5.09. Задача о вычислении площади произвольной криволинейной трапеции

ТестыМатематика и статистикаМатематический анализ

вопросы316-330

1-15   …   286-300   301-315   316-330   331-345   346-360   …   496-502  316. Определитель Вронского для дифференциального уравнения равен: • 317. Определитель Вронского для дифференциального уравнения равен: • 318. Определитель Вронского для дифференциального уравнения равен: • 319. Определитель Вронского для дифференциального уравнения равен: • 320. Переменная величина y есть функция переменной величины x, если … • каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное значение y321. Площадь криволинейного треугольника, ограниченного гиперболой и прямыми и , равна: • 322. Площадь криволинейного треугольника, ограниченного линиями и осью , равна: • 323. Площадь криволинейной трапеции равна: • 324. Площадь криволинейной трапеции равна: • 325. Площадь криволинейной трапеции равна: • 22326. Площадь криволинейной трапеции равна: • 327. Площадь области, ограниченной линиями и , вычисляется с помощью определенного интеграла: • 328. Площадь области, ограниченной линиями и , вычисляется с помощью определенного интеграла: • 329. Площадь области, ограниченной линиями и , вычисляется с помощью определенного интеграла: • 330. Площадь области, ограниченной линиями и , вычисляется с помощью определенного интеграла: •1-15   …   286-300   301-315   316-330   331-345   346-360   …   496-502   —> ГлавнаяПримеры решений задачОнлайн калькулятор Ключевые слова: найти площадь фигуры на рисунке, заштрихованной, закрашенной, плоской, сложной фигуры, вычислить площадь фигуры.Предлагаем Вашему вниманию калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции. 1-1011-2021-28 —>

Существует тип задач из области высшей математики, в которых нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. В этом случае необходимо использовать интегралы. Однако в интернете слишком много неправильных методов решения. Это может существенно замедлить обучение, поэтому следует запомнить алгоритм нахождения площади.

Общие сведения

Вычислить площадь фигуры на плоскости считается довольно простой операцией. Для ее выполнения необходимо знать только формулу. Существенно усложняет задачу фигура, ограниченная прямыми.

Одной из них считается криволинейная трапеция. Ее площадь можно определить только при нахождении значений определенного интеграла.

Операция интегрирования считается довольно сложной, поскольку необходимо знать основные правила. Перед нахождением площади криволинейной трапеции специалисты рекомендуют внимательно изучить и освоить правила интегрирования основных функций.

Разбирается неопределенный интеграл, а затем осуществляется переход к более сложным операциям.

Информация об интегралах

С понятием интеграла связано много направлений научных отраслей. Обозначается он символом «∫». С помощью интеграла открываются большие возможности по быстрому и эффективному нахождению значений следующих величин: площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, поверхности, пути при неравномерном движении, массы неоднородного физического тела и так далее.

Упрощенный вариант представления и определения интеграла — сумма бесконечно малых слагаемых. Интеграл бывает нескольких типов: одинарный, двойной, тройной, криволинейный и так далее. Для любого элемента он может быть двух типов:

Неопределенный.Определенный.

Операция нахождения первого типа значительно проще второго. Это объясняется тем, что во втором случае следует не только найти первообразную, но и выполнить правильную подстановку значений.

Неопределенным интегралом функции вида f(х) называется такая первообразная функция F(х), производная которой равна подинтегральному выражению. Записывается это таким образом: ∫(f(x)) = F(х) + С.

Последняя величина является константой, поскольку при выполнении операции нахождения производной константа равна 0.

Для нахождения первообразной используется специальная таблица интегралов:

Рисунок 1. Таблица интегралов и их первообразные.

В таблице приведены простые функции. Для нахождения площади фигуры, которая ограничена линиями, достаточно значений первообразных на рисунке 1. Вычисление определенного интеграла заключается в получении первообразной и подстановке начального и конечного значений. Следует отметить, что константа при этом не берется. Существует способ, чтобы найти определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница позволяет быстро и эффективно вычислить площадь фигуры. Для этого нужно подставить значения ее границ (a и b) в первообразные: F(x)|(a;b) = F(b) — F(a).

Криволинейные фигуры

Криволинейная фигура (трапеция) — класс плоских фигур, которые ограничены графиком неотрицательной и непрерывной функции, а также осью ОУ и прямыми (х = а, х = b). Она изображена на рисунке 2. Для нахождения ее площади следует использовать определенный интеграл.

Рисунок 2. Фигуры с криволинейными сторонами.

Интегрирование разбивает фигуру на прямоугольные части. Длина каждой из них равна ординате y = f(х) через промежутки, которые очень малы, по оси декартовой системы координат (есть еще и полярная) ОХ на отрезке [a;b]. Ширина является бесконечно малым значением. При интегрировании находятся площади прямоугольников и складываются. Для того чтобы не путаться в графиках, геометрическую фигуру следует заштриховать.

Криволинейная трапеция — геометрическая фигура с неровными сторонами, которые образовались в результате пересечения графика непрерывной функции с осями абсцисс и ординат.

Применение обыкновенных методов нахождения площади этой фигуры невозможно, поскольку она обладает одной или несколькими неровными сторонами (кривыми линиями).

Способы вычисления и рекомендации

Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.

Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.

Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.

Она называется Integral calculator и представляет собой очень удобное приложение для Android-устройств. Кроме того, можно скачать подобное ПО для Linux, Mac и Windows.

Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:

Вычисление производных.Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.Решение систем уравнений.Выполнения операций над матрицами и определителями.Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.Расчет точек перегиба.Вычисление рядов Фурье.Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.

Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.

Основной алгоритм

При нахождении площади криволинейной трапеции рекомендуется следовать определенному алгоритму. Он поможет избежать ошибок, поскольку задача разбивается на несколько простых подзадач, решение которых довольно просто контролировать. Алгоритм имеет следующий вид:

Нужно прочитать и понять условие задачи.Начертить декартовую систему координат.Построить график заданной функции.Изобразить линии, ограничивающие фигуру.После определения границ нужно аккуратно заштриховать фигуру.Вычислить неопределенный интеграл функции, которая дана в условии.Посчитать площадь, подставив значения ограничивающих прямых в первообразную.Проверить решение задачи при помощи программы.

Первый пункт — внимательное чтение условия задачи. Этап считается очень важным, поскольку формирует дальнейший алгоритм. Необходимо выписать все известные данные, а затем подумать над дальнейшим решением задачи. Следует обратить особое внимание на график функции, который при возможности нужно упростить. Далее следует выписать линии, которые будут ограничивать фигуру.

Следующий пункт считается наиболее простым, поскольку нужно начертить обыкновенную систему координат. В условии должен быть указан ее тип. Если обозначена полярная система, то следует ее начертить. Во всех остальных случаях изображается декартовая система координат.

Третий пункт алгоритма — правильное построение графика функции. В этом случае нет необходимости составлять таблицу зависимости значения функции от аргумента. График должен быть схематичным. Например, если это парабола, то нужно ее изобразить. В этом случае необходимо ознакомиться с основными базовыми функциями и их графиками.

Следующим шагом является правильное изображение прямых. Если ее уравнение имеет следующий вид «x = 5» или что-то подобное, то она будет проходить параллельно оси ОУ. Например, при y = 10 прямая проходит параллельно оси ОХ. В других случаях нужно составить таблицу зависимостей значений уравнения прямой от переменной. Следует брать всего два значения аргумента, поскольку их достаточно для проведения прямой.

После всех операций образуется фигура, которая ограничена линиями. Ее необходимо заштриховать. После этого вычисляется неопределенный интеграл заданной функции. Необходимо воспользоваться табличными значениями первообразных на рисунке 2. Однако здесь есть небольшой нюанс: константу записывать нет необходимости. Она «уничтожается» при подстановке в формулу Ньютона-Лейбница.

В полученное значение следует подставить значения границ. Кроме того, необходимо обратить особое внимание на знак формулы. При отрицательном значении границы формула принимает следующий вид: F(x)|(-a;b) = F(b) — F(-a) = F(b) + F(a). Проверка правильности решения выполняется с помощью ПО.

Примеры решения

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить несколько задач. В качестве примера можно взять криволинейные трапеции, изображенные на рисунке 2.

Разновидность параболы

В первом примере функция вида y = -x^2 + 2x и ось ОХ образуют фигуру. Необходимо найти ее площадь. Из функции видно, что ветви параболы направлены вниз (отрицательный знак перед квадратом). Точки пересечения находятся следующим образом:

Тело функции приравнивается к 0: -х^2 + 2x = 0.Выносится общий множитель: -x(x-2) = 0.Решаются обе части уравнения.Первый корень: -х1 = 0 или х1 = 0.Для нахождения второго нужно решить другую часть уравнения: х2-2 = 0. Отсюда, х2 = 2.

Ветви параболы проходят через координаты по ОХ: 0 и 2 соответственно. Координата «х» вершины точки параболы находится с помощью подстановки в формулу: x = -b/(2*a) = -2 / -2 = 1. В этом случае координата «у» вычисляется следующим образом: y = -(1^2) + 2 * 1 = -1 + 2 = 1. Точка с координатами (1;1) является вершиной параболы. Границы интегрирования — координаты по ОХ, через которые проходят ветви параболы.

После всех операций следует вычислить неопределенный интеграл функции, воспользовавшись таблицей на рисунке 1: ∫ (-х^2 + 2x) dx = — (x^3 / 3 + x^2) + C = x^2 — x^3 / 3 + C. После этого следует подставить начальное и конечное значения (константа убирается): S = x^2 — x^3 / 3 = (2^2 — 2^3 / 3) — (0^2 — 0^3 / 3) = 4 — 8/3 = 4 / 3 (кв. ед.). Последняя запись является единицей измерения площади. Она обозначается в условных единицах, так как в условии задачи размерность сторон фигуры не указана.

Гипербола, степенная и прямая

На следующем рисунке изображен график функции гиперболы (у = 1 / х). Прямые, которые ограничивают график, описываются следующими законами: у1 = -2 и у2 = -1. Для вычисления площади заданной фигуры следует взять интеграл: ∫(1/х) dx = ln (|x|) + С. Для окончательного решения необходимо подставить значения в натуральный логарифм: S = ln (2) — ln (1) = 0,6931 — 0 = 0,6931 (кв. ед.).

Фигура, которая ограничена прямыми y1 = -1 и y2 = 1, и представлена функцией вида y = 3^x. Площадь находится следующим образом: S = ∫ (3^x) dx = 3^x / (ln(|3|)) = [3^1 / (ln(3))] — [3^(-1) / (ln(3))] = (3 / 1,0986) — ((1/3) / 1,0986) = 2,7307 — 0,3034 = 2,4273 (кв. ед.).

Последняя фигура представлена графиком прямой y = 0,5х + 1, которую ограничивают прямые х1 = -1 и х2 = 2. Значение площади можно найти таким способом: S = ∫ (0,5х + 1) dx = (0,5 * х^2) / 2 + x = [((0,5 * 2^2) / 2) + 2] — [((0,5 * (-1)^2) / 2) + (-1)] = 3 — 0,75 = 2,25 (кв. ед.).

Для определения значения площади криволинейной фигуры (трапеции) необходимо использовать определенные интегралы. При решении нужно внимательно следить за знаками и первообразными из таблицы на рисунке 1.

—>
22:16 Как найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн

Предлагаем Вашему вниманию калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции. I. Как найти площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойy=f(x) [f(x)≥0], прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b]оси Oxнаходим по формуле

$$S=int_{a}^{b}fleft ( x right )dx$$

Пример.Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой y=2x^2+1 и прямыми x=1,x=2. Решение. Вставляем в калькулятор функции в виде y=2x^2+1,x=1,x=2, нажимаем «Ok», получаем ответ.  

II. Как найти площадь фигуры ограниченной линиямиПлощадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)  [f1(x) ≤  f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле  y=f1(x) и y=f2(x)  [f1(x) ≤  f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле

$$S=int_{a}^{b}left [f_2left ( x right )-f_1left ( x right ) right ]dx$$

Пример. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=4x-x^2, y=4-x Решение. Вставляем функции y=4x-x^2, y=4-x в калькулятор, нажимаем «Ok», получаем ответ.

Готовые примеры: Найдите площадь области, ограниченной кривыми.

Следующая тема:  Объем тела вращения.

—>Категория—>:Площадь фигуры ограниченной кривыми | —>Просмотров—>:572450 | | |
—>Всего комментариев—>: 7 12»
1-34-6

—>

Криволинейная трапеция представляет собой фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и постоянной функции f на интервале [a; b], осью OX и прямыми x=a и x=b. Для вычисления ее площади используйте формулу: S=F(b)–F(a), где F – первообразная для f.imageВам понадобится

  • – карандаш;
  • – ручка;
  • – линейка.

Инструкция

1. Вам нужно определить площадь криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции f(x). Обнаружьте первообразную F для заданной функции f. Постройте криволинейную трапецию.2. Обнаружьте несколько контрольных точек для функции f, вычислите координаты пересечения графика данной функции с осью OX, если они имеются. Изобразите графически другие заданные линии. Заштрихуйте желанную фигуру. Обнаружьте x=a и x=b. Вычислите площадь криволинейной трапеции , применяя формулу S=F(b)–F(a).3. Пример I. Определите площадь криволинейной трапеции , ограниченной линией y=3x-x?. Обнаружьте первообразную для функции y=3x-x?. Это будет F(x)=3/2x?-1/3x?. Функция y=3x-x? представляет собой параболу. Ее ветви направлены вниз. Обнаружьте точки пересечения данной косой с осью OX.4. Из уравнения: 3x-x?=0, следует, что x=0 и x=3. Желанные точки – (0; 0) и (0; 3). Следственно, a=0, b=3. Обнаружьте еще несколько контрольных точек и изобразите график данной функции. Вычислите площадь заданной фигуры по формуле: S=F(b)–F(a)=F(3)–F(0)=27/2–27/3–0+0=13,5–9=4,5.5. Пример II. Определите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x? и y=4x. Обнаружьте первообразные для данных функций. Это будет F(x)=1/3x? для функции y=x? и G(x)=2x? для функции y=4x. С поддержкой системы уравнений обнаружьте координаты точек пересечений параболы y=x? и линейной функции y=4x. Таких точек две: (0;0) и (4;16).6. Обнаружьте контрольные точки и изобразите графики заданных функций. Легко подметить, что желанная площадь равна разности 2-х фигур: треугольника, образованного прямыми y=4x,y=0, x=0 и x=16 и криволинейной трапеции , ограниченной линиями y=x?, y=0, x=0 и x=16.7. Вычислите площади данных фигур по формуле: S?=G(b)–G(a)=G(4)–G(0)=32–0=32 и S?=F(b)–F(a)=F(4)–F(0)=64/3–0=64/3. Выходит, площадь желанной фигуры S равна S?–S? =32–64/3=32/3.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий