§21. Площадь. Площадь прямоугольника — Ответы (ГДЗ) рабочая тетрадь (Мерзляк Полонский Якир) 5 класс часть 1

image

Геометрия и формулы площадей неразрывно связаны. Эта связь заключается в том, что вычисление площадей плоских фигур основывается именно на их применении. Для многих фигур выведены несколько вариантов, по которым вычисляются их квадратные размеры. Опираясь на данные из условия задачи, мы можем определить максимально простой способ для решения. Тем самым облегчить расчет и свести вероятность ошибки вычисления к минимуму. Для этого рассмотрим основные площади фигур в геометрии.

Треугольник

Формулы для нахождения площади любого треугольника представлены несколькими вариантами:

1) Площадь треугольника рассчитывается по основанию a и высоте h. Основанием считают сторону фигуры, на которую опущена высота. Тогда площадь треугольника:

image

2) Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается точно также, если гипотенузу считать основанием. Если же за основание принять катет, то площадь прямоугольного треугольника будет равна уменьшенному вдвое произведению катетов.

На этом формулы для вычисления площади любого треугольника не заканчиваются. Другое выражение содержит стороны a,b и синусоидальную функцию угла γ, заключенного между a и b. Значение синуса находится по таблицам. Также его можно узнать с помощью калькулятора. Тогда площадь треугольника:

По данному равенству тоже можно убедиться в том, что площадь прямоугольного треугольника определяется через длины катетов. Т.к. угол γ — прямой, поэтому площадь прямоугольного треугольника рассчитывается без умножения на функцию синуса.

Рекомендуем:  Тригонометрические формулы приведения. Подробный разбор

3) Рассмотрим частный случай — правильный треугольник, у которого сторона a известна по условию или ее длина найдется при решении. О фигуре в задаче по геометрии больше ничего не известно. Тогда площадь как найти при этом условии? В этом случае применяется формула для площади правильного треугольника:

Прямоугольник

Как найти площадь прямоугольника и использовать при этом размеры сторон, имеющих общую вершину? Выражение для вычисления такое:

Если для вычисления площади прямоугольника требуется использовать длины диагоналей, то тогда понадобится функция синуса угла, образованного при их пересечении. Такая формула площади прямоугольника имеет вид:

Квадрат

Площадь квадрата определяют как вторую степень длины стороны:

Доказательство вытекает из определения, согласно которому квадратом называют прямоугольник. У всех сторон, образующих квадрат, одинаковые размеры. Поэтому вычисление площади такого прямоугольника сводится к перемножению одной на другую, т. е. ко второй степени стороны. И формула для вычисления площади квадрата примет искомый вид.

Площадь квадрата можно найти другим способом, например, если использовать диагональ:

Как вычислить площадь фигуры, которая образована частью плоскости, ограниченной окружностью? Для расчета площади формулы такие:

  1. Через радиус окружности r. Для площади круга вычисление можно сделать следующим образом:
  2. Через диаметр окружности d. Найти площадь круга можно так: 

Параллелограмм

Для параллелограмма формула содержит линейные размеры стороны, высоты и математическое действие — умножение. Если же высота неизвестна, то тогда как найти площадь параллелограмма? Есть еще один способ вычисления. Потребуется определенное значение, которое примет тригонометрическая функция угла, образованного смежными сторонами, а также их длины.

Формулы площади параллелограмма таковы:

Ромб

Как найти площадь четырехугольника, называемого ромбом? Площадь ромба определяется с помощью простых математических действий с диагоналями. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки диагоналей в d1 и d2 пересекаются под прямым углом. По таблице синусов видно, что для прямого угла данная функция равна единице. Поэтому площадь ромба рассчитывается так:

Рекомендуем:  Подготовка к ЕГЭ по физике по канадской методики

Еще площадь ромба может быть найдена другим способом. Доказать это тоже нетрудно, если учесть, что стороны его одинаковы по длине. Затем подставить их произведение в похожее выражение для параллелограмма. Ведь частным случаем именно этой фигуры является ромб. Здесь γ — внутренний угол ромба. Площадь ромба определяют так:

Трапеция

Как найти площадь трапеции через основания (a и b), если в задаче указаны их длины? Здесь без известного значения длины высоты h вычислить площадь такой трапеции не удастся. Т.к. эту величину содержит выражение для вычисления:

Квадратный размер прямоугольной трапеции тоже можно вычислить таким же способом. При этом учитывают, что в прямоугольной трапеции понятия высоты и боковой стороны объединены. Поэтому для прямоугольной трапеции нужно указывать вместо высоты длину боковой стороны.

Цилиндр и параллелепипед

Рассмотрим что нужно, чтобы рассчитать поверхность всего цилиндра. Площадь данной фигуры составляет пара кругов, называемых основаниями, и боковая поверхность. Окружности, образующие круги имеют длины радиусов, равные r. Для площади цилиндра имеет место такое вычисление:

Как найти площадь параллелепипеда, который состоит из трех пар граней? Его измерения совпадают с конкретной парой. Грани, находящиеся противоположно, имеют одинаковые параметры. Сначала находят S(1), S(2), S(3) — квадратные размеры неравных граней. Затем уже площадь поверхности параллелепипеда:

Кольцо

Две окружности с общим центром образуют кольцо. Они же ограничивают площадь кольца. При этом обе расчетные формулы учитывают размеры каждой окружности. Первая из них, вычисляющая площадь кольца, содержит больший R и меньший r радиусы. Чаще их называют внешним и внутренним. Во втором выражении площадь кольца рассчитывается через больший D и меньший d диаметры. Таким образом, площадь кольца по известным радиусам рассчитывают так:

Рекомендуем:  Понятие и виды административного наказания

Площадь кольца, с использованием длин диаметров, определяют следующим образом:

Многоугольник

Как найти площадь многоугольника, форма которого не является правильной? Общей формулы для площади таких фигур нет. Но если она изображена на координатной плоскости, например, это может быть клетчатая бумага, тогда как найти площадь поверхности в этом случае? Тут применяют способ, который не требует приблизительно измерить фигуру. Поступают так: если нашли точки, которые попадают в уголок клетки или имеют целые координаты, то учитывают только их. Чтобы затем выяснить, чему равна площадь, используют формулу, доказанную Пиком. Необходимо сложить количество точек, расположенных внутри ломаной линии с половиной точек, лежащих на ней, и вычесть единицу, т. е. вычисляется это таким образом:

где В,Г — количество точек, расположенных внутри и на всей ломаной линии соответственно.

Похожие статьи

Откачка жировых отложений в пунктах общественного питания Канадская методика подготовки к ЕГЭ по химии Подготовка к ЕГЭ по физике по канадской методики Система контроля давления в шинах МерседесПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ243. Заполните пропуски.1) Равные фигуры имеют равные площади.2) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.3) За единицу измерения площади выбирают квадрат, сторона которого равна единичному отрезку.4) Измерить площадь фигуры — значит подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.5) 1 см2 — это площадь квадрата со стороной 1 см.6) 1 дм2 — это площадь квадрата со стороной 1 дм.7) Площадь прямоугольника вычисляют по формуле S=a*b, где S — его площадь, a и b — длины соседних сторон, выраженные в одних и тех же единицах.8) Площадь квадрата вычисляют по формуле S=a2, где S — его площадь, a — его сторона.9) 1 м2 = 10000 см210) 1 км2 = 1000000 м211) 1 а = 100 м212) 1 га = 10000 м2 = 100 аРЕШАЕМ ЗАДАЧИ244. Если стороны прмоугольника равны 12 см и 8 см, то его площадьS = 12*8 = 96 см2245. Если сторона квадрата равна 9 дм, то его площадьS = 92 = 81 дм2246. Заполните пропуски.1) 6 а = 600 м212 га = 120000 м3 га 42 а = 34200 м22) 7 га = 700 а6 га 5 а = 605 а72 000 м2 = 720 а3) 4 дм2 = 400 см24 м= 40000 см22 м35 дм2 = 23500 см24) 270000 м2 = 27 га8000 а = 80 га2 км= 200 га247. Сравните величины.248. Заполните таблицу, где S — площадь прямоугольника, a и b — длины его соседних сторон.

а 3 дм 8 дм 40 см 5 км 36 см 30 м
b 6 см 5 дм 9 дм 4 м 6 дм 4 км
S 180 см2 40 дм2 36 дм2 20 га 2160 см2 12 а

1) 30 см*6 см = 180 см22) 8 дм*5 дм = 40 дм3) 40 см (4 дм)*9 дм = 36 дм4) 5 км (5000 м)*4 м = 20000 км = 20 га5) 36 см*6 дм (60 см) = 2160  см6) 30 м*4 км(4000 м) = 120000 м = 12 а249. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 64 см.Решение: 1) 64:4 = 16 (см) длина сторон квадрата2) 16*16 = 256 (см2) площадь квадратаОтвет: Площадь квадрата 256 см2.250. Поле прмоугольной формы имеет площадь 42 а, его длина равна 70 м. Вычислите периметр поля.Решение:42 а = 42000 м21) 42000:70 = 600 (м) ширина поля2) 2*(70*600) = 2600 (м) периметр поляОтвет: периметр поля равен 2600 м.251. На рисунке изображен прямоугольник ABCD, у которого АD=8 см, АВ=4 см. Точка К — середина отрезка АD, точка М — середина отрезка АК, точка F — середина отрезка АВ, точка Е — середина отрезка АF. Чему равна площадь закрашенного прямоугольника?Решение:(8:4)*(4:4) = 2*1 = 2 (см2)Ответ: Площадь закрашенного прямоугольника равна 2 см2.252. На рисунке изображены три квадрата. Середины сторон большого квадрата являются вершинами среднего квадрата, а середины сторон среднего квадрата — вершинами маленького квадрата. Площадь маленького квадрата равна 25 см2. Чему равна площадь квадрата?Решение:25*4 = 100 (см2)Ответ: площадь квадрата равна 100 см253. Вычислите площадь фигуры, изображенной на рисунке (размеры даны в сантиметрах).Решение:(12+3)*6-(2*2*3+2*2) = 74 (см2) или12*6+2*3-2*2 = 74 (см2)Ответ: площадь фигуры равна 74 см2.254. Заполните цепочку вычислений.1) 600 а : 300 = 2 а2) 2 а + 4 а = 6 а3) 600 м2 — 120 м2 = 480 м24) 48000 дм2 : 800 = 60 дм25) 60 дм2 — 28 дм2 = 32 дм2255. Сколько надо рулонов обоев, чтобы оклеить ими стену длиной 7 м и высотой 4 м, если длина рулона равна 10 м, а ширина — 50 см?Решение:1) 7*4 = 28 (м2) площадь стены2) 50*1000 = 50000 (см2) = 5 (м2) содержит улон обоев3) 28:5 = 5 ост.3 (рулоны)Ответ: 6 рулонов256. С огорода, который имеет форму приямоугольника со сторонами 50 м и 30 м, собрали 180 ведер картофеля. В одно ведро помещается 8 кг картофеля. Сколько килограммов картофеля собрали с 1 а?Решение:1) 50*30 = 1500 (м2) = 15 а — площадь огорода.2) 180:15 = 12 (ведер) с одного а3) 12*8 = 96 (кг) с одного аОтвет: 96 кг с одного а.257. Длина прямоугольника равна 28 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится его площадь, если ширину этого прямоугольника увеличить на 3 см?Решение:28*(х+3)-28*х = 28х+28*3-28х = 28*3 = 84 (см2)Ответ: площадь увеличится на 84 см2.258. Во сколько раз увеличится периметр и во сколько раз увеличится площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?Решение:1) 2*(3а+3b):2(а+b) = 6а+6b:2а+2b = 6(а+b):2(а+b) = 6:2 = 32) (3а*3b):(а*b) = 9аb аb = 9Ответ: в 3 раза; в 9 раз.259. На рисунке изображен квадрат, разбитый на шесть прямоугольников, сумма периметров которых равна 80 см. Чему равна площадь квадрата?Решение:4а+4а = 808а = 80а = 10 (см)S = а2 = 102 = 100 (см2)Ответ: площадь квадрата равна 100 см2.

Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля). Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка.

Полезные калькуляторы Конвертер единиц площади | Конвертер единиц длины Расчет площади прямоугольника

a=
b=

Вычислить Результат: S= 1111 Расчет площади треугольника Способ нахождения площади треугольника:

a=
b=
c=

Вычислить Результат: S= 1111 Расчет площади круга Рассчитать площадь круга, если известен:

r=

Вычислить Результат: S= 1111 Расчет площади параллелограмма Способ нахождения площади параллелограмма:

a=
h=
c=

Вычислить Результат: S= 1111 Расчет площади правильного многоугольника

n=
a=

Вычислить Результат: S= 1111 Расчет площади эллипса

a=
b=

Вычислить Результат: S= 1111 Расчет площади сектора круга Рассчитать площадь сектора круга, если известен:

r=
θ=

Вычислить Результат: S= 1111 Расчет площади трапеции Способ нахождения площади трапеции:

a=
b=
h=
d= Вычислить

Результат: S= 1111

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры.

Метрические единицы измерения площади:   
Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м2 = 1 са (сантиар)
Квадратный километр — 1 км2 = 1 000 000 м2
Гектар — 1 га = 10 000 м2
Ар (сотка) — 1 а = 100 м2 (сотка как правило применяется для измерения земельных участков и равна 100 м2 или 10м х 10м)
Квадратный дециметр, 100 дм2 = 1 м2;
Квадратный сантиметр, 10 000 см2 = 1 м2;
Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм2 = 1 м2.

Данный онлайн-калькулятор удобен при расчете площадей помещений и земельных участков.

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

Образование 917 Время чтения: 5 минут

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

  1. Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
  2. Найти квадрат известной стороны.
  3. Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
  4. Найти квадратный корень получившейся разности.
  5. Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

  1. Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
  2. Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
  3. Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
  4. Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
  5. Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Ответ: 144 см.

Обратите внимание

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

Действия:

  1. Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
  2. Найдите квадрат известной стороны.
  3. Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
  4. Найдите квадратный корень разности.
  5. Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

  1. Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
  2. Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
  3. Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
  4. Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
  5. Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Лайфхак

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных Зависит от того, какой треугольник.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

Другой способ:

  1. Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
  2. Умножить квадрат радиуса на 4.
  3. Найти квадрат известной стороны.
  4. Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
  5. Найти квадратный корень разности.
  6. Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

  1. Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
  2. Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
  3. Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
  4. Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
  5. Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
  6. Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Помните

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из  сторон равна 3 см. Найдите площадь.

  1. Нахожу вторую сторону прямоугольника:
    1. P=2(a+b).
    2. P=2a+2b.
    3. 14= 2*3+2b.
    4. 14 = 6+2b.
    5. 2b = 14-6 = 8.
    6. b = 8/2.
    7. b = 4.
  2. Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

Ответ: 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

Действия такие:

  1. Умножьте периметр на сторону.
  2. Найдите квадрат стороны.
  3. Умножьте квадрат стороны на 2.
  4. Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
  5. Поделите на 2.

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

  1. Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
  2. Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
  3. Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
  4. Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
  5. Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

Ответ: 70 см.

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

Действия:

  1. Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
  2. Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
  3. Найти синус угла между диагоналями.
  4. Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

  1. Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
  2. Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
  3. Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
  4. Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Ответ: 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

  1. Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
  2. Квадрат диагонали равен 144 см.
  3. Половина квадрата: 72 см.
  4. Синус 30 градусов равен 0,5.
  5. Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

Ответ: 36 см.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

Действия:

  1. Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
  2. Умножить квадрат радиуса на два.
  3. Найти синус угла между диагоналями.
  4. Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

  1. Квадрат радиуса: 6*6 = 36.
  2. Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
  3. Синус 30 градусов равен 0,5.
  4. Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Ответ: 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сетиПОДПИСАТЬСЯ

image

  • В нашей жизни приходится часто вычислять площади различных геометрических фигур. Например, площадь огорода, поля; при покупке жилья — площадь квартиры, дома, комнат; делая ремонт, мы вычисляем площадь стен, пола, окон, строительных материалов и т.д.

    image

    Сегодня мы научимся вычислять площади двух геометрических фигур: прямоугольника и квадрата, познакомимся с понятием площади и единицами ее измерения.

    Выясним, какими свойствами обладает площадь.

    Разберем несколько примеров решения задач.

    image

    Площадь плоских геометрических фигур

    Прямоугольник, квадрат и другие замкнутые геометрические фигуры имеют некоторую границу (контур), которая делит плоскость на области: область, которая находится снаружи этой границы, и область, которая находится внутри контура.

    image

    Площадью называют часть плоскости, ограниченную линией (кривой или ломаной).

    Для обозначения площади обычно используют заглавную латинскую букву S.

    Площадь различных фигур можно сравнивать.

    Площадь будет больше у той фигуры, которая на плоскости занимает больше места.

    Например, даны три фигуры №1, №2, №3.

    image

    Площадь фигуры №1 больше площади фигуры №2 и №3, а площадь фигуры №2 больше площади фигуры №3.

    Невооруженным глазом заметно, какая фигура меньше, а какая больше.

    Рассмотрим еще один пример.

    Даны две фигуры №1 и №2.

    image

    Однозначно сказать, площадь какой фигуры больше, а какой меньше, затруднительно.

    Нам известно, что фигуры называют равными, если при наложении одной фигуры на другую они совпадают.

    Попробуем сравнить первую и вторую фигуры наложением.

    Этот способ сравнения не смог дать нам однозначного ответа, поэтому постараемся найти более точный способ нахождения площади данных фигур.

    Известно, чтобы определить длину отрезка, его сравнивают с отрезком, принятым за единицу измерения.

    В таком случае, чтобы измерить площадь фигуры, необходимо посчитать сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.

    При измерении длины отрезка используют линейные меры длины: 1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.

    Площадь же измеряют квадратными единицами.

    Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами; другими словами, площадь измеряется квадратными единицами длины.

    Квадрат, у которого все стороны равны 1 мм, называется квадратным миллиметром.

    image

    Квадрат, у которого все стороны равны 1 см, называется квадратным сантиметром.

    image

    Квадрат, у которого все стороны равны 1 дм, называется квадратным дециметром.

    Аналогично определяется квадратный метр и квадратный километр.

    Определить площадь фигуры- это значит найти сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.

    Обозначают квадратные единицы следующим образом:

    1 мм2— один миллиметр квадратный (квадратный миллиметр)

    1 см2— один сантиметр квадратный (квадратный сантиметр)

    1 дм2— один дециметр квадратный (квадратный дециметр)

    1 м2— один метр квадратный (квадратный метр)

    1 км2— один километр квадратный (квадратный километр) и т.д.

    Если разбить фигуру на n равных квадратов, то ее площадь будет равна n квадратных единиц.

    Найдем для нашего примера площадь фигуры №1 и площадь фигуры №2 и сравним полученные площади. Так мы сможем выяснить, какая из фигур имеет большую площадь.

    Для этого разобьем эти две фигуры на одинаковые квадраты со сторонами 1 см (т.е. на квадратные сантиметры).

    Фигура №1 состоит из 12 квадратов, следовательно, данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S1 = 12 см2

    Фигура №2 состоит также из 12 квадратов, значит, данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S2 = 12 см2

    Сравним площади фигур: так как S1 = 12 см2 и S2 = 12 см2, значит, площади фигур №1 и №2 равны.

    У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

    В каждом конкретном случае необходимо оценивать, в каких единицах измерения удобней выражать площадь той или иной фигуры.

    Если требуется определить площадь фигуры, изображенной на листе бумаги, то целесообразнее измерять площадь в квадратных сантиметрах (см2).

    Если же необходимо измерить площадь стены или потолка в комнате, то удобно площадь выражать в квадратных метрах (м2).

    Большие значения площадей, такие как площадь Земли, островов, континентов, океанов, государств удобнее выражать в квадратных километрах (км2).

    Пройти тест

    Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

    ВходРегистрация

    Площадь прямоугольника и квадрата

    Во всех выше рассмотренных примерах мы имели дело с плоскими геометрическими фигурами (прямоугольником и квадратом).

    Вспомним, что называют прямоугольником, а что квадратом.

    Прямоугольник- это плоская геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией, состоящей из четырех звеньев, и плоскостью, которая располагается внутри этой линии.

    У прямоугольника противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковые.

    Обычно прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами, записывая их по порядку следования.

    Пример: прямоугольник АВDС

    Отрезки АВ, ВD, DC, СА называются сторонами прямоугольника АВDС.

    Причем АВ = СD и АС = ВD.

    Точки А, В, С, D называют вершинами прямоугольника АВDС.

    Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами прямоугольника АВDС.

    Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, — это диагонали прямоугольника АВDС.

    В любом прямоугольнике можно провести две диагонали, и они будут равны СВ = АD.

    Диагонали пересекаются в точке пересечения диагоналей (точка О— точка пересечения диагоналей СВ и АD).

    Она делит диагонали на равные отрезки:

    Точка O делит диагональ СВ на равные отрезки СО и ОB.

    Точка O делит диагональ АD на равные отрезки и ОD.

    Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

    Диагональ СВ делит прямоугольник АВDС на равные треугольники САВ и СDВ.

    Диагональ АD делит прямоугольник АВDС на равные треугольники АСD и АВD.

    Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны.

    Пример:

    Квадрат АВDС.

    Отрезки АВ, ВD, DC, СА— называются сторонами квадрата АВDС.

    Причем АВ = СD = АС = ВD.

    Точки А, В, С, D называют вершинами квадрата АВDС.

    Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами квадрата АВDС.

    Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, — это диагонали квадрата АВDС.

    Все свойства прямоугольника характерны и для квадрата.

    Чтобы найти площадь прямоугольника, можно разделить его на одинаковые единичные квадраты и сосчитать их количество. Такой способ нахождения площади фигуры мы рассмотрели ранее.

    Пример:

    Найдем площадь прямоугольника ABCD.

    Прямоугольник ABCD разобьем на квадраты со стороной 1 см, значит в нашем случае единицей измерения площади будет квадратный сантиметр (см2).

    Посчитаем сколько раз помещается квадратный сантиметр в фигуру ABCD.

    В прямоугольнике ABCD содержится 15 квадратов, следовательно, его площадь равна 15 квадратных сантиметров (15 см2).

    Если внимательно посмотреть на прямоугольник ABCD, то можно заметить, что он разбит на 3 строчки и каждая строчка содержит 5 квадратов со сторонами 1 см каждый.

    Тогда количество таких квадратов в прямоугольнике ABCD можно определить выражением (3 5).

    Найдем значение данного выражения:

    3 5 = 15

    Значит площадь прямоугольника ABCD равна 15 см2.

    Пересчитав по порядку каждый квадратный сантиметр прямоугольника ABCD, мы получили такой же результат.

    Этот же прямоугольник можно разбить на 5 полос по 3 квадрата со сторонами 1 см каждый.

    Найдем площадь прямоугольника ABCD.

    В этом случае площадь прямоугольника ABCD будет определяться выражением (5 3).

    Как нам уже известно, от перестановки множителей произведение не изменяется:

    ∙ 3 = 15.

    Площадь прямоугольника получается равной 15 см2 Результат, как мы видим, не изменился.

    Важно заметить, что сторона АВ прямоугольника ABCD-  это ширина данного прямоугольника (равная 3 см), а сторона ВС — это его длина (равная 5 см).

    Таким образом, для того, чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, не обязательно разбивать его на квадратные единицы, необходимо просто знать длину и ширину этого прямоугольника.

    Правило: чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умножить на ширину (в одинаковых единицах).

    Единицы измерения длины и ширины должны совпадать.

    Если меры не совпадают, их необходимо перевести, т.е. свести к единой единице измерения.

    Запишем правило в виде формулы.

    Площадь прямоугольника обозначим латинской буквой S, ширину прямоугольника обозначим буквой а, длину буквой b.

    Формула площади прямоугольника выглядит так:

    Рассмотрим некоторые свойства площади.

    1. Площади равных фигур равны.

    Периметры таких фигур также равны.

    Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

    У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

    Не следует путать такие понятия, как периметр и площадь геометрических фигур.

    Периметр- это замкнутая ломаная или кривая линия (контур) геометрической фигуры, которая ограничивает внутреннюю область этой фигуры.

    По сути, периметр- это длина контура фигуры (для многоугольника это сумма длин всех сторон многоугольника).

    Периметр часто обозначают заглавной латинской буквой Р.

    Периметр измеряется в линейных единицах длины: мм, см, дм и т.д.

    Площадь же- это часть плоскости, которая ограничена периметром.

    Площадь измеряется только в квадратных единицах длины: мм2, см2, дм2 и т.д.

    Пример:

    На рисунке периметр обозначен красной линией, площадь фигуры выделена на рисунке штриховкой.

    Р = 2 см + 6 см + 2 см + 6 см = 2 (2 + 6) = 16 (см) периметр фигуры (прямоугольника).

    S = 2 см6 см = 12 (см2) площадь фигуры (прямоугольника)

    2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

    Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.

    Разделим прямоугольник ABCD на две части ломаной линией KOMN.

    Одна из частей- ABNMОK имеет площадь, равную 10 см2.

    S1 = 10 см2.

    Вторая часть- KОMNCD имеет площадь 8 см2.

    S2 = 8 см2.

    Площадь всего прямоугольника равна сумме его частей:

    S = S1 + S2

    S = 10 см2+ 8 см2= 18 см2.

    Вычислив площадь прямоугольника по формуле S = a ∙ b,

    где а = АВ = 3 см, b = ВС = 6 см.

    S = 3 ∙ 6 = 18 см2.

    Площадь всей фигуры равна 18 см2, такой же результат был получен при сложении площадей двух частей, на которые эта фигура была разделена.

    Первое и второе свойства- это основные свойства площадей.

    3. Диагональ прямоугольника (квадрата), делит его на два равных треугольника.

    Пусть отрезок BD делит прямоугольник ABCD на два равных треугольника:

    ∆ ABD = ∆ BCD

    Сумма площадей каждого треугольника равна площади всего прямоугольника, следовательно, площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника.

    SABD = SABCD ÷ 2.

    SBCD = SABCD ÷ 2.

    4. Площадь квадрата.

    Квадрат- это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны.

    Изобразим квадрат со стороной 2 см (это выражение означает, что все четыре стороны у квадрата будут 2 см).

    Площадь квадрата рассчитывается таким же образом, как и площадь прямоугольника:

    S = a ∙ b— произведение длины и ширины прямоугольника.

    Известно, что в квадрате все стороны между собой равны, значит, длина квадрата равна ширине этого квадрата.

    В таком случае, умножив длину на ширину, получим произведение двух равных по значению множителей, каждый равен длине стороны квадрата (а).

    Получаем формулу площади квадрата:

    S = a ∙ a

    Число, умноженное само на себя, представляет собой квадрат этого числа.

    Формула площади квадрата будет выглядеть так:

    Число возводится во вторую степень, т.е. возводится в квадрат.

    Правило: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

    Рассмотрим такой пример.

    Вычислим площадь квадрата со стороной 4 см.

    Решение данной задачи:

    Пройти тест

    Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

    ВходРегистрация

    Решение текстовых задач по теме «Площадь. Площадь прямоугольника (квадрата)»

    Теперь, когда нам известны формулы площадей прямоугольника и квадрата и их свойства, рассмотрим решение нескольких задач.

    Задача №1

    Длина столешницы прямоугольной формы 2 м, а ее ширина 10 дм.

    Найдите площадь и периметр столешницы.

    Единица измерения ширины столешницы выражена в дециметрах, ее сразу переведем в метры.

    Задача №2

    Периметр прямоугольного участка земли 80 м, а его длина 30 м.

    Чему равна площадь этого участка?

    Выясним план решения данной задачи.

    Решать задачу будем по действиям.

    1. Найдем чему равна половина периметра (Р ÷ 2), т.е. выясним, чему равна сумма двух сторон (ширины и длины) участка.

    2. Из полученного значения полупериметра вычтем известное значение длины прямоугольника b; таким образом, мы найдем ширину участка а.

    3. Когда будут известны ширина и длина участка, можно будет найти его площадь.

    Задача №3

    Площадь прямоугольной грядки 7 м2, ширина этой грядки 1 м.

    Чему равен периметр грядки?

    Задача №4

    Девочка вырезала прямоугольник, длина которого получилась равной 5 см, а ширина 2 см, и разрезала этот прямоугольник по диагонали, у нее получились два равных треугольника.

    Найдите площадь этих треугольников.

    План решения у нас будет следующим.

    1. Первым делом найдем площадь вырезанного прямоугольника.

    2. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, значит, площадь одного треугольника будет в два раза меньше площади прямоугольника.

    3. Разделив площадь прямоугольника на два, получим площадь треугольника.

    У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

    Вычислить площадь квадрата легко, зная длину стороны:

    S = а а = а2

    Рассмотрим случай, когда длина стороны квадрата не определена, но известна длина диагонали квадрата.

    Чтобы рассчитать площадь квадрата на основании длины его диагонали, нужно длину диагонали возвести в квадрат и разделить на два.

    В виде формулы данное правило выглядит так:

    S = р2 ÷ 2

    S— площадь квадрата

    p— длина диагонали

    Задача №5

    Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

    Площадь квадрата можно найти, если известен его периметр.

    Так как все четыре стороны квадрата равны, периметр квадрата находится по формуле

    Р = 4 ∙ а

    а- это длина стороны квадрата.

    Выразим из этой формулы сторону квадрата, для этого разделим периметр на 4.

    а = Р ÷ 4

    Зная длину стороны квадрата, можно найти площадь квадрата:

    S = а2 = Р2 ÷ 42 = Р2 ÷ 16

    S = Р2 ÷ 16

    Задача №6

    Периметр квадратной песочницы 8 м.

    Найдите площадь этой песочницы.

    Первый способ: решим данную задачу по действиям.

    Второй способ: решим данную задачу с помощью формулы S = Р2 ÷ 16.

    Решая задачу первым и вторым способом, ответ получили одинаковый: площадь песочницы оказалась равной S = 42).

    Попробуем решить обратную задачу: по известной площади квадрата найдем его периметр.

    Задача №7

    Площадь квадратной комнаты равна 25 м2.

    Найдите периметр этой комнаты.

    Пройти тест

    Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

    ВходРегистрация

    Заключительный тест

    Пройти тест

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий