так что это действительно была непростая задача.Прошлое самое большое простое число тоже нельзя было опубликовать в обычном издании; для сравнения, стандартная заметка на «Деталях мирах» насчитывает несколько тысяч знаков. Десять тысяч это уже большая статья, миллион знаков будет в книге, а миллиард, соответственно, небольшой библиотекой на тысячу томов. При печати убористым шрифтом самое большое простое число займет большой книжный шкаф, так что вряд ли кто-то решит переводить на это бумагу. Можно записать его в файл или воспользоваться изящной формой записи: рекордсмен в точности равен 257885161 — 1.Числа вида 2N-1 еще называют числами Мерсенна по имени французского исследователя Марена Мерсенна, который описал их впервые еще в первой половине XVII века. Такие числа используются в программных генераторах псевдослучайных чисел — отсюда интерес к ним не только теоретиков, но и практиков. Большие простые числа также интересны специалистам по криптографии, поэтому организация Electronic Frontier Foundation даже утвердила награды в $50000, 100000, 150000 и 250000 за вычисление простых чисел с миллионом, десятью миллионами, ста миллионами и миллиардом знаков соответственно.Сложная простотаЧисло простых чисел бесконечно и это легко доказать: возьмем все уже посчитанные простые числа, перемножим их между собой и прибавим единицу. При делении на любой сомножитель мы по определению получаем единицу в остатке, так что это число не делится ни на одно из предыдущих простых чисел. И, тем более, оно не может делится на что-то еще, кроме самого себя: проблема только в том, что вычислять такие числа с определенного момента слишком сложно даже при помощи суперкомпьютеров.А числа Мерсенна 2N-1 отличаются тем, что их заметно проще вычислять и вдобавок существует специальный тест, позволяющий быстро (по сравнению с перебором всех простых сомножителей) доказать их простоту; числа Мерсенна давно стали самыми большими простыми… но пока никто не может сказать, существует ли самое большое простое число Мерсенна; на сегодня из всего множества таких чисел известно лишь 48 простых чисел Мерсенна.Посмотреть полную версию самого большого числа можно на сайте www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/huge-prime-c.html