№ 6. Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке.

Параллельность – очень полезное свойство в геометрии. В реальной жизни параллельные стороны позволяют создавать красивые, симметричные вещи, приятные любому глазу, поэтому геометрия всегда нуждалась в способах эту параллельность проверить. О признаках параллельности прямых мы и поговорим в этой статье.+

image

Содержание

  1. Определение для параллельности
  2. Признаки
  3. Признак 1
  4. Признак 2
  5. Признак 3
  6. Что мы узнали?
  • Тест по теме

Определение для параллельности

Выделим определения, которые необходимо знать для доказательства признаков параллельности двух прямых.

Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения и лежат в одной плоскости. Кроме того, в решениях обычно параллельные прямые идут в связке с секущей прямой.

image

Рис. 1. Углы при параллельны прямых и секущей.

При правильном оформлении пишется: «Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых а и b и секущей с», потому что для двух параллельных прямых может существовать бесконечное множество секущих, поэтому необходимо указывать, какую именно секущую, вы имеете в виду.

Также для доказательства понадобится теорема о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Признаки

Все признаки параллельности прямых завязаны на знание свойств углов и теоремы о внешнем угле треугольника.

Признак 1

Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

Признак 2

Две прямые параллельны, если соответственные углы при секущей равны.

Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Соответственные углы 7 и 2 равны. Обратим внимание на угол 3. Он является вертикальным для угла 7. Значит, углы 7 и 3 равны. Значит, углы 3 и 2 также равны, так как <7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.</p>

Рис. 3. Рисунок к доказательству.

Признак 3

Две прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Рис. 4. Рисунок к доказательству.

Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Сумма односторонних углов 1 и 2 равна 180 градусов. Обратим внимание на углы 1 и 7. Они являются смежными. То есть:

$$<1+<7=180$$</p>

$$<1+<2=180$$</p>

Вычтем из первого выражения второе:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$</p>

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$</p>

$$<1+<7-<1-<2=0$$</p>

$$<7-<2=0$$</p>

$<7=<2$ – а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.</p>

Что мы узнали?

Мы в подробностях разобрали, какие углы получаются при пересечении параллельных прямых третьей прямой, выделили и подробно расписали доказательство трех признаков параллельности прямых.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Выбрать, что характеризует параллельные прямые:

(новая вкладка)

Признаки двух параллельных прямых:

1-й признак параллельности прямых:

Если пересечь прямые секущей линией и накрест лежащие углы окажутся равными, то прямые параллельны.

2-й признак параллельности прямых:

Если пересечь прямые секущей линией и соответственные углы окажутся равными, то прямые параллельны.

3-й признак параллельности прямых:

Если пересечь прямые секущей линией и сумма односторонних углов окажется равна 180°, то прямые параллельны.

Также можно добавить другие признаки параллельности двух прямых:

Если две прямые параллельны третьей, то эти прямые параллельны.

Каждый признак может действовать и в обратную сторону, давая нам дополнительную информацию. Например, 1-й признак:

Если параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы будут равными.

Попробуйте переформулировать и другие признаки параллельности прямых в обратную сторону.

ТолкованиеПеревод

Накрест лежащие

В евклидовой геометрии

Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается.

Свойства

  1. Параллельность — бинарноеотношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  2. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две)
  3. 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.
  4. При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей:
    1. Секущая обязательно пересекает обе прямые.
    2. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      1. Накрест лежащие углы равны.
      2. Соответственные углы равны.
      3. Односторонние углы в сумме составляют 180°.

В геометрии Лобачевского

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C вне данной прямой AB проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB. Из них параллельными к AB называются только две. Прямая CE называется равнобежной (параллельной) прямой AB в направлении от A к B, если:

  1. точки B и E лежат по одну сторону от прямой AC;
  2. прямая CE не пересекает прямую AB, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE, пересекает луч AB.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB в направлении от B к A.

Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.

См. также

Смотреть что такое «Накрест лежащие» в других словарях:

  • Теорема Фалеса — Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему. Теорема Фалеса  одна из теорем планиметрии. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести… …   Википедия

  • Анненский орден — русский орден Св. Анны, учрежден был владетельным герцогом Шлезвиг Гольштинским Карлом Фредериком в 1736 г. в честь супруги своей цесаревны Анны Петровны (дочери Петра Великого) и причислен к русским орденам императором Петром III. Орден Св. Анны …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Браковочные комиссии — для испытания охотничьих ружейных стволов учреждены во всех западно европейских государствах. Наиболее известные из них находятся в Лондоне, Бирмингеме, Люттихе, Зуле и Сент Этьене. По новым, недавно введенным в Англии правилам каждый ствол… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Колориметрия — так называется один из способов количественного определения содержания веществ в растворах; методы К. применимы к количественному определению всех тех веществ, которые дают окрашенные растворы, или могут быть, с помощью какой либо реакции,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Орден* — жалуемый за особые заслуги или отличие знак, установленной формы, носимый на ленте, цепи или иным образом. Имеются указания, что в восточной римской империи еще со времен Константина Великого императоры установляли кавалерские товарищества или… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Орден — жалуемый за особые заслуги или отличие знак, установленной формы, носимый на ленте, цепи или иным образом. Имеются указания, что в вост. римской империи еще со времен Константина Вел., императоры установляли кавалерские товарищества или ордена,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Семейство моржовые —         Второе семейство этого отряда состоит из одного рода и вида моржа (Odobenus rosmarus)*, самого огромного из всех ластоногих. * Моржи имеют в анатомии черты сходства с ушастыми тюленями и также происходят от примитивного медведеобразного… …   Жизнь животных

  • Параллелограмм — (др. греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος  параллельный и γραμμή  линия)  это четырёхуго …   Википедия

  • Аксиома параллельности Евклида — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат  одна из аксиом, лежащ …   Википедия

  • Проблема параллельных — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

Ответы (1) Знаете ответ? Сомневаетесь в ответе? Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Дайте определение: накрест лежащие соответственные и односторонние углы …» по предмету 📘 Геометрия, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы. Новые вопросы по геометрии Треугольник abc, угол с=70 градусам, ac=bc, найти внешний угол при вершине b Ответы (1) Три прямые пересикаются в одной точке Найти угол 1 если угол 2 + угол 3 равно 142 градуса Ответы (1) Угол ромба равен 140 градусам. Найдите угол между противоположной этому углу диагональю и стороной ромба. Ответы (1) Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 8 м и 10 м и меньшем осномванием 9 найдите периметр треугольника Ответы (1) Сума двох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, менша від 180 градусів. Визначте, якими є ці кути: суміжними чи вертикальними? Ответы (1) image

Внутренние односторонние углы: ∠2 и ∠3, ∠1 и ∠4. Внутренние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4.

Источник:

image Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год), задача №6 к главе «§ 4. Сумма углов треугольника».

← № 5. Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В1, а на стороне АС — точка С1. Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1. № 7. Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ. →

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий